（应用数学专业论文）连续和脉冲动力系统在生物模型中的应用研究.pdf

笺1 造 学位论文的主要创新点 考虑不同再生模式和个体免疫差异对疾病传播的影响 理论结果表明 脉冲输入模式策略更有利于疾病的消除 个体之间免疫差异的存在使 得染病者数量增加 为消灭传染病提供了更有力的理论依据 二 目前研究的传染病模型大多是人与人 动物与动物之间疾病的传播 本文研究了人猫之间弓形虫病的传播模型 考虑到人口规模变化 人 的垂直传染 猫的水平传染和垂直传染率等因素 研究各个因素对疾 病行为的影响 结论表明疾病的灭绝取决于三个参数 猫的出生率 水平传染率和垂直传染率 模型中人的垂直传染概率的引入降低了感 染种群的水平 三 将捕食模型与传染病模型相结合 得到一种非线性综合害虫控制模 型 考虑微生物杀虫剂 化学杀虫剂和释放天敌等多种策略 研究不 同模式下的综合害虫控制问题 结果表明微生物杀虫剂和化学杀虫 剂的使用量决定害虫的灭绝性 而天敌的投放量则影响系统的持久 性 1 摘要 近些年来 脉冲微分方程引起了许多读者的关注并得到了深入的发展 它被广 泛应用于生物技术 药物动力学 物理 经济 种群动力学 流行病学等领域 种 群动力学 流行病学中有很多自然现象和人为干预因素的作用都可以用脉冲来描 述 本文以连续和脉冲动力系统为基础 将其与流行病动力系统 种群动力系统结 合并开拓创新 建立了具有免疫差异的两种再生模式的传染病模型和具有人口变化 的人猫之间弓形虫病传播模型 具有脉冲干扰共享捕食者的捕食模型 并将种群动 力学与传染病学相结合 研究了带有疾病具有分布时滞的捕食模型 非线性综合害 虫控制策略的模型 研究解的稳定性 系统的持久性和复杂性等问题 从生物观点 来看 我们所研究的模型具有很强的生物背景 得到的理论结果具有很强的生物意 义并能为实际生活提供很多决策依据 第二章 首先 研究不同再生模式下具有免疫差异的s i r 模型 对于连续再生 模型 运用p o i n c a r e b e n d i x s o n 定理得到疾病灭绝的充分条件 对于脉冲再生模型 运用脉冲微分方程的f l o q u e t 理论 比较定理 分支定理 得到系统无病周期解的 稳定性 非平凡周期解存在性的充分条件 结论表明冲输入模式策略更有利于疾病 的消除 个体之间免疫差异的存在使得染病者数量增加 为消灭传染病提供了更有 力的理论依据 其次 研究弓形虫病传播模型的动力学行为 运用微分方程基本理 论 得到疾病灭绝的充分条件 理论结果表明猫之间的水平传染率和垂直传染率越 小 则感染种群数量越小 第三章 我们分别建立具有脉冲干扰共享捕食者 带有疾病和分布时滞的两类 捕食模型 构造不同时刻的脉冲干扰 并通过单调迭代规则研究系统的持久性 运 用叠合度方法研究正周期解的存在性 在带有疾病和分布时滞的捕食模型中 以平 均时滞作为参数 得到了正平衡点的稳定性的充分条件 第四章 基于害虫控制策略 考虑微生物杀虫剂 化学杀虫剂和释放天敌 以 捕食模型为基础建立连续和脉冲不同模式下的综合害虫控制模型 通过对模型的研 究 得到了系统害虫灭绝周期解的全局稳定性和系统一致持久的充分条件 此外 我们还建立了一类具有脉冲收获的有限时间害虫控制模型 考虑初值边值问题 运 用比较定理 上下解方法 得到了解存在的充分条件 结论表明在有限时间内可以 消除害虫 关键词 脉冲动力系统 传染病模型 捕食模型 综合害虫控制 稳定性 持久性 最 西 麓当捧落矿够鞲协曼嘻 a b s t r a c t i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eo b t a i n e dm u c ha t t e n t i o nf r o mm a n ya u t h o r s a n dd e e p l yd e v e l o p e dd u r i n gt h ep a s taf e wy e a r s i th a sb e e nw i d e l ya p p l i e d i nv a r i o u sd o m a i n ss u c ha sb i o l o g i c a lt e c h n o l o g y m e d i c i n ed y n a m i c s p h y s i c s e c o n o m y p o p u l a t i o n d y n a m i c sa n de p i d e m i o l o g y i ti sw e l l k n o w nt h a tm a n yr e a lw o r l d p h e n o m e n aa n dh u m a na c t i v i t i e sd oe x h i b i ti m p u l s i v ee f f e c t si nt h ef i e l do fp o p u l a t i o nd y n a m i c sa n de p i d e m i o l o g y t h i st h e s i st a k e st h ec o n t i n u o u sa n dp u l s e d y n a m i cs y s t e m sa sb a c k g r o u n d d e v e