高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 函数模型及其应用课堂导学案 新人教A版必修1.doc

3.2.1 函数模型及其应用课堂导学三点剖析一、常见函数模型【例1】 (一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;(2)按总价的92%付款.某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个),若需茶杯x个,付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是4个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差比较二者的大小即可.解:由优惠办法(1)可得函数关系式:y1=204+5(x-4)=5x+60(x4), 由优惠办法(2)可得函数关系式: y2=(5x+420)92%=4.6x+73.6. 比较:y1-y2=0.4x-13.6(x4). 当0.4x-13.60,即x34时,y1y2, 即当购买茶杯个数大于34时,优惠办法(2)合算. 当0.4x-13.6=0,即x=34时,两种优惠办法一样合算. 当0.4x-13.60,即4x34时,y1y2.优惠办法(1)合算.温馨提示 1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论. 2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提.二、利用函数模型分析问题【例2】 (指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄,设本金为a元,每期利率为r,存期为x,写出本金和利息总和y(元)与x的函数表达式.如果存入本金10 000元,每期1.98%,试计算5期后,本息总和是多少?思路分析:本题考查的是与我们生活中息息相关的储蓄问题,其数学模型是指数函数.由题意知,每期到期后,其本利总和是前一期的(1+r)倍,所以可从第一期开始以此类推.解:本金为a元, 1期后本息和为a+ar=a(1+r); 2期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2; 3期后本息和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3; x期后本息和为y=a(1+r)x. 将a=10 000,x=5,r=1.98%代入上式得， y=10 000(1+1.98%)5=11 029.99(元).温馨提示 在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,若基数为a,平均增长率为p,则总量y与时间x的关系式为y=a(1+p)x,此为指数型函数.各个击破类题演练1(二次函数模型)某旅店有客房300间,每间日房租为20元,每天客满.旅店欲提高档次,并提高租金,如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅店将租金定为多少时,每天客房的总收入最高?解析：设定租金x元，总收入最高，则总收入y=x(300-10)=-5(x-40)2-1 600， 当x=40时，y最大且最大值为51 600=8 000(元).答案：40元变式提升1某工厂生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益r（总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元）是年产量（单位：件）的函数.满足关系式：r=f(q)=（1）将总利润l（单位：元）表示为q 的函数;（2）求每生产多少件产品时、总利润最大？此时总利润是多少？解析：（1）根据题意，总成本应为c=g(q)=20 000+100q, 从而可得总利润函数为l=(q)= 即l= （2）当0q400时, l=-（q-300）2-20 000+45 000=-（q-300）2+25 000. 此时当q=300时，l最大=25 000； 当q400时，l=60 000-100q60 000-100400=20 00025 000； 所以，当q=300时，l最大=25 000. 答：每年生产300件产品时，总利润最大，最大利润为25 000元.类题演练2某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5%的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1 000元？（参考lg2=0.301 0,lg1.065=0.027 4）.解析：设n年后每张债券一次偿还本利和1 000元，由1 000=500（1+6.5%）n，解得n=lg2/lg1.06511. 答：11年后每张债券应一次偿还本利和1 000元.变式提升2某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）.解析：（1）1年后该城市人口总数为 y=100+1001.2%=100(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为 y=100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）2. 3年后该城市人口总数为 y=