湖南省张家界一中高三数学上学期第三次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省张家界一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z=（i是虚数单位），则|z|=( )a1bcd22已知集合a=x|x2x20，b=y|y=2x，则ab=( )a（0，2b（0，1c（1，0d（0，43已知命题p：x（0，+），x2x1，则命题p的否定形式是( )ap：x0（0，+），x02x01bp：x0（，+0），x02x01cp：x0（0，+），x02x01dp：x0（，+0），x02x014设a为正实数，则“a1”是“”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件5为了得到的图象，只需将g（x）=2sinx的图象( )a纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移个单位b纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移个单位c纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位d纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位6若函数f（x），g（x）分别是r上的奇函数、偶函数，且满足f（x）g（x）=ex，则有( )af（2）f（3）g（0）bg（0）f（3）f（2）cf（2）g（0）f（3）dg（0）f（2）f（3）7已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是( )abc（，36，+）d3，68下列四个图中，函数y=的图象可能是( )abcd9由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为( )ab4cd610函数y=sin（x+）的部分图象如图，则f（）=( )abcd11设数列an的前n项和为sn，a4=7且4sn=n（an+an+1），则sn6an的最小值为( )a36b30c27d2012已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（x）a|x|=0（ar）有三个不同的实数根，则函数y=f（x）a的零点个数为( )a1b2c3d4二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知函数，且f（1）=f（2），则=_14设为第二象限角，若，则sin+cos=_15设函数f（x）=3x+7，g（x）=lg（ax24x+a），若x1r，x2r，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为_16在直角梯形abcd中，abad，dcab，ad=dc=1，ab=2，e、f分别为ab、bc的中点点p在以a为圆心，ad为半径的圆弧上变动（如图所示），若=+，其中，r则2的取值范围是_三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知|=4，|=3，（23）（2+）=61（1）求与的夹角；（2）若，且=0，求t及|18在abc中，角a，b，c的对边分别是a、b、c，已知向量=（cosa，cosb），=（a，2cb），且（）求角a的大小；（）若a=4，求abc面积的最大值19某工厂生产某种产品，每日的成本c（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式c=3+x，每日的销售额s（单位：万元）与日产量x的函数关系式s=，已知每日的利润l=sc，且当x=2时，l=3（1）求k的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值20已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f（x）=6x2数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数y=f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设，tn是数列bn的前n项和，求使得对所有的（nn*）都成立的最小正整数m21已知数列an中，a1=1，an+1=（nn*）（1）求证：是等比数列，并求an的通项公式an；（2）数列bn满足bn=（3n1），数列bn的前n项和为tn，若不等式（1）对一切nn*恒成立，求的取值范围22已知函数f（x）=lnxx+1，x（0，+），g（x）=x3ax（1）求f（x）的最大值；（2）若对x1（0，+），总存在x21，2使得f（x1）g（x2）成立，求a的取值范围；（3）证明不等式：（）n+（）n+（）n2015-2016学年湖南省张家界一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z=（i是虚数单位），则|z|=( )a1bcd2【考点】复数求模 【专题】计算题；数系的扩充和复数【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论【解答】解：复数z=，|z|=|=，故选：b【点评】本题考查复数的模，考查学生的计算能力，比较基础2已知集合a=x|x2x20，b=y|y=2x，则ab=( )a（0，2b（0，1c（1，0d（0，4【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】求解一元二次不等式化简a，求函数的值域化简b，取交集得答案【解答】解：由x2x20，得1x2，a=x|x2x20=1，2，又b=y|y=2x=（0，+），ab=（0，2故选：a【点评】本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，考查了函数值域的求法，是基础题3已知命题p：x（0，+），x2x1，则命题p的否定形式是( )ap：x0（0，+），x02x01bp：x0（，+0），x02x01cp：x0（0，+），x02x01dp：x0（，+0），x02x01【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】利用全称命题与特称命题的否定关系，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：x（0，+），x2x1，则命题p的否定形式是：p：x0（0，+），x02x01故选：c【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，是基础题4设a为正实数，则“a1”是“”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】根据基本不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a为正实数，则恒成立，当且仅当a=，即a=1时，取等号，故则“a1”是“”的充分不必要条件，故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键5为了得到的图象，只需将g（x）=2sinx的图象( )a纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移个单位b纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移个单位c纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位d纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将g（x）=2sinx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得y=2sin3x的图象；再将所得图象向右平移个单位，可得f（x）=2sin3（x）=2sin（3x）的图象，故选：d【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题6若函数f（x），g（x）分别是r上的奇函数、偶函数，且满足f（x）g（x）=ex，则有( )af（2）f（3）g（0）bg（0）f（3）f（2）cf（2）g（0）f（3）dg（0）f（2）f（3）【考点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合 