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材料力学 第七章应力和应变分析强度理论 材料力学 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 7 1应力状态概述 材料力学 1 应力的面的概念 一 应力的三个重要概念 2 应力的点的概念 3 应力状态的概念 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 材料力学 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 1 应力的面的概念 轴向拉压 对比同一点在不同截面上的应力是否相同 即使同一点在不同方位的截面上 它的应力也是各不相同的 此即应力的面的概念 材料力学 同一面上不同点的应力各不相同 此即应力的点的概念 2 应力的点的概念 横力弯曲时矩形截面上正应力和切应力分布图 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 对比同一个面上不同点的应力是否相同 材料力学 过一点不同方向面上所有应力的集合 称之为这一点的应力状态 应力 哪一个面上 哪一点 哪一点 哪个方向面 指明 3 应力状态的概念 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 材料力学 围绕一点取出单元体 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 二 主平面和主应力 用单元体的应力状态代替一点的应力状态 材料力学 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 对比后者应力状态与前者有何不同 材料力学 主应力 主平面 通过任意的受力构件中任意一点 总可以找到三个相互垂直的主平面 因此每一点都有三个主应力 以s1 s2和s3表示 s1 s2 s3 单元体上切应力为零的平面 主平面上的正应力 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 材料力学 三 应力状态的分类 单向应力状态 纯剪切应力状态 两个主应力为零的应力状态 只有切应力的应力状态 两向应力状态 三向应力状态 一个主应力为零的应力状态 主应力都不为零的应力状态 材料力学 应力和应变分析强度理论 应力状态概述 应力状态的示意图 简单应力状态 复杂应力状态 单向应力状态 纯剪切应力状态 二向应力状态 三向应力状态 材料力学 巩固练习 材料力学 1 过受力构件内一点 取截面的不同方位 这一点在各个面上的 A 正应力相同 切应力不同 D 正应力和切应力都不同 B 正应力不同 切应力相同 C 正应力和切应力都相同 材料力学 2 关于单元体的描述 下列正确的是 A 单元体的三维尺寸必须是微小的 B 单元体是平行六面体 C 单元体必须是正方体 D 单元体必须有一对横截面 材料力学 3 对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的A点 哪一种应力状态是正确的 材料力学 4 在单元体的主平面上 A 正应力一定最大 D 切应力一定为零 B 正应力一定为零 C 切应力一定最小 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态实例 7 2二向应力状态实例 材料力学 1 圆柱形 一 二向应力状态实例 承受内压薄壁容器任意点的应力状态 2 圆球形 材料力学 二 二向应力状态实例分析 1 Q235钢制成的薄壁圆筒形蒸汽锅炉 壁厚 内径D 蒸汽压力p 试计算锅炉壁内任意一点处的三个主应力 注 薄壁圆筒受力均匀 因此 任意点的应力状态均相同 材料力学 1 求水平方向上的正应力 x 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态实例 材料力学 2 求竖直方向上的正应力 y 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态实例 材料力学 3 求垂直于纸面方向上的正应力 z 薄壁圆筒与纸面垂直方向上的 z为零 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态实例 总结 薄壁圆筒为两向应力状态 薄壁圆筒的三个主应力为 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态实例 注意事项 2 轴向正应力是横向正应力的两倍 3 按规定排列正应力 1 注意单位配套使用 材料力学 课本215页例7 1如下 材料力学 由Q235钢制成的蒸汽锅炉 壁厚 10mm 内径D 1m 蒸汽压力p 3MPa 试计算锅炉壁内任意一点处的三个主应力 材料力学 经分析 薄壁圆筒为两向应力状态 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态实例 2 圆球形容器的壁厚为 内径为D 内压为p 求容器内任意一点的应力 注 薄壁圆球受力均匀 因此 任意点的应力状态均相同 材料力学 1 求水平方向上的正应力 x 材料力学 材料力学 2 求竖直方向上的正应力 y 