（江苏专用）高考数学二轮复习 专题13直线与圆学案.doc

专题13直_线_与_圆随着新课程改革的推进，高考对解析几何的考查要求也有了很大的变化，其中对直线方程、圆的方程的考查要求加强了.近几年高考对圆锥曲线的考查仍然势头不减，在填空题中有12道，另外还有一道涉及直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识的综合性解答题.预测在2013年的高考题中：(1)如果解答题中没有涉及直线与圆的综合问题，则在填空题中必定出现直线与圆的较难问题，反之会考查直线与圆的基本问题如直线方程的求解，简单位置关系的判断.(2)在解答题中，由于直线方程和圆的方程均为c级要求，可能出现以椭圆或抛物线为背景的直线与圆的综合问题如定点问题、最值问题等.1 若直线ykx1与直线2xy40垂直，则k_.2 解析：由题意得k(2)1，k.答案：2若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为_解析：化圆为标准形式(x1)2(y2)25，圆心为(1,2)直线过圆心，3(1)2a0，a1.答案：13(2012盐城二模)过圆x2y24内一点p(1,1)作两条相互垂直的弦ac，bd，当acbd时，四边形abcd的面积为_解析：过圆心o向ac，bd引垂线，则构成一个正方形，则o到ac，bd距离为1，则acbd2，则四边形abcd的面积为6.答案：64(2012泰州期末)过点c(3,4)且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，则r1r2_.解析：由题意得，满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，a)，则半径ra，圆的方程为(xa)2(ya)2a2，又c(3,4)在此圆上，将c的坐标代入得(3a)2(4a)2a2，整理得a214a250，r1，r2分别为a214a250的两个解，r1r225.答案：255过点p的直线l与圆c：(x1)2y24交于a，b两点，当acb最小时，直线l的方程为_解析：验证知点p在圆内，当acb最小时，直线l与cp垂直，由圆的方程，圆心c(1,0)kcp2，k.l的方程为y1，整理得2x4y30.答案：2x4y30(1)经过抛物线y24x的焦点且平行于直线3x2y0的直线l的方程是_(2)一条光线沿直线2xy20入射到直线xy50后反射，则反射光线所在的直线方程为_解析(1)抛物线y24x的焦点是(1,0)，直线3x2y0的斜率是，直线l的方程是y(x1)，即3x2y30.(2)取直线2xy20上一点a(0,2)，设点a(0,2)关于直线xy50对称的点为b(a，b)则解得b(3,5)联立方程，得解得直线2xy20与直线xy50的交点为p(1,4)，反射光线在经过点b(3,5)和点p(1,4)的直线上，其直线方程为y4(x1)，整理得x2y70.答案(1)3x2y30(2)x2y701与直线axbyc0平行的直线方程可设为axbyc10，垂直的直线方程可设为bxayc20.2两点关于直线l对称时，两点的中点在l上，且两点连成的直线与l垂直“a1”是“直线ax(2a1)y10和直线3xay30垂直”的_条件解析：若直线ax(2a1)y10和直线3xay30垂直，则a3(2a1)a0，解得a0或a1.故a1是两直线垂直的充分而不必要条件答案：充分不必要设圆c同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆c的方程是_解析由题意可设圆心a(a，a)，如图，则22a22a2解得a2，r22a28.所以圆c的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28. 答案(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28本题考查求圆的方程的基本方法：待定系数法，求解时可结合圆形利用圆的几何性质建立关于参数的方程求解已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆c截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：由题可知，设圆心的坐标为(a,0)(a0)，设圆c的半径为|a1|，圆心到直线l的距离为，根据勾股定理可得，2()2|a1|2，解得a3或a1(舍去)，所以圆c的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为xy30.答案：xy30(2012南通一模)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：(x1)2y21，圆c2：(x3)2(y4)21.(1)若过点c1(1,0)的直线l被圆c2截得的弦长为，求直线l的方程；(2)设动圆c同时平分圆c1的周长、圆c2的周长证明：动圆圆心c在一条定直线上运动；动圆c是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解(1)设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.因为直线l被圆c2截得的弦长为，而圆c2的半径为1，所以圆心c2(3,4)到l：kxyk0的距离为.化简，得12k225k120，解得k或k.