l o p i n gt h ei n n o v a t i o ni nc o m b i n i n gs i t eo f t h ee p i d e m i cd i s e a s ed y n a m i cs y s t e m p o p u l a t i o nd y n a m i cs y s t e ma n dt h e m t h e g o a lo ft h i st h e s i si st oe s t a b l i s ht w op a t t e r n so fr e c r u i t m e n ti na ne p i d e m i cm o d e l w i t hd i f f e r e n c ei ni m m u n i t yo fi n d i v i d u a l s d y n a m i c so fam o d e lo ft o x o p l a s m o s i sd i s e a s ei nc a ta n dh m n a nw i t hv a r y i n gs i z ep o p u l a t i o n s a n dd y n a m i c so fa p r e d a t o r p r e ym o d e ls h a r i n gap r e d a t o rw i t hi m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n i na d d i t i o n c o m b i n i n gw i t hp o p u l a t i o nd y n a m i c sa n de p i d e m i o l o g y w es t u d yd y n a m i c so fa p r e y p r e d a t o rs y s t e mw i t hd i s e a s ea n dd i s t r i b u t i o nd e l a yi nt h ep r e y a n dp e s tr e g u l a t i o nb ym e a n so fn o n l i n e a rc o n t r o l s t h e n w es t u d yt h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n s t h ep e r m a n e n c ea n dc o m p l e x i t yo ft h es y s t e m f r o mt h ev i e w p o i n to fb i o l o g y t h em a t h e m a t i c a lr e s u l t sa r ef u l lo fb i o l o g i c a lm e a na n dc a nb eu s e dt op r o i d e d r e l i a b l ef o u n d a t i o n sf o rm a r k i n gd e c i s i o n s i nc h a p t e r2 f i r s t l y as i re p i d e m i cm o d e lw i t hd i f f e r e n c ei ni m m u n i t yo f i n d i v i d u a l su n d e rd i f f e r e n tp a t t e r n so fr e c r u i t m e n ti si n v e s t i g a t e d f o rt h ec o n t i n u o u sr e c r u i t m e n tm o d e l a c c o r d i n gt ot h ep o i n c a x e b e n d i x s o nt h e o r e m w eo b t a i n t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x t i n c t i o no ft h ed i s e a s e f o rt h ep u l s er e c r u i t m e n t m o d e l b yu s i n gf l u q u e tt h e o r y c o m p a r i s o nt h e o r e ma n db i f u r c a t i o nt h e o r e mo f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h es t a b i l i t y o ft h ei n f e c t i o n f r e ep e r i o d i cs o l u t i o na n dt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n s o u rr e s u l t si n d i c a t et h a tf e w e ri n d i v i