材料力学 由球体形态的特殊对称性 得 材料力学 3 求垂直于纸面方向上的正应力 z 薄壁圆筒与纸面垂直方向上的 z为零 材料力学 受内压的球形薄壁容器为二向应力状态 球形薄壁容器的三个主应力为 材料力学 7 3二向应力状态分析 解析法 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 解析法解决的问题 二向应力状态下 已知通过一点的某些截面上的应力后 确定通过这一点的其他截面上的应力 以及确定主应力和主平面 举例说明如下 材料力学 二向应力状态下 单元体各面上应力分量皆为已知 如下图所示 求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力及主应力和主平面 e f 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 1 正应力正负号规定 一 符号规定 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 使微元或其局部顺时针方向转动为正 反之为负 2 切应力正负号规定 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 注意 切应力角标的含义及切应力互等定理 材料力学 由x逆时针转到n为正 反之为负 y x 3 角正负号规定 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 二 已知如图 求任意斜截面ef上的应力 需利用 截面法 材料力学 截面法求ef斜截面上的应力 e f 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 参加平衡的量 应力乘以其作用的面积 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 微元局部列平衡 材料力学 解得 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 三 求正应力的极值 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 可见 正应力 是角度 的函数 思考 如何求正应力的极值 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 分析 可求出相差90度的两个角度 o 确定两个相互垂直的平面 分别为最大 最小正应力所在平面 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 将两个角度 o均带入公式 得 可见 1 o对应的两个平面为主平面 2 最大和最小正应力即为主应力 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 将两个角度 o均带入公式求得两个主应力 得 注意 如 x的代数值大于等于 y 则绝对值较小的 o确定 max所在的平面 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 四 求切应力的极值 要求低 思路 最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为45 结论 材料力学 巩固练习 材料力学 练习一 一点处的平面应力状态如图所示 试求 1 斜面上的应力 2 主应力 主平面 3 绘出主应力单元体 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 1 斜面上的应力 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 2 主应力 主平面 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 3 绘制主应力单元体 o 15 48 或 o 105 48 根据主平面角度和主应力大小绘图 且 o 15 48 或 o 105 48 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 思考 1 即 max 应在哪个主平面上 1应位于绝对值较小的 o确定的主平面上 材料力学 练习二 一点处的平面应力状态如图所示 试求主应力和主平面 并绘出主应力单元体 分析 详解同上题 略 材料力学 练习三 试求图示单元体的主应力 分析思路 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 独立完成课本219页例7 3 材料力学 五 利用应力状态分析圆轴扭转时的破坏现象 1 圆轴扭转时的破坏现象 铸铁 材料力学 抗压强度 抗剪强度 抗拉强度 铸铁 因此 铸铁扭转时将沿正 拉 应力最大的截面被拉断 2 圆轴扭转时的破坏机理分析 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 3 圆轴扭转时的应力状态分析计算 确定圆轴扭转时的危险点 扭转时横截面上只有切应力 且圆轴表面各点的切应力最大 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 2 分析计算圆轴表面上各点的应力状态 