小伟在离塔基120公尺处.doc

1. 小偉在離塔基120公尺處，測得塔頂的仰角為，試求此塔的高度。 解答 如圖所示：為塔頂，為塔基，設塔高公尺 2. 中，試求的面積。 解答 3. 中，已知，試解此三角形。 解答 4. 某人在地面上處測得山峰的仰角為，他向著山水平前進150公尺至處，再測得山峰的仰角為，試求山高。 解答 如圖所示：設為山頂，為山的底部，設山高公尺 5. 中，又的內角平分線交於，試求的長度。 解答 面積面積面積即但是所以的長度為 6. 中，已知，試解此三角形（已知）。 解答 7. 某湖旁邊有、兩地，如圖所示，今某人在處測得，公尺，公尺，試求、兩地的距離。 解答 如圖所示：，由餘弦定理知：則、兩地距離為70公尺 8. 中，已知，試求此三角形三個內角的度量。 解答 9. 中，已知，試求。 解答 10. 如圖所示，某人欲測得、兩點的距離，得資料如下：公里，試求。 解答 如圖所示：，則由正弦定理知：又知即、兩點的距離為30公里11. 中，已知，試解此三角形（已知）。 解答 已知三角形的兩邊、及邊的對角又，故三角形有唯一解由正弦定理知：故得但，即又由，12. 中，已知，試求（已知）。 解答 因為的內角和為，故得由正弦定理知：13. 站在湖中小島上的觀景樓頂部，看到對岸的山峰仰角為，看湖面這山峰的倒影，俯角為，又所站觀景樓的高度從湖面算起為50公尺，試求對岸山峰的高度。 解答 如圖所示：設對岸的山峰為，山的底部為，山峰的倒影為，又觀景樓的頂部為，底部為，則公尺，設山峰的高度公尺，則倒影公尺在矩形中，故得在直角中，在直角中，故得整理得對岸山峰的高度為公尺14. 設中，試求的外接圓面積。 解答 ，由故得的外接圓面積為（平方單位）15. 中，已知，試解此三角形。 解答 已知三角形的兩邊、及邊的對角，如圖所示：此種並不存在，所以本題無解16. 中，已知，試解此三角形（已知，）。 解答 ，近似值為，的近似值為且故應有二解，如圖所示：又，因此得或(1)當時：由商高定理知：，(2)當時：由正弦定理知：，17. 中，試求。 解答 由餘弦定理知：18. 某測量員於山腳測得山頂仰角為，其後沿的斜坡前進200公尺，再測得山頂仰角為，試求此山的高度（已知）。 解答 設測量員所在山腳為，山頂為，山的底部為，如圖所示：在直角中，又直角中，故得而在中，由正弦定理知：又知在中，所求山的高度為公尺19. 大華在其家門口，觀測到附近一座摩天大樓頂部的仰角為，已知該摩天大樓高300公尺，試求大華的家與摩天大樓的直線距離。 解答 20. 中，已知，試解此三角形。 解答 由餘弦定理知： （等腰三角形，底角相等）又 ，21. 已知中，試求。 解答 由餘弦定理知： 22. 已知中，試求的值。 解答 又知即故設，因此可得 23. 中，已知，試解此三角形（已知）。 解答 由正弦定理知： 則 ，24. 某人從地面上處，測得一塔頂的仰角為，向此塔水平前進40公尺至處，再測得塔頂的仰角為，求此塔的高度。 解答 25. 中，若，試求。 解答 又26. 設船在下午1點時，從港口朝東北方向以每小時8浬的速度出發，船於下午4點時，從同一港口朝南東的方向以每小時10浬的速度出發，試求在下午6點時兩船的距離。 解答 27. 中，已知，試求其各內角的度量。 解答 由餘弦定理知： 又 而 ，28. 在海岸上有、兩觀測站，同時發現海上有一艘船，在測得，在測得，已知、相距4公里，試求船到的距離。 解答 29. 中，已知，試求。 解答 由正弦定理知： 但又 30. 已知中，試求的面積。 解答 ，由海龍公式知：的面積（平方單位）31. 