d u a l sa r ei n f e c t e da st h ep u l s er e c r u i t m e n ti st a k e n d i s p l a y i n gi t se f f e c to nt h ec o n t r o lo ft h ed i s e a s e a n dt h en u m b e ro f t h ei n f e c t e di n c r e a s e sa st h ee x i s t e n c eo ft h ed i f i e r e n c ei ni m m u n i t yo fi n d i v i d u a l s s e c o n d l y d y n a m i c so fam o d e lo ft o x o p l a s m o s i sd i s e a s ea r ea n a l y z e d a c c o r d i n g t ot h eb a s i ct h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w eo b t a i nt h es u 伍c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x t i n c t i o no ft h ed i s e a s e o u rr e s u l t si n d i c a t et h a th 1 h o r l z o n t a l t r a n s m i s s i o nr a i t ea n dl o wv e r t i c a lt r a n s m i s s i o nr a t ei n c a t sw i l lg u a r a n t e et h ei o w i n f e c t e dp o p u l a t i o n i nc h a p t e r3 w ee s t a b l i s hap r e d a t o r p r e y m o d e ls h a r i n ga p r e d a t o rw l t n i m p u l s i v ep e r t u r b a t i o na n dap r e y p r e d a t o rs y s t e mw i t hd i s e a s ea n d d l s t r lb u t l o n d e l a yi nt h ep r e y r e s p e c t i v e l y w ec o n s t r u c ti m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n sa td l f i e r e n t f i 斑t i m e sa n i as t u d yt h ep e r s i s t e n c eb ym o n o t o n ei t e r a t i v es c h e m e sa n d t h ee x 斌e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nb yu s i n gt h em e t h o do fc o i n c i d e n c ed e g r e e m a t h e m a t i c a la n a l y s i 8o ft h em o d e l w i t hd i s e a s ea n dd i s t r i b u t i o nd e l a yi nt h ep r e y r e g a r d i n gt h ec o n d i t i o n o fs t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ep o i n th a sb e e n o b t a i n e db yu s l n g a v e r a g et i m ed e l a ya sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s i nd l a p t e r4 b a s e do nt h ef a c to fp e s tm a n a g e m e n t t w od i f f e r e n ti n t e g r a t e d p e s tm a n a g e m e r i tm o d e l sa r ei n v e s t i g a t e d w h i c hr e l yo n s p r a y i n go fm i c r o b i a ia n d c h e m i c 越p e s t i c i d e s t o g e t h e rw i t hr e l e a s e o fe n e m i e s w eo b t a i nt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h eg l o b 以s t