【专题】压轴题【分析】因为函数f（x），g（x）分别是r上的奇函数、偶函数，所以f（x）=f（x），g（x）=g（x）用x代换x得：f（x）g（x）=f（x）g（x）=ex，又由f（x）g（x）=ex联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案【解答】解：用x代换x得：f（x）g（x）=ex，即f（x）+g（x）=ex，又f（x）g（x）=ex解得：，分析选项可得：对于a：f（2）0，f（3）0，g（0）=1，故a错误；对于b：f（x）单调递增，则f（3）f（2），故b错误；对于c：f（2）0，f（3）0，g（0）=1，故c错误；对于d：f（x）单调递增，则f（3）f（2），且f（3）f（2）0，而g（0）=10，d正确；故选d【点评】本题考查函数的奇偶性性质的应用另外还考查了指数函数的单调性7已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是( )abc（，36，+）d3，6【考点】简单线性规划的应用 【专题】数形结合【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选a【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案8下列四个图中，函数y=的图象可能是( )abcd【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项【解答】解：当x0时，y0，排除a、b两项；当2x1时，y0，排除d项故选：c【点评】本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项9由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为( )a b4cd6【考点】定积分在求面积中的应用 【专题】计算题【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：s=故选c【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题10函数y=sin（x+）的部分图象如图，则f（）=( )abcd【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 【专题】三角函数的图像与性质【分析】通过函数的图象，求出t然后求出，利用图象经过（，0），求出的值，解得函数解析式，即可求值【解答】解：由题意可知：t=2（+）=，所以=2，因为函数经过（，0），所以 0=sin（2+），所以=2k，kz，则：f（）=sin（2+2k）=sin（+2k）=故选：d【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用11设数列an的前n项和为sn，a4=7且4sn=n（an+an+1），则sn6an的最小值为( )a36b30c27d20【考点】数列递推式 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】a4=7且4sn=n（an+an+1），可得：a2=3a1，a3=5a1，a4=7a1=7，解得a1，a2，a3，a4，猜想an=2n1可得sn=n2验证满足4sn=n（an+an+1），代入sn6an，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：a4=7且4sn=n（an+an+1），可得：a2=3a1，a3=5a1，a4=7a1=7，解得a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n1可得sn=n2验证满足4sn=n（an+an+1），sn6an=n26（2n1）=n212n+6=（n6）23030，当且仅当n=6时取等号，sn6an的最小值为30故选：b【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（x）a|x|=0（ar）有三个不同的实数根，则函数y=f（x）a的零点个数为( )a1b2c3d4【考点】根的存在性及根的个数判断 【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由分段函数知需要讨论，当x0时，可得a=，x0；令g（x）=，从而求导g（x）=；从而判断函数的单调性及零点的个数；当x0时，方程f（x）a|x|=0可化为x（x+2ea）=0，从而确定a的取值范围；再按分段函数讨论即可【解答】解：当x0时，方程f（x）a|x|=0可化为exax=0，故a=，x0；令g（x）=，g（x）=；故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数；且g（1）=e；故当a=e时，方程f（x）a|x|=0在x0时有一个解，当ae时，方程f（x）a|x|=0在x0时没有解，当ae时，方程f（x）a|x|=0在x0时有两个解；当x0时，方程f（x）a|x|=0可化为x（x+2ea）=0，故当a2e时，方程f（x）a|x|=0在x0时有一个解，当a2e时，方程f（x）a|x|=0在x0时没有解；综上所述，若关于x的方程f（x）a|x|=0（ar）有三个不同的实数根，则ea2e；当x0时，令f（x）a=x22exa=0，可化为x2+2ex+a=0，由判别式=4e24a0，及根与系数的关系知，方程有两个不同的负根；当x0时，令f（x）a=exa=0，故x=lna；故函数y=f（x）a的零点个数为3；故选：c【点评】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，同时考查了根与系数的关系应用二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知函数，且f（1）=f（2），则=1【考点】分段函数的应用；函数的值 【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数以及方程求出a，得到函数的解析式然后求解函数值【解答】解：函数，且f（1）=f（2），可得alog22=，解得a=，则=log2=1故答案为：1【点评】本题考查分段函数的应用，对数的运算法则以及方程的根的求法，考查计算能力14设为第二象限角，若，则sin+cos=【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系 【专题】压轴题；三角函数的求值【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan的值，再根据为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin与cos的值，即可求出sin+cos的值【解答】解：tan（+）=，tan=，而cos2=，为第二象限角，cos=，sin=，则sin+cos=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键15设函数f（x）=3x+7，g（x）=lg（ax24x+a），若x1r，x2r，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为0，2【考点】函数恒成立问题 