中，已知，試解此三角形。 解答 由正弦定理知： 但是 本題無解32. 中，已知，試求的內切圓半徑。 解答 ，由海龍公式知：的面積又因故得即的內切圓半徑為33. 站在高公尺的建築物頂部，看到對面一座電塔的塔頂仰角為，而塔的底部俯角為，試求此座電塔的高度（已知）。 解答 34. 已知中，試求的面積。 解答 面積 35. 某人於山腳測得山頂的仰角為，其後沿的斜坡前進120公尺，再測得山頂的仰角為，試求此山的高度（已知）。 解答 36. 中，已知，試解此三角形。 解答 由正弦定理知： 即或(1)當時： (2)當時： 又 ，；或，37. 有一小孩放風箏，放出80公尺的線，而風箏的仰角為，試求風箏的高度。 解答 38. 中，的內角平分線交於，試求的長度。 解答 如圖所示：面積面積面積即 39. 中，已知，試解此三角形。 解答 由餘弦定理知： 由正弦定理知： 但 又 ，40. 中，已知，試解此三角形。 解答 為等腰三角形即又 ，41. 某人從處測得山峰的仰角為，往山腳水平前進200公尺，再測得山峰的仰角為，試求山高。 解答 42. 中，已知，又，試求及。 解答 由正弦定理知： 或但又 ，43. 一建築物上有一旗桿，旗桿長20公尺，某人於地面上處測得建築物頂的仰角為，旗桿頂端的仰角為，試求此建築物的高度。 解答 44. 中，已知，試求。 解答 由正弦定理知： 45. 中，已知，試解此三角形。 解答 由餘弦定理知： 又 ，46. 如圖所示，某人欲測和兩點的距離，得資料如下：公里，試求。 解答 如圖所示：由正弦定理知： 公里47. 中，已知，試解此三角形。 解答 由正弦定理知： 但是 本題無解48. 中，又，試求的外接圓半徑。 解答 又由 的外接圓半徑為49. 、二處中隔一山，在山下某處取得一點，測得為公里，為4公里，試求、兩地的距離。 解答 50. 中，已知，試解此三角形。 解答 由正弦定理知： 但 又 ，51. 中，又，試求長。 解答 由餘弦定理知： 52. 中，已知，試解此三角形。（已知） 解答 由正弦定理知： 或(1)當時： 即(2)當時： 又 ，；或，53. 從高50公尺的建築物甲的屋頂，測得另一建築物乙的地基之俯角為，而其屋頂的仰角為，試求建築物乙的高度（已知）。 解答 54. 中，若，試求的值。 解答 由餘弦定理知：55. 有一艦艇由西向東行駛，於點測得岸邊一燈塔在其北東，繼續行駛10浬到點，再測得該燈塔在其北東，若此艦艇不改變方向繼續行駛，試求艦艇與燈塔的最近距離。 解答 56. 解答 (1);(2)57. 已知中，試求。 解答 故設，又 58. 若A=15，a =1，b=+1，試解此ABC。 解答 已知對邊與對角，所以利用正弦定理：=B=105或75(1)若B=105，則C=180AB=60=c=a =(1) =(1) = =(2)若B=75，則C=180AB=90=c=a =(1) =(1) = =259. 在中，試求。 解答 又 60. 如圖所示：某甲在操場處測得旗桿桿頂的仰角為，朝旗桿方向水平前進公尺至處後，再測得桿頂的仰角為，若某甲繼續朝旗桿方向水平前進至處後，再測得桿頂的仰角為，試求、兩處的距離（已知）。 解答 在中，由正弦定理知： 在中，由正弦定理知： 、兩處的距離為公尺61. 已知中，試求之值。 解答 由62. 海邊二瞭望台、相距80公尺，今由、二處瞭望海面上一船，測得，則長為多少公尺？ 解答 由正弦定理知：（公尺）63. 中，若，試求的面積。 解答 ， 由海龍公式知：面積 64. 