a b i l i t yo ft h ei n f e c t i o n f r e ep e r i o d i c s o l u t i o na n dt h e p e m a n e n c eo ft h es y s t e m f u r t h e r m o r e w ec o n s t r u c tt i m e l i m i t e dp e s tc o n t r o l o fak 西s t i cp r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hi m p u l s i v eh a r v e s t c o n s i d e r i n gt h ei n i t i a l a n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m b yu s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l ec o m b i n i n gw l t na s e r i e so ft h eu p p e rs o l u t i o n sa n dl o w e rs o l u t i o n s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sg u a r a n t e e m g t h e 啦s t e n c eo ft h es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d o u rr e s u l t si n d i c a t et h a t t h ep e s t sc a n b ee r a d i c a t e di nt h el i m i t e dt i m e k e yw o r d s p u l s ed y n a m i cs y s t e m e p i d e m i cm o d e l p r e d a t o r p r e ym o d e l i n t e g r a t e dp e s tc o n t r o l s t a b i l i t y p e r m a n e n c e 日u舌 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 目录 l 预备知识 3 脉冲微分方程 3 脉冲微分方程的比较定理 4 线性脉冲周期系统f l o q u e t 乘子理论 7 周期脉冲微分方程的分支定理 8 m a w h i n 延拓定理 1 0 第二章传染病模型 1 1 2 1 具有免疫差异的两种再生模式的s i r 模型 1 2 2 1 1 生物背景 1 2 2 1 2 模型的建立 1 2 2 1 3 连续人口输入 1 3 2 1 4 脉冲人口输入 1 7 2 1 5 生物结论 2 2 2 2 具有人口规模变化的人猫之间弓形虫病的传播模型 2 3 2 2 1 生物背景 2 3 2 2 2 模型的建立 2 4 2 2 3 稳定分析 2 7 2 2 4 生物结论 3 0 第三章捕食模型 3 3 3 1生物背景 3 3 3 2 具有脉冲干扰共享捕食者的捕食模型 3 4 3 3 具有分布时滞和染病食饵的捕食模型 4 5 3 4 生物结论 4 9 第四章基于综合害虫控制策略的捕食模型 5 1 4 1 一类非线性害虫控制策略模型 5 1 4 1 1 生物背景 5 2 4 1 2 模型的建立 5 2 届毕业论文 1 2 7 5 8 4 8 5 前言 土上 l 月u吾 许多生命现象可以用动力学的方法来建立 通过建立描述这种现象的模型进 一步研究自然科学的问题 以使人们对生命科学得到更多的了解 对某些生物现象 进行优化控制 1 这些模型的研究常常引发数学理论中的微分方程的研究 用连 续微分方程描述的种群生态动力系统 其研究结果十分丰富 最为经典的系统之一 l o t k a r v o l t e r r a 系统最初是由美国种群学家l o t k a 在1 9 2 1 年研究化学反应和意大 利数学家v o l t e r r a 在1 9 2 3 年考虑鱼类竞争时分别独立提出来的 2 0 世纪7 0 年 代 关于l o t k a v o l t e r r a 系统的研究进一步活跃起来 其广度和深度更为加强 在 传染病动力学方面 1 9 11 年公共卫生医生r o s s 博士利用微分方程对疟病在蚊虫与 人群之间传播的动态行为进行了研究 1 9 2 7 年k e r m a c k 与m c k e n d r i c k 为了研究 1 6 6 5 1 6 6 6 年黑死病在伦敦的流行规律及1 9 0 6 年瘟疫在孟买的流行规律 构造了 著名的s i r 仓室模型 继后 又在1 9 3 2 年提出了s i s 仓室模型 并在分析所建立的 模型上 提出了区分疾病流行与否的 阈值理论 为传染病动力学的研究奠定了基 础 2 近些年来 人们发现自然界的许多生物现象的发生以及人们对某些现象的优化 控制 并非是一个连续的过程 不能单纯地用微分方程或差分方程进行描述 诸如 渔业资源生产中的鱼苗的投放 