【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】对任意的x，f（x）的值域为r，要使，x2r，使f（x1）=g（x2），则g（x）的值域也应为r，则ax24x+a能取遍所以正数，对a进行分类讨论，得出a的范围【解答】解：x1r，f（x）=3x+7r，x2r，使f（x1）=g（x2），g（x）=lg（ax24x+a）的值域也应为r，当a=0时，g（x）=lg（4x），显然成立，当a0时，ax24x+a=0有实根，且a0，=164a20，0a2，a的范围为0，2故答案为0，2【点评】考查了对数函数值域为r时对x的取值范围的转化问题16在直角梯形abcd中，abad，dcab，ad=dc=1，ab=2，e、f分别为ab、bc的中点点p在以a为圆心，ad为半径的圆弧上变动（如图所示），若=+，其中，r则2的取值范围是1，1【考点】向量在几何中的应用 【专题】综合题；平面向量及应用【分析】建立如图所示的坐标系，则a（0，0），e（1，0），d（0，1），f（1.5，0.5），p（cos，sin）（090），用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论【解答】解：建立如图所示的坐标系，则a（0，0），e（1，0），d（0，1），f（1.5，0.5），p（cos，sin）（090），=+，（cos，sin）=（1，1）+（1.5，0.5），cos=+1.5，sin=+0.5，=（3sincos），=（cos+sin），2=sincos=sin（45）090，454545，sin（45），1sin（45）12的取值范围是1，1故答案为：1，1【点评】本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知|=4，|=3，（23）（2+）=61（1）求与的夹角；（2）若，且=0，求t及|【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【专题】平面向量及应用【分析】（1）根据数量积的运算对条件展开运算即可求得向量夹角；（2）根据=0建立等式，可求出t的值，然后根据模的定义可求出|的值【解答】解 （1）|=4，|=3，（23）（2+）=61，=6cos =，又0，=（2）=（）=t+（1t）=15t+9=0t=|2=（+）2=，|=（14分）【点评】本题主要考查向量数量积的运算、及向量夹角的求解，同时考查了运算求解的能力，属基础题18在abc中，角a，b，c的对边分别是a、b、c，已知向量=（cosa，cosb），=（a，2cb），且（）求角a的大小；（）若a=4，求abc面积的最大值【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】解三角形【分析】（i）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinc不为0，求出cosa的值，由a为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出a的度数；（ii）由a与cosa的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值与sina的值即可得到三角形abc面积的最大值【解答】解：（i）向量=（cosa，cos b），=（a，2cb），且，acosb（2cb）cosa=0，利用正弦定理化简得：sinacosb（2sincsinb）cosa=0，sinacosb+cosasinb2sinccosa=0，即sin（a+b）=sinc=2sinccosa，sinc0，cosa=，又0a，则a=；（ii）由余弦定理a2=b2+c22bccosa，得：16=b2+c2bcbc，即bc16，当且仅当b=c=4时，上式取等号，sabc=bcsina4，则abc面积的最大值为4【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19某工厂生产某种产品，每日的成本c（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式c=3+x，每日的销售额s（单位：万元）与日产量x的函数关系式s=，已知每日的利润l=sc，且当x=2时，l=3（1）求k的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）利用每日的利润l=sc，且当x=2时，l=3，可求k的值；（2）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值【解答】解：由题意，每日利润l与日产量x的函数关系式为y=（1）当x=2时，l=3，即：k=18（2）当x6时，l=11x为单调递减函数，故当x=6时，lmax=5 当0x6时，当且仅当，即x=5时，lmax=6（13分）综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元（14分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键20已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f（x）=6x2数列an的前n项和为sn，点（n，sn）（nn*）均在函数y=f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设，tn是数列bn的前n项和，求使得对所有的（nn*）都成立的最小正整数m【考点】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式 【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】（1）依题意可设二次函数f（x）=ax2+bx（a0），求出导数，可得a=3，b=2，可得sn=3n22n，再由数列的通项与求和关系，即可得到所求通项公式；（2）求得=（），运用裂项相消求和可得tn，再由恒成立思想即可解得m的范围，进而得到最小正整数【解答】解：（1）依题意可设二次函数f（x）=ax2+bx（a0），则f（x）=2ax+b，由f（x）=6x2，可得a=3，b=2，则f（x）=3x22x点（n，sn）（nn*）均在函数y=f（x）的图象上即有sn=3n22n，当n2时，an=snsn1=3n22n3（n1）2+2（n1）=6n5；当n=1时，a1=s1=1也适合，则an=6n5；（）由（）知=（）故tn=（1）+（）+（）=（1）因此，要使（1）成立，m必须且仅需满足，即m1008，故满足要求的最小正整数m为1008【点评】本题考查二次函数的性质，以及解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式恒成立其它的解法，注意运用不等式的性质，属于中档题21已知数列an中，a1=1，an+1=（nn*）（1）求证：是等比数列，并求an的通项公式an；（2）数列bn满足bn=（3n1），数列bn的前n项和为tn，若不等式（1）对一切nn*恒成立，求的取值范围【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由数列an中，a1=1，an+1=（nn*），可得=1+变形为，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）可知：bn，利用“错