扭转时横截面上的最大切应力为 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 解析法 画出圆轴表面点的应力状态 材料力学 3 计算主平面及主应力 分析铸铁扭转破坏现象 s1 smax s2 0 s3 smin 结论 最大拉应力所在的主平面与x轴夹角为 45 材料力学 抗压强度 抗剪强度 抗拉强度 铸铁 铸铁扭转时最大拉应力所在的主平面与x轴夹角为 45 因此铸铁断裂时的裂纹联成倾角为 45 的螺旋线 材料力学 7 4二向应力状态分析 图解法 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 一 应力圆方程 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 二 应力圆简介 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 三 应力圆的画法 D D 在s t坐标系中 找出与单元体D D 面上的应力对应的点D和D 连DD 交 轴于C点 C即为圆心 CD为应力圆的半径 C 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 四 应力圆与单元体的对应关系 1 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力 材料力学 2 转向对应 单元体方向面的法线旋转方向与应力圆半径旋转方向一致 C 3 二倍角对应 应力圆半径转过的角度是单元体方向面旋转角度的两倍 o 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 A 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 五 应力圆的应用 1 确定主平面和主应力 2 0 A D 应力圆与横轴的交点对应的截面 主平面 主应力 OA1 OB1 材料力学 2 确定最大切应力 对应应力圆上最高点的切应力 tmax 判断 最大切应力所在平面与主平面夹角为45 且最大切应力是最大正应力的一半 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 一点处的应力状态如图 试求 斜面上的应力 主应力和主平面 并绘出主应力单元体 图解法练习 材料力学 选定比例尺 画应力圆 材料力学 找出应力圆上 斜面对应的点 量出其坐标即为应力 一 求 斜面上的应力 材料力学 二 求主平面和主应力 找出应力圆上主平面的位置 量出其坐标和对应角度 材料力学 三 绘制主应力单元体 根据主平面角度 o和主应力大小绘图 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 注意事项 1 画应力圆时必须首先选定比例尺 2 根据对应关系找准 斜面和主平面对应的位置 材料力学 应力和应变分析强度理论 二向应力状态分析 图解法 已完成225页例7 6要求独立完成226页例7 7 同时采用解析法和图解法 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 7 8广义胡克定律 材料力学 泊松比 一 狭义胡克定律 单向 及泊松比 即单向拉伸或压缩时的胡克定律及泊松比 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 材料力学 二 广义胡克定律 三向应力状态的胡克定律 思考 如何求三向应力引起的总的应变 1 将三向应力分解成三个单向应力 2 分别求每个应力引起的三个方向上的应变 2 将每个方向上的应变进行合成 材料力学 叠加法的求解过程演示 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 1 将三向应力分解 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 2 根据单向胡克定律和泊松比分别计算每个方向上的应力引起的三个方向上的线应变 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 材料力学 3 分别将三个方向上的应变合成 即得广义胡克定律 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 广义胡克定律为 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 思考 1 根据广义胡克定律 能否判断三个应变的大小 最大与最小应变分别发生在最大与最小主应力方向 2 单向应力只会产生一个方向上的线应变 这种说法是否正确 通过计算说明 材料力学 在一体积比较大的钢块上有一直径为50 01mm的凹座 凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱 圆柱受到F 300KN的轴向压力 假设钢块不变形 试求圆柱的主应力 E 已知 三 广义胡克定律的应用 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 分析已知条件 1 圆柱受到F 300KN的轴向压力 横截面上只有轴向压力 