鱼类的季节产卵 成鱼的收获 农业生产中的投放 天敌 喷洒农药 以及疾病控制中的疫苗接种 癌细胞的放疗和化疗等 这些活动 可以用不连续的脉冲系统来描述 但由于这种系统的状态出现跳跃 导致系统解不 连续 因而使得脉冲系统的研究更加困难 脉冲微分方程理论是在连续微分方程理论基础上发展起来的 它是连续微分方 程的一种特殊情形 因此它的研究更为困难 但其理论将更为丰富 近年来 已有很 多文献 著作对脉冲微分方程进行研究 形成一些基本理论 对此不少文献作了很 好的总结 3 6 虽然脉冲微分方程一般都应用于解决实际问题 但多数文献的研究 主要集中在理论方面 如文献吲研究解的存在性 唯一性和连续性 文献 8 1 0 j 讨 论了解对初值和参数的连续依赖性和可微性 文献 1 1 1 2 j 研究了解的振动性 文献 1 1 3 1 7 研究了系统的解的稳定性 文献 1 8 研究了极限环的存在性 文献 1 9 2 3 1 研究 了周期解的存在性和稳定性 但这些结论仅仅是一些连续系统的平移 在实际中很 难应用 因此 具体讨论脉冲系统在生物模型中的应用具有较高的理论价值和较深 远的意义 本文以连续和脉冲动力系统为基础 将其与流行病动力系统 种群动力系统结 1 天津工业大学硕士学位论文 合并开拓创新 建立了不同再生模式的传染病模型 具有脉冲干扰的捕食模型 并 将种群动力学与传染病学相结合 研究了带有疾病的捕食模型 综合害虫控制模型 研究解的稳定性 系统的持久性和复杂性等问题 针对脉冲在动力学中的实际意义 和种群生态动力学 传染病动力学所关心的一些实际问题 研究各个参数对系统的 影响 为消除疾病 消灭害虫提供了可靠的理论依据 2 第一章预备知识 第一章预备知识 1 1 脉冲微分方程 1 我们考虑由下列微分方程所描述的系统 面d x 邢 z 1 1 1 其中 r q r n qc 形是一个开集 舻是n 维欧几里德空间且风 是非 负实数集合 2 集合m t 芒 cg t t r 3 算子a t m t r 设z 亡 x t t o x o 是系统 1 1 1 以 t o z o 为初值的解 该解的运动过程如 下 点p t 一 t z 亡 从初始位置只 一 t o z o 开始 沿着曲线 亡 z t t o z z t 运动 一直到达时刻t 1 t o 此时点只遇到集合m 在t t 1 处 算子 a t 把点只 一 t l z 芒1 变换为只t 一 t l x a n t 1 其中z 一a t 1 x t 1 然后点只从只t t l z j 开始继续沿系统 1 1 1 的解曲线x t x t t 1 z 运 动 直到在下一个时刻t 2 t l 处遇到集合m 这样点p t 2 一 t 2 x t 2 又变换为 只 t 2 z 亨 亡2 其中z 亨 a t 2 x t 2 同样 点只从只 t 2 z 亨 开始继 续沿着系统 1 1 1 的解曲线x t x t t 2 z 手 运动 只要系统 1 1 1 的解存在 就重复上述过程 我们把刻画上述演变过程的 1 2 和 3 统称为脉冲微分系统 称由只所 构成的曲线及定义该曲线的函数为积分曲线和解 脉冲微分系统的解可以是下列三种情形之一 i 连续函数 如果积分曲线与 集合m 芒 不相交或交于算子a t 的不动点 i i 有有限个第一类间断点的分段连 续函数 如果积分曲线与集合m t 交于有限个算子a t 的非不动点 i i i 有可数 个第一类间断点的分段连续函数 如果积分曲线与集合m 亡 交于可数个算子a 亡 的非不动点 本文假设点p t t z 遇到曲面盯时发生脉冲 其中盯的方程为 亡 z 一0 于是脉冲微分方程的数学模型可以表示为 厂面d x f t z 咖 亡 z 0 l k x i t z 亡 z 0 3 天津工业大学硕士学位论文 其中i r xq q 集合a z n t 和算子a t 定义为 m t 芒 z rxq 亡 z o 芒 一rxq a t m t 一 亡 t z t z4 z t z 点只与集合 1 1 t 相遇的时刻亡k 被称为脉冲时刻 我们假设脉冲微分系统的 解x t 在t k k 一1 2 处是左连续的 即z 亡i l i r a x t k h x t k 自由选取描述脉冲微分方程系统的三个关系 i i i 和 i i i 我们可得到不同 j 的系统 下面考虑固定脉冲时刻的系统 假设集合m t 表示一系列平面t t 七 这里 亡知 是时间序列 使得当k 0 0 时 后 在t t k 处按下列方式定义算子a 亡 得到算子序列 a 尼 a k f t q z a t x z4 厶 z 这里i k q g t 相应地n t 也仅仅在t t k 处定义 有n k a 后 m 忌 这 样选择m 尼 n k 和a 后 一个在固定时刻发生脉冲的脉冲微分系统可描述为 0 g k 和w o 是常数 k n 则对t 0 有 叫 亡 1 2 1 埘 o n e x p f of s d s o t k 后s 歇 e x p 盯 d 盯 9 s 如4 乏 k h 句 乃唧 疋 s d s 鲰 s t k t u k tt k c j 0 我们有 加 芒 叫 o hf ke x p f of s d s 0 t k 名h f k f a d o g s d s s t k f n 办e x p 疋f s d s g k o t t c