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文档简介
第1讲 坐标系 基础题组练1在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C:x2y236变为何种曲线,并求曲线的焦点坐标解:设圆x2y236上任一点为P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为P(x,y),则所以4x29y236,即1.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆1,其焦点坐标为(,0)2在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求点M,N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程解:(1)由cos1,得1,从而曲线C的直角坐标方程为xy1,即xy2.0时,2,所以M(2,0)时,所以N.(2)由(1)得点M的直角坐标为(2,0),点N的直角坐标为.所以点P的直角坐标为,则点P的极坐标为,所以直线OP的极坐标方程为,(,)3(2019高考全国卷)在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程解:(1)因为M(0,0)在C上,所以当0时,04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(,)为l上除P的任意一点连接OQ,在RtOPQ中,cos|OP|2.经检验,点P在曲线cos2上所以,l的极坐标方程为cos2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|OA|cos 4cos ,即4cos .因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是.所以,P点轨迹的极坐标方程为4cos ,.4(2019南昌市第一次模拟测试卷)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程;(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为1(1R),2(2R),设直线l1,l2与曲线C的交点分别为O,M和O,N,求OMN的面积解:(1)由参数方程得普通方程为x2(y2)24,把代入x2(y2)24,得24sin 0.所以曲线C的极坐标方程为4sin .(2)由直线l1:1(1R)与曲线C的交点为O,M,得|OM|4sin2.由直线l2:2(2R)与曲线C的交点为O,N,得|ON|4sin2.易知MON,所以SOMN|OM|ON|222.综合题组练1(2019沈阳质量检测(一)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的直角坐标方程为x2(y2)24.以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为,0.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)设A,B分别为射线l与曲线C1,C2除原点之外的交点,求|AB|的最大值解:(1)由曲线C1的参数方程(t为参数),消去参数t得x2(y1)21,即x2y22y0,所以曲线C1的极坐标方程为2sin .由曲线C2的直角坐标方程x2(y2)24,得x2y24y0,所以曲线C2的极坐标方程为4sin .(2)联立得A(2sin ,),所以|OA|2sin ,联立得B(4sin ,),所以|OB|4sin ,所以|AB|OB|OA|2sin ,因为0,所以当时,|AB|有最大值,最大值为2.2(2019湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为2,以极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)A,B为曲线C上两点,若OAOB,求的值解:(1)由2得2cos292sin29,将xcos ,ysin 代入得到曲线C的直角坐标方程是y21.(2)因为2,所以sin2,由OAOB,设A(1,),则点B的坐标可设为,所以sin2cos21.3(综合型)(2019河南名校联盟4月联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的直角坐标方程为x2(y1)21.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(cos sin )5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;(2)在圆上找一点A,使它到直线l的距离最小,并求点A的极坐标解:(1)x2(y1)21即x2y22y0,因为x2y2,sin y,所以圆C的极坐标方程为22sin ,即2sin .(cos sin )5即cos sin 5,因为cos x,sin y,所以直线l的直角坐标方程为yx5.(2)曲线C:x2(y1)21是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆设圆上点A(x0,y0)到直线l:yx5的距离最短,所以圆C在点A处的切线与直线l:yx5平行即直线CA与l的斜率的乘积等于1,即()1.因为点A在圆上,所以x(y01)21,联立可解得x0,y0或x0,y0.所以点A的坐标为或.又由于圆上点A到直线l:yx5的距离最小,所以点A的坐标为,点A的极径为 ,极角满足tan 且为第一象限角,则可取.所以点A的极坐标为.4(2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程解:(1)由xcos ,ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0),半径为2的圆由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以2,故k或k0.经检验,当k0时,l1
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