倍长中线法(1).ppt

小论倍长中线法及其应用 本讲的主要内容 何为倍长中线法倍长中线法的初步应用倍长中线法的进阶应用小结 何为倍长中线法 倍长中线法 将某个三角形的某条中线延长一倍 之后将新构造所得的端点与该三角形顶点连结 进而构造出一对全等三角形利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题 中线是三角形中的重要线段之一 在利用中线解决几何问题时 常常采用 倍长中线法 添加辅助线 倍长中线法的过程 延长某某到某点 使某某等于某某 使什么等于什么 延长的那一条 用SAS证全等 对顶角 倍长中线最重要的一点 延长中线一倍 完成SAS全等三角形模型的构造 何为倍长中线法 主要思路 倍长中线 线段 造全等 方法一 在 ABC中延长AD到E AD是BC边中线使DE AD 连接BE 方法二 作CF AD于F 延长MD到N 作BE AD的延长线于E使DN MD 连接BE连接CD 倍长中线法的初步应用 例题1 如图 在 ABC中 AB 7 AC 5 AD是BC边的中线 则2AD的取值范围是 解 不妨延长AD至E 使得DE AD 连结B E 则显然AE 2AD 又易证 ADC EDB SAS 故AC EB 在 ABE中 利用三边的不等关系 AB BE AE AB BE 可知2 2AD 12 倍长中线法的初步应用 例题2 已知 ABC中 AB 4cm BC 6cm BD是AC边上的中线 求BD的取值范围 解 延长BD至E 使DE BD 连接CE BD是AC边上的中线 AD CD BDA EDC BDA EDC SAS CE AB 在 CBE中 BC CE BE BC CE 2cm 2BD 10cm 1cm BD 5cm 倍长中线法的初步应用 例题3 在 ABC A B C 中 AD A D 分别是BC B C 边的中线 AB A B AC A C AD A D 请证明 ABC A B C 证明 分别延长AD至E A D 至E 使得DE AD D E A D 连结B E B E 可以证明 ADC EDB A D C E D B SAS 故有BE CA B E C A 1 E 2 E 由于CA C A 故BE B E 进而可证明 ABE A B E SSS 因此 E E 且 BAD B A D 故 1 2 BAC BAD 1 B A D 2 B A C 进而可证 ABC A B C SAS 倍长中线法的初步应用 例题4 如图 AD AE分别是 ABC和 ABD的中线 且BA BD BAD BDA 求证 AE 1 2AC 解 延长AE至F 使EF AE 连接DF AE是 ABD的中线 BE DE AEB FED ABE FDE SAS B BDF AB DF BA BD BAD BDA BD DF ADF BDA BDF ADC BAD B ADF ADC AD是 ABC的中线 BD CD DF CD ADF ADC SAS AC AF 2AE 即AE 1 2AC 倍长中线法的进阶应用 例题5 如图 AB AE AB AE AD AC AD AC 点M为BC的中点 求证 DE 2AM 解 延长AM至N 使MN AM 连接BN 点M为BC的中点 BM CM 又 BMN CMA AMC NMB SAS AC BN C NBM ABN ABC C 180 BAC EAD 又 BN AC AD AB EA ABN EAD SAS DE NA 又AM MN DE 2AM 倍长中线法的进阶应用 例题6 如图 CB CD分别是钝角 AEC和锐角 ABC的中线 且AC AB 求证 CE 2CD 证明 延长CD至点F 使DF CD 连接B F 则由 ADC BDF 可得AC BF 1 A 由AC AB得 ACB 2因为 3 A ACB 故 3 CBF 再由AC AB BF BE及BC BC 可得 CBE CBF 所以CE CF 即CE 2CD 小结 实际上 由倍长中线时的操作便可知 我们总是能通过SAS的全等模型 8 字型 构造全等三角形 之后便能将一些看似 分散 的条件聚集于同一个三角形中 从而将问题明晰 练习1 如图 AD是 ABC的中线 BE交AC于E 交