tt k t j t 脉冲微分方程研究的一个非常重要的理论是脉冲微分方程的比较定理 首先 给出这个定理要用到的极值解的概念 考虑脉冲微分方程 f 掣 g t t t t t k a u t k 饥 u 如 t t k k n 1 2 2 l 仳 亡手 u 0 其中g c r r 捌 妒七 r r k n 定义1 2 1 设r r 亡 t o u o 是区间 t o t o a 上的一个解 如果对于 1 2 2 在该区间上的任何一个解u t 也 芒 t o u o 都有 u t r t t t o t o n 1 2 3 则称r 亡 是 1 2 2 的最大解 如果不等式 1 2 3 的符号反过来 可以得到最小解 的概念 跟连续微分系统一样 在讨论脉冲微分系统 5 t t k t t k k n 1 2 4 如幻 洋毛 刺 埘 灿纵叭 厶m g 琏琏警瓣 lj 1 l 篓拈 血出 天津工业大学硕士学位论文 的稳定性时 经常会涉及到对其解的估计 一个有效的方法是l i a p u n o v 函数法 然而由于系统 1 2 4 的解是分段连续的函数 我们不必要象连续系统那样要求 l i a p u n o v 函数是连续的 只需要其分段连续 假设系统 1 2 4 符合下面的条件 i 0 t l t 2 t k t a 1 且t 知 后一o i i f r r n 舻在 一1 t k xr 竹上连续 且对每一个z r n k n 极 限 l i m l t y 一 砖 z 存在 t 掣 一 丁毒 2 i i i 厶 舻一舻 定义1 2 2 称函数v r r 扎 r 属于集合 如果 i y 在 t k 一1 仇 舻上连续 且对每一个z 形 k n 极限l i m v t y 可 一 靠 茁 一y 砖 z 存在 i i v 关于x 满足局部l i p s c h i t z 条件 对任意的 t 5 他一l 亿 i v v t 5 关于脉冲系统 1 2 4 的上右导数定 义如下 d y 1 z 2 拦器s u p 瓦l v t 4 危 z h f t z 一y t z 1 2 5 类似地 定义脉冲系统 1 2 4 的下左导数为 d y 亡 z 一牌s u p 瓦x v t 4 龙 z4 h f t z 一y z z 1 2 6 如果v c 1 j 0 r 竹 r 贝nd v t z d v t z v 7 亡 z 其中v 7 z z 一 k 芒 z k 亡 z t z 下面给出脉冲微分方程的比较定理 定理1 2 2 令v y o 假设 d 譬动毒务 兰戮蹴圳tc t k v t 4 i k t t k 2 l z z 妒忌 y 芒 z 卜一 7 其中夕 r r 一r 满足定义1 2 3 的条件 i 且 r r 是非减的 又 设r t r t o u o t t o o o 是下面标量脉冲微分方程的最大解 l 他他 g t 让 t t k u 亡去 一饥 乱 芒岛 1 2 8 l 乱 亡击 u 0 0 则y t o 5 0 u o 蕴涵着 v t 5 0 r 亡 t t o 1 3 9 6 第一章预备知识 其中x t x t 0 x 0 是系统 1 2 4 存在于 t o o o 上的任意解 注释把上述不等式中的不等号变成反向 可有类似结论 1 3 线性脉冲周期系统f l o q u e t 理论 下面我们给出线性t 周期脉冲微分方程的f l o q u e t 乘子理论 更详细的结论 见文献 3 1 定义1 3 1 若脉冲微分方程 塞蓦 i 兰 t er b k x t t ak z 1 3 1 i z 卜 7 满足条件 h 1 3 1 h 1 3 1 1a p c r c 几 n a t t a 亡 t r h 1 3 1 2b k c n n d e t e b 南 o 亿 亿 1 k z h 1 3 1 3 存在q n 使得b k q b k 亿 口 t k lk z 则称系统 1 3 1 是线性齐次t 一周期脉冲微分方程 定理1 3 1 3 1 假设条件 h 1 3 1 成立 则系统 1 3 1 的基解矩阵可以表示为 下面的形式 x t 一矽 芒 e 肘 t r 1 3 2 其中a c 似n 是常数矩阵 p c i r c 似n 是非奇异的r 一周期矩阵 由于x t 是基本解矩阵 所以x t t 也是基本解矩阵 且存在唯一的非奇 异矩阵l t l c 似n 使得 x t t x t m t r 1 3 3 定义1 3 2 的单值矩阵 注释1 3 1 定义1 3 3 乘子 我们把方程 1 3 3 中的常数矩阵m 称为相应于基本解矩阵x t 系统 1 3 1 的所有单值矩阵都相似 从而有相同的特征值 称脉冲系统 1 3 1 的单值矩阵的特征值p 1 为其f l o q u e t 定义1 3 4 称定理1 3 1 中的矩阵a 的特征值入1 k 为系统 1 3 1 的 特征指数 或f l o q u e t 指数 且有 一 l n 助 一1 毗 7 天津工业大学硕士学位论文 用下式计算单值矩阵 q m x t n e b 七 e j 孑1 a t 出 1 3 4 南 1 1 3 2 f 3 1 设条件 h 1 3 1 成立 则复数p 是系统 1 3 1 一个乘子当且仅 统 1 3 1 的一个非平凡解妒 使得妒 t t 一p 妒 t r 定理1 3 3 3 条件 