某人從地面上處，測得一塔頂的仰角為，向此塔前進100公尺至處，再測得塔頂的仰角為，試求此塔的高度。 解答 如圖所示：設塔高公尺在直角中，在直角中，又此塔的高度為公尺65. 中，已知，試求的外接圓半徑。 解答 ， 由海龍公式知：的面積 又 的外接圓半徑為66. 已知中，試求的面積及的長。 解答 67. 某人在塔的正東測得塔頂仰角為，然後南行60公尺，再測得塔頂仰角為，試求塔高。 解答 68. 設中，試求的度數。 解答 由餘弦定理知： 69. 在一塔底測得某山頂仰角為，再由塔頂測得山頂仰角為，若塔高50公尺，則山高為多少公尺？ 解答 70. 設中，試求的值。 解答 71. 某一測量員之眼睛離地面1.6公尺，此人離一電塔100公尺，測得電塔頂之仰角為，求電塔的高度。 解答 電塔高h=1.6+100tan30=+1.6（公尺）72. 設中，試求其餘兩角。 解答 由正弦定理知： 但又 ，73. 一人自點P向東南方向行3小時後到達A點，再由A點向西南方向行4小時到B點，若此人行走的時速是2公里，則P、B間之距離為多少公里？ 解答 PAB=90=10（公里）74. 從一樓上的窗戶遠望一塔頂之仰角為，塔足之俯角為，設窗與塔之水平距離為200公尺，問窗與塔之高度分別為多少公尺？ 解答 塔高=200tan30+200tan15=200+200(2)=400（公尺）窗高=200tan15=（公尺）75. 已知中，又，試求的外接圓半徑。 解答 又由正弦定理知： 的外接圓半徑為2676. 解答 設四邊形的外接圓半徑為，則在中，在中，即 77. 已知A船在燈塔P之西南30公里處，B船在燈塔P之南15西，且在A船的東南，試求A、B兩船的距離。 解答 公里78. 一塔高100公尺，在塔的東30北處有一觀測站A，測出塔頂的仰角為75，又在塔的東60南處另有一觀測站B，測出塔頂的仰角為45，試求A、B兩觀測站的距離。 解答 =100cot75=100(2)=100cot45=100=100()（公尺）79. 解答 如圖所示： 面積 在中，由海龍公式知：面積 四邊形面積面積面積80. 中，試求：(1)的面積，(2)的內切圓半徑，(3)的外接圓半徑。 解答 (1)， 由海龍公式知： 面積(2) 面積 的內切圓半徑為(3) 面積 的外接圓半徑為81. 設某人在離塔基200公尺處測得塔頂之仰角為，則塔高為幾公尺？ 解答 塔高為200tan30=（公尺）82. 設、為之三邊長，若，試求。 解答 由餘弦定理知：83. 設甲船在燈塔之西南，乙船在燈塔之南西且在甲船之東南，已知甲船距燈塔20公里，請問二船相距幾公里？ 解答 如圖所示：甲、乙二船相距20tan30=（公里）84. 小強在平面上距離旗桿30公尺處，測得旗桿仰角為，試求旗桿長為幾公尺？ 解答 設旗桿長為公尺（公尺）85. 中，且，試求之面積。 解答 面積86. 中，已知，試求之面積。 解答 面積87. 一扇形的半徑為8，圓心角為，試求其所圍弓形區域（如圖斜線部分所示）的面積。 解答 弓形面積（扇形面積）（面積）88. 設ABC中，a=15，B=27，C=33，試求ABC的外接圓面積。 解答 A=1802733=120sinA=由=2R=2RR=ABC的外接圓面積()2=7589. ABC中，已知，A=45，C=105，試求邊長。 解答 ，由90. 解答 B=180120 45=15由正弦定理知：（公里）91. 解答 cosC=cos135=40=（公里）92. ABC中，已知b=10，A=45，C=105，試求a。 解答 93. a、b、c分別為ABC之對邊，a=2，b=3，C=，試求c邊