（新课标）高考数学5年真题备考题库 第三章 第7节 正弦定理和余弦定理 理（含解析）.doc

第3章 三角函数、解三角形第7节 正弦定理和余弦定理1(2014课标，16,5分)已知a，b，c分别为abc的三个内角a，b，c的对边，a2，且(2b)(sin asin b)(cb)sin c，则abc面积的最大值为_解析：由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cos a，又a(0，)，所以a，又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故sabcbcsin a4，当且仅当bc2时，等号成立，则abc面积的最大值为.答案：2(2014福建，12,4分)在abc中，a60，ac4，bc2，则abc的面积等于_解析：法一：在abc中，根据正弦定理，得，所以，解得sin b1，因为b(0，120)，所以b90，所以c30，所以abc的面积sabcacbcsin c2.法二：在abc中，根据正弦定理，得，所以，解得sin b1，因为b(0，120)，所以b90，所以ab2，所以abc的面积sabcabbc2.答案：23(2014天津，12,5)在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sin b3sin c，则cos a的值为_解析：由已知及正弦定理，得2b3c，因为bca，不妨设b3，c2，所以a4，所以cos a.答案：4(2014江苏，14,5分)若abc的内角满足sin asin b2sin c，则cos c的最小值是_解析：由正弦定理可得ab2c，又cos c，当且仅当ab时取等号，所以cos c的最小值是.答案：5(2014辽宁，17,12分)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且ac.已知2，cos b，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(bc)的值解：(1)由2得cacos b2，又cos b，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos b.又b3，所以a2c292213.解，得a2，c3或a3，c2.因ac，所以a3，c2.(2)在abc中，sin b，由正弦定理，得sin csin b.因abc，所以c为锐角，因此cos c.于是cos(bc)cos bcos csin bsin c.6(2014湖南，18,12分)如图，在平面四边形abcd中，ad1，cd2，ac(1)求coscad的值；(2)若cosbad，sincba，求bc的长解析：(1)如题图，在adc中，由余弦定理，得coscad.故由题设知，coscad.(2)如题图，设bac，则badcad.因为coscad，cosbad，所以sincad，sinbad.于是sin sin(badcad)sinbadcoscadcosbadsincad.在abc中，由正弦定理，.故bc3.7(2014课标，4,5分)钝角三角形abc的面积是，ab1，bc，则ac()a5 b.c2 d1解析：选b由题意可得abbcsin b，又ab1，bc，所以sin b，所以b45或b135.当b45时，由余弦定理可得ac1，此时acab1，bc，易得a90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去所以b135.由余弦定理可得ac .8(2014江西，4,5分)在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，c，则abc的面积是()a3 b.c. d3解析：选c由c2(ab)26可得a2b2c22ab6.由余弦定理及c可得a2b2c2ab.所以由得2ab6ab，即ab6.所以sabcabsin6.9(2014重庆，10,5分)已知abc的内角a，b，c满足sin 2asin(abc)sin(cab)，面积满足1s2，记a，b，c分别为a，b，c所对的边，则下列不等式一定成立的是()abc(bc)8 bab(ab)16c6abc12 d12abc24解析：选a因为abc，由sin 2asin(abc)sin(cab)得sin 2asin 2bsin 2c，即sin(ab)(ab)sin (ab)(ab)sin 2c，整理得2sin ccos(ab)2sin ccos c2sin ccos(ab)cos(ab)，整理得4sin asin bsin c，即sin asin bsin c.又sabsin cbcsin acasin b，因此s3a2b2c2sin asin bsin ca2b2c2.由1s2得1a2b2c223，即8abc16，因此选项c，d不一定成立又bca0，因此bc(bc)bca8，即bc(bc)8，选项a一定成立又abc0，因此ab(ab)abc8，即ab(ab)8，显然不能得出ab(ab)16，选项b不一定成立综上所述，选a.10(2014山东，12,5分)在abc中，已知tan a，当a时，abc的面积为_解析：根据平面向量数量积的概念得|cos a，当a时，根据已知可得|，故abc的面积为|sin .答案：11(2014北京，15,13分)如图，在abc中，b，ab8，点d在bc边上，且cd2，cosadc.(1)求sinbad；(2)求bd，ac的长解：(1)在adc中，因为cosadc，所以sinadc.所以sinbadsin(adcb)sinadccosbcosadcsinb(2)在abd中，由正弦定理得bd3.在abc中，由余弦定理得ac2ab2bc22abbccosb825228549.所以ac7.12(2014陕西，16,12分)abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin asin c2sin(ac)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos b的最小值解：(1)a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin asin c2sin b.sin bsin(ac)sin(ac)，sin asin c2sin(ac)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos b，当且仅当ac时等号成立cos b的最小值为.13(2014安徽，16,12分)设abc的内角a，b，c所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，a2b.(1)求a的值；(2)求sin的值解：(1)因为a2b，所以sin asin 2b2sin bcos b.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos a.由于0a，所以sin a.故sinsin acoscos asin.14(2014浙江，18,14分)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2acos2bsin acos asin bcos b.(1)求角c的大小；(2)若sin a，求abc的面积解析：(1)由题意得sin 2asin 2b，即sin 2acos 2asin 2bcos 2b，sinsin.由ab，得ab，又ab(0，)，得2a2b，即ab，所以c.(2)由c，sin a，得a.由ac，得a0)，则b3t，c7t，可得cos c，故c.答案：20(2013福建，4分)如图，在abc中，已知点d在bc边上，adac，sinbac，ab3，ad3，则bd的长为_解析：本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力因为sinbac，且adac，所以sin，所以cosbad，在bad中，由余弦定理得，bd .答案：21(2013浙江，4分)在abc中，c90，m是bc的中点，若sinbam，则sinbac_.解析：本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题考查考生灵活利用公式的能力abm中，由正弦定理，所以a，整理得(3a22c2)20 ，故sinbac.答案：22(2013新课标全国，12分)如图，在abc中，abc90，ab，bc1，p为abc内一点，bpc90.(1)若pb，求pa；(2)若apb150，求tanpba.解：本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力(1)由已知得，pbc60，所以pba30.在pba中，由余弦定理得pa232cos30.故pa.(2)设pba，由已知得pbsin .在pba中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanpba.23(2013江西，12分)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知cos c(cos asin a)cos b0.(1)求角b的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解：本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力(1)由已知得cos(ab)cos a cos b sin acos b0，即有sin asin b sin acos b0，因为sin a0，所以sin b cos b0，又cos b0，所以tan b ，又0b，所以b.(2)由余弦定理，有b2a2c22accos b.因为ac1，cos b，所以b232.又0a1，于是有b21，即有bb babcab da与b的大小关系不能确定解析：法一：由余弦定理得2a2a2b22abcos120，b2aba20，即()210，1，故ba.法二：由余弦定理