h 1 3 1 成立 则有一个非平凡七n 周期解当且仅当它的 某一个乘子的k 次幂等于1 定理1 3 4 f l o q u e t 乘子理论 3 j 设条件 h 1 3 1 成立 则线性t 一周期脉冲 系统 l 3 1 是 1 稳定的当且仅当它的所有乘子m j 一1 礼 的模小于或等于1 即 l 如l 1 而且 模等于1 的乘子心有相应的单重初等因子 2 渐进稳定的当且仅当它的所有的乘子助0 1 佗 的模小于1 即 i 心l 1 1 4 周期脉冲微分方程的分支定理 对于二维的周期脉冲微分方程 其正周期解的存在性还可以通过分析其边界周 期解的稳定性 然后用分支的办法得到 考虑如下二维系统 z i z z 1 x 2 r x l t f 2 z 1 z 一0 1 x l 0 2 x l z 2 芒 z 2 t 如 x 2 南 x 2 其中t 七 1 一t k 一7 0 x l x 2 r 只 f 2 e 1 e 2 为足够光滑的函数 使得系统 1 4 1 满足解的存在唯一性条件并且e 1 e 2 是严格正的 f 2 x l 0 兰0 2 z l 0 三 0 令系统 1 4 1 过初值讯 z l o x 2 0 t 的解为x t 一 z 1 z 2 t 一 西 芒 x o 圣1 亡 x o 垂2 t 弱 t 设当x 2 0 时由系统 1 4 1 得到的唯一系 统有一稳定的t o 周期解z 8 于是系统 1 4 1 有一相应边界周期解 z 8 o 为 了得到分支的周期解 需要分析e 的稳定性 定理1 4 1 若以下两个不等式 i 鲁 蜘m0 筹 州酬 i 第一章预备知识 i 筹 渤 e 俨瓤 r d r 1 成立 则边界周期解e z s 0 是指数稳定的 定理1 4 2 如果1 1 一a o l 1 弼 0 我们有如下结论 a 如果b c 0 则系统 1 4 1 可由边界周期解分支出非平凡周期解 并且 当b c 0 时 分支是次临界的 b 如果b c 0 则仍然无法确定是否发生分支 定理1 4 2 中b c 的计算公式如下 0 0 1 如 t l x o e x p f o j u 掣办 o lo z l 1 掣 石t 唧l j 缸t 掣d r 掣e x p 片0 f 2 2 0 d r d u 一o 圣2 如 t x o e x p f o 掣打 口 1 一 等鬻 0 o b o 一一 等舞 碧舞 x o 一1 一瓮卺 丁o x o 丽0 2 d a 2 t x o f e x p f 0 f 2 c 0 d r 锴e x p f o u 掣办 d 饥 后e x p 竽罄盟打 丝掣e 印 片 0 f 2 c 2 0 d r d u 石t 唧l j u t 掣打 铿 班 片e x p f 掣d r 掣e x p 眉掣d r d p d u 0 2 垂踟2 t 矿 9 0 一掣e x p f o 掣打 a 于 a z 2一a z 2a z 2 山 o 圣1 l f t x o 0 圣1 折 t x o 圣s 芒 1 f 一一所 2z s l l b一 一蕊0 2 0 如2 塑铲 丝甍竽盟n 1 o 如o l 塑铲 塑掣 一旦垃 0 2 0 2 t x o i 0 2 垂2 t x o 上o o lo v l t x o a 茹2 d 于d z 2o x l o x 2口厶o x ld 于 c一 一2 蔫瓮 一等塑掣 丝长等盟 丝长箬盟 一 警 丝甍鲁丝 2 2 等等譬掣一如20 2 圣如2 t 羞 x o 9 天津工业大学硕士学位论文 1 5m a w h i n 延拓定理 m a w h i n 叠合度理论中的连续定理在证明系统周期解的存在性中起了非常重 要的作用 并得到了很好的应用 在对脉冲系统的研究中 我们也试图利用这一重 要结论来研究脉冲系统周期解的存在性 为此 先叙述该结论 详见文献 2 4 1 设x z 是实的b a n a c h 空间 l d o m lcx z 是指数为o 的f r e d h o l m 映射 d i mk e r l c o d i mi m l d 1 h 4 疾病感染率为饱和函数p s q s 且当s 时疾病感染率趋于p h 5 感染个体之间存在免疫差异 其中r 为感染个体恢复为易感者的恢复率 您为 感染个体成为康复者的移出率 2 1 3 连续人口输人 在假设 h 1 一 h 5 的基础上 进一步考虑连续的易感人口输入 建立下面具有 免疫差异的连续人口输入模型 fs 7 一错一d i s t r l i t 芋 b q s t s l t t 一d 2 1 t 一7 1 t 一r 2 j 2 1 2 l 爿 亡 r z i t 一d 3 r t 由于 2 1 2 的前两个方程不依赖于第三个方程 因此我们考虑如下的二维系 统 垆二黔刊1 即m t m 孚 2 1 3 lj 7 芒 一渊一d 2 i t 一r l i t 一r 2 j 芒 7 系统 2 1 3 有无病平衡点e a v q d l 正o 记 晚 掣 则当晚 1 时 系统 2 1 3 有地方病平衡点e b s 事 其中s 事一器 i 幸 望 壁 1 2 二垡 竺 1 引理2 1 1 当毗 赤 曲线p s i 0 分别交直线s 一赤 和直线s 一0 于点b 和点c 从而 1 3 天津工业大学硕士学位论文 篆ib c 呐即 一础 一嘲 一呐k d 一d 2 7 2 