而无剪力 说明此横截面为主平面 压力产生的压应力是主应力中的一个 而且是最小的一个 即 3 F A 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 2 钢块内有一凹座 钢块不变形 将一圆柱放入凹座内 圆柱受压 在轴向压缩下 圆柱将产生横向膨胀 在它塞满凹座后 凹座与柱体之间产生均匀的径向压力 仍无剪力 因此 得出结论 1 2 未知 由于钢块不变形 圆柱塞满凹座引起的主平面的径向应变为 1 2 凹座直径 圆柱直径 圆柱直径 材料力学 计算过程 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 将各已知条件代入广义胡克定律 1 2 材料力学 变形前单元体体积 变形后单元体体积 0 四 体积胡克定律 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 材料力学 单位体积变形 体应变 利用广义胡克定律 式中 体积弹性模量 平均主应力 体积虎克定律 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 总结 体积胡克定律为 体应变 与平均主应力 m成正比 内容 材料力学 体积胡克定律分析 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 1 体应变 只与三个主应力之和有关 与主应力的大小比例无关 材料力学 应力和应变分析强度理论 广义胡克定律 2 纯剪切时的主应力为 1 2 0 3 所以体应变为 结论 纯剪切应力状态 具有体积不变性 说明体积改变与切应力无关 材料力学 7 10强度理论概述 应力和应变分析强度理论 强度理论概述 材料力学 应力和应变分析强度理论 强度理论概述 脆性材料 塑性材料 一 回顾两种强度失效形式 材料力学 脆性材料 断裂 强度极限 b 塑性材料 屈服 屈服极限 s 材料类型 失效形式 承受最大应力 应力和应变分析强度理论 强度理论概述 材料力学 应力和应变分析强度理论 强度理论概述 b和 s称为极限应力 可由试验测定 二 单向应力状态下强度条件的建立 将极限应力除以安全系数即得许用应力 因此 单向应力状态下的强度条件为 max 材料力学 应力和应变分析强度理论 强度理论概述 四 强度理论 为了建立复杂应力状态下的强度条件而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法 定义 具体内容介绍如下 三 建立一般应力状态下强度条件的困难 试验复杂 材料力学 内容 1 尽管失效现象比较复杂 但由于强度不足引起的失效主要还是屈服和断裂两种类型 3 不论是处于什么应力状态 相同的破坏形式是由于相同原因造成的 2 材料之所以按某种方式 屈服或断裂 失效 是应力 应变或应变能密度中某一因素引起的 应力和应变分析强度理论 强度理论概述 材料力学 应力和应变分析强度理论 强度理论概述 缺陷 强度理论既然是推测强度失效原因的一些假说 它是否正确 适用于什么情况 必须由生产实践来检验 经常是适用于某种材料的强度理论并不适用于另一种 或者在某种条件下适用的理论 又不适用于另一种条件 本章只重点介绍四种比较成熟的常用强度理论 因此 材料力学 下列强度理论的描述正确的是 A 需模拟实际应力状态逐一进行试验 确定极限应力 D 假设材料破坏的共同原因 同时需要简单试验结果 B 无需试验 只需关于材料破坏原因的假说 C 需要进行某些简单试验 无需关于材料破坏原因的假说 理解练习 材料力学 7 11四种常用强度理论 应力和应变分析强度理论 四种常用强度理论 材料力学 一 强度理论的分类 应力和应变分析强度理论 四种常用强度理论 强度失效的主要形式有两类 即断裂和屈服 相应的 强度理论也分为两大类 共四种 解释断裂失效的强度理论 解释屈服失效的强度理论 最大拉应力理论 最大伸长线应变理论 最大切应力理论 畸变能密度理论 材料力学 应力和应变分析强度理论 四种常用强度理论 二 四种常用强度理论介绍 1 最大拉应力理论 第一强度理论 无论材料处于什么应力状态 只要最大拉应力 1达到与材料性质有关的某一极限值 材料就发生断裂 内容 思考 根据内容推导断裂条件和强度条件 答案见下页 材料力学 应力和应变分析强度理论 四种常用强度理论 最大拉应力理论 断裂条件 强度条件 在设计理论中直接与许用应力 比较的量 相当应力 r 材料力学 应力和应变分析强度理论 四种常用强度理论 局限性 1 未考虑另外二个主应力影响 2 对没有拉应力的应力状态无法应用 3 不适用于塑性材料的破坏 适用于大部分脆性材料受拉应力作用 适用范围 材料力学 应力和应变分析强度理论 四种常用强度理论 2 最大伸长线应变理论 第二强度理论 内容 无论材料处于什么应力状态 只要最大伸长线应变 1达到与材料性质有关的某一极限值 材料就发生断裂 思考 根据内容推导断裂条件和强度条件 答案见下页 材料力学 应力和应变分析强度理论 四种常用强度理论 断裂条件 根据广义胡克定律 得 由此得强度条件 相当应力为 综合上述两式得 材料力学 应力和应变分析强度理论 四种常用强度理论 适用范围 局限性 1 适用于脆性材料单向受压的应力状态 2 适用于脆性材料拉 压二向应力状态 且压应力较大 1 根据第二强度理论 在二向或三向拉伸时比单向拉伸更安全 而实验结