图象法解题在中学数学中的应用.pdf

苏州教育学院学报自然科学 版年月 图象法解题在中学数学中的应用 朱苏男 学习数学 离不开解题 这是众所周知的 准确 迅速地解出每一道题 就涉及到选用适当 解题方法 的问题 笔者通过实践探索后 发现 图象法在解决 中学数学 的某些 问题时不失为一 种较好 的方法 因为 图象法借助 图形 的直观性 有助于理解题意 探求解题思路 检验解题结 果 避免冗繁的代数运算 从而能迅速 准确地作出解答 一 在求函数的定 义域或值域中的应用 例求函数的值域动 解 把函数式化为 一 一一一 则是两点 认刃 一 和 的连线的斜率 因为在单位圆上且 所以当在切点 心 二 招 时 斜率最大且 甘 当在点时 斜率最小且 如图所以 二 在求最值 中的应用 的值域为 宁 图 例求当 一 晋 晋 时 求函数 招的极值 解将函数化为 二 晋 从而 作出 二 招 在 一 号 晋上 的简 图 如图 算出图象上最高点与最低点的纵坐标 厂 匹几 二 订 一 厄 厄 粤 一 任 因此 一 晋 晋 引 二一 晋 一 函数的最大值为 最小值为 一 例如果实数 满足 一 尹 求工 的最值 图 解作圆 一 尹 二 则工 二 嘿 的几何意义是过圆上点 和原点连线的斜率 入一 甘 当连线是切线时 的值为最值 如 图 在 上 可得 二 招 在 上 可得 一 招 小一仅小 厂 一 招 例求不等式丫 一一 护的解集 解 设 了 一一 护 即有 且 变形 为 尹 因此 可知函数 二 再万不万子的 图象是 以 一 为 圆心 半径为的 圆的上半部分 不等式关厂不万乎 的 解集就是这 一半圆位于直线 的上方 的各点横坐标的集 合 如图 观察图象并解方程 了 一 一 尸 可 知不等式的解集 卜 图 图 二 气斗 卜丫 子甲 吞 魂名 八厂 而 是 卜 一十 气 兰 一 一 一 四 在方程 中的应 用 例讨论方程 一 二 当分 别取何 值时 此方程 有 两解 三 解 四解及无解 解 引入函数 护 一 与 一 为参数 分别作出图象 如 图 从 图中容易看 出 功当 二 或 一 时 方程有两解 当 一 时 方程有三解 当 一 时 方程有四解 当时 方 程无解 五 在 函数中的应 用 例求函数 查 一 好一 的 递 减区 间 解由于函数 告 一 犷 一 劝 是复合函 数 故可设 二 嚼 与 一 一 根据对数 函数定 义域容 易得 到 即 可得到 一 一一 一 方二 之 图 一一乍 久 图 作出 二一 尸 一 的 图象 如图 由 于 鸭 是减函数 根据函数的单调性 可 得到函数的递减区间为 一一 六 在数列中的应用 我们知道等差数列 的通项公式是 二一 改写成 二 一 再与一次函 数相 比较 可以看出等差数列 的通项 是 自变量任的函数 由于自然数集是离散 的 因而 是直线上的点 其图象是落在同一条直线上 的 一群孤立的点所构成的点集 此直线即由相应 的一次函数 一 所确定 这样 等差数列的公 差就是直线上 点集的斜率 如果 残 为该点集上 的另 一点 显然有 气 一 刀一 例 下面不妨看 若 尹 且两个数列 处 与 玩 各成等 差数列 求 一 场 一 解 对于第一数列 与点 处 在同一直线上 一 一 一 二 一了 二万 二一 即 一 号 对于第二个数列 同理有 二芝二卫 过 婉 一 一一一 玩 一 一二 匹二亨 一 于是 一 坑 一一 一 一一 七 在复数 中的应用 例 记复平面上 的顶点 对应 的复数分别为 和归 是坐标原点 同时满 足下列两个条件 一 二 一十 求 的面积的最大值与最小值 解 从 一二 可知 点是在以 为 圆心 半径为的圆周上 如图根据图象容 易得 到 二 瓜 二 二 自 二 又 日二 一 拒 尸是由 按逆 时针方 向旋转 模扩大拒倍得