邢 o 箬伽 一盟d i q t s 1h 邢 面i a b2 一 r 1 l 艺 o d yi d c 夕u 因此系统 2 1 3 是一致有界的 证毕 设q 为四个点a b c 和d 连线所围成的区域 鉴于传染病模型的实际意义 我们仅在g t 内讨论模型 2 1 3 定理2 1 1 设 s 亡 亡 是系统 2 1 3 的任意解 当蹰c 1 时 它不稳定 证明 系统 2 1 3 在平衡点e a 的雅克比矩阵为 1l d 1 2 l o 矩阵也的特征值为入1 一d l 0 入2 一 c d l 丝t 一s 1 一一y 若晚 1 则 o d l 丝t 一s 1 7 0 即a 2 0 从而平衡点e a 是局部渐进稳定的 否则平衡点既是 不稳定的 证毕 下面运用l y a p u n o v l a s a l l e 定理给出五 全局渐进稳定的条件 记 朋刃 而善 葡 则有以下定理 定理2 1 2 i 当哦 1 且f 0 t 1 时 系统 2 1 3 的平衡点既是不稳定的且系统的正平衡点 e b 存在 证明 i 考虑l y a p u n o v 函数 s s 一岛一 s oi n 詈 i j 0 凳 第二章传染病模型 其中s o o d l t 沿着系统 2 1 3 的解的导数为 等 孚一d i s d 2 i 一7 2 一 s b 南一卫a s d 1 7 s 1 一d 1 岛 嘉 导一2 一i d 2 r 2 丑s 一 为 一d l 岛 嘉 誓一2 一丽丽i 9 s 其中蚤 鲁 2 因为算术平均数大于等于几何平均数 且 g s a l s 2 b l s c l 其中a l d 2 r 2 b l d 2 r 2 a 7 1 s o p e l r l a s o 由于 秽 t 0 时有g s 0 故警 1 时 地方病平衡点点冶 s 是局部渐进稳定的 证明 系统 2 1 3 在平衡点如处的雅克比矩阵为 厂一筛一d l 一箸导 r l a l1 7 一丽干f f 一一万卞 一l 苦舞 广 q s 2 矩阵如b 的特征方程为 a 2 p a q 0 其中系数尸 q 分别为 p 一苦舞 q 一苦每c 丽 3 s 由 y 7 1 知耥 1 从而q 0 由p 0 矩阵 的两个特征值都有非负 实部 因此 点冶是局部渐进稳定的 证毕 下面讨论系统 2 1 3 的全局稳定性 引理2 1 2 设r t s 亡 亡 是系统 2 1 2 的一个t 周期轨道 令 0 2 丽0 f 1 s 芒 m 百0 f 2 s 亡 m 天津工业大学硕士学位论文 其中只 s 亡 s 俅 f 2 s t 印 则 0 成立 证明 由 2 1 3 有 o 丁卜啬 d 器刊抚 i t 为丁周期函数 故 z t c 器刊拈z o t d i n i 一o 从而 o t 一踹 d t 1 时 系统 2 1 3 的地方病平衡点e b 是全局渐进稳定 的 证明 由定理2 1 3 平衡点e b 是局部渐进稳定的 而由引理2 1 2 如果平衡 点e b 周围存在一个周期解 s 芒 j 则任意的周期解都是稳定的 这是不可能 的 由p o i n c a r e b e n d i x s o n 定理 所有轨道的极限集u 必定是平衡点e b 从而e b 在集合q 内全局渐进稳定 证毕 定理2 1 5 当晚 1 时 系统 2 1 2 的地方病平衡点e s s 奉 i 掌 r 是全局 渐进稳定的 其中r 警j 事 为更好地阐述生物意义 我们分别从她 1 和f o t 1 得出等价的临界 值 1 5 i f 7 a d l t 磊 f l a d 2 a r 2 d l t 记 1 5 1 7 一m i n 秽 移1 则有以下推论 推论2 1 1 i 当秽 秽7 时 系统 2 1 3 的无病平衡点e a 是全局渐进稳定 的 i i 当毋 秽7 时 系统 2 1 3 的地方病平衡点e b 是全局渐进稳定的 注2 1 1 由推论2 1 1 临界值否7 和痧决定疾病是否灭绝 如果对易感人群的 连续输入值秽小于等于临界值秽7 则疾病将灭绝 否则疾病将成为地方病 因此 控制连续输入的数量是非常必要的 1 6 第二章传染病模型 同样 由晚 1 和f o t 1 分别得到另外两个临界值 吊 秽 口一7 吊 r i o 上2 万 2 a d a r jo l f 2 n d l 憔一a s o d 2 1 t 凇m n t rr 2 i t m 2 14 l 7 亡 鬻一一r 1 芒 一r 2 芒 他 一如冗 芒 j l 叁黧引t n t n 1 2 j 鬻三嚣呐d 2 i t s 黑r i i t 巩卜z 协 之 印 一譬辫一 一 一r 2 邢 f q 2 1 5 l 会涮三跏 一礼z 扎乩2 fs 他 d 1 s t t n t a s t 猡 t n t 佗 n 2 1 6 ls o 岛 天津工业大学硕士学位论文 无病周期解的稳定性 引理2 1 3 系统 2 1 6 有周期解s 亡 且对于每个具有正初值的解 当t o 时有i s t 一s 4 芒 i 0 其中 s 亡 一t ge 再da t nt 州o 南 瓣 畚 n 暑导器 1 江 三蔷二d 苎2r l 絮 卜z 仁瑚 秽他 一 然 r 2 秽 芒 i q 一 2 1 8 l 恻三搿小 佗z n 乩2 百d o t d 1 棠二0 酢 唧 唧碱端a 一 卜 第二章传染病模型