所以直线l的方程为4x3y40或3x4y30.(2)证明：设圆心c(x，y)，由题意，得cc1cc2，即.化简得xy30，即动圆圆心c在定直线xy30上运动圆c过定点，设c(m,3m)，则动圆c的半径为.于是动圆c的方程为(xm)2(y3m)21(m1)2(3m)2.整理，得x2y26y22m(xy1)0.由得或所以定点的坐标为，.本题考查直线与圆的综合问题，第(2)小题中的实际上是求圆心的轨迹方程是考查圆中的探索性问题，解决方法一般是先假设结论成立，然后进行推理，若推出矛盾则否定结论，不出现矛盾则肯定结论在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆c上(1)求圆c的方程；(2)若圆c与直线xya0交于a，b两点，且oaob，求a的值解：(1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设c的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆c的半径为3.所以圆c的方程为(x3)2(y1)29.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y，得方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.从而x1x24a，x1x2.由于oaob，可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由得a1，满足0，故a1.1直线与圆的基本量如k，a，b，r的求解，一般是用方程法，建立方程时要结合图形，计算要力求准确2直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法主要是几何法，要掌握求切线长、弦长等问题3直线与圆的综合问题中主要是数学思想方法的运用和含多个字母的代数式的化简1已知直线kxy10与圆c：x2y24相交于a，b两点，若点m在圆c上，且有 (o为坐标原点)，则实数k_.解析：结合图形可知，当a，b，m均在圆上时，平行四边形oamb的对角线om2，此时四边形oamb为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kxy10的距离等于1.即d1，解得k0.答案：02在圆x2y22x6y0内，过点e(0,1)的最长弦和最短弦分别为ac和bd，则四边形abcd的面积为_解析：圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知最长弦ac2，最短弦bd恰以e(0,1)为中点，设点f为其圆心，坐标为(1,3)故ef，bd22，s四边形abcdacbd10.答案：103(2013南京期初调研卷)在平面直角坐标系xoy中，已知圆c的圆心在第一象限，圆c与x轴交于a(1,0)，b(3,0)两点，且与直线xy10相切，则圆c的半径为_解析：由题意可设圆心为(2，b)，半径r，b0，则，解得b1或b7(舍去)则r.答案：4设x，y均为正实数，且1，以点(x，y)为圆心，rxy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为_解析：1，x.令zy1，则yz1，z0，xyz1061016，当且仅当z，即z3时，取等号此时y4，x4，半径xy16.圆的方程为(x4)2(y4)2256.答案：(x4)2(y4)22565(2012苏锡常二模)在平面直角坐标系xoy中，已知点p在曲线xy1(x0)上，点p在x轴上的射影为m.若点p在直线xy0的下方，当取得最小值时，点p的坐标为_解析：设点p，得op2t2，而omt，mp，.点p在直线xy0的下方，且t0，01，得t是正数，所以2.当且仅当t时取等号，即t，解得t，.点p的坐标为答案：6(2012南通三模)若动点p在直线l1：xy20上，动点q在直线l2：xy60上，设线段pq的中点为m(x0，y0)，且(x02)2(y02)28，则xy的取值范围是_解析：设点p(x1，y1)满足x1y120，点q(x2，y2)满足x2y260，两式相加得，点m(x0，y0)轨迹是直线x0y040.则y0x04，代入(x02)2(y02)28得(x02)2(x02)28，解得0x04，所以xyx(x04)22(x02)288,16答案：8,167(2012南京三模)在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,2)，直线l：xy40.点b(x，y)是圆c：x2y22x10的动点，adl，bel，垂足分别为d，e，则线段de的最大值是_解析：线段de的最大值等于圆心(1,0)到直线ad：xy20的距离加半径即为.答案：8若实数a，b，c成等差数列，点p(1,0)在动直线axbyc0上的射影为m，点n(3,3)，则线段mn长度的最大值是_解析：由题可知动直线axbyc0过定点a(1，2)设点m(x，y)，由mpma可求得点m的轨迹方程为以ap为直径的圆，圆心q(0，1)半径r.故线段mn长度的最大值为qnr5.答案：59(2012徐州四市)平面直角坐标系中，已知点a(1，2)，b(4,0)，p(a,1)，n(a1,1)，当四边形pabn的周长最小时，过三点a，p，n的圆的圆心坐标是_解析：ab，pn的长为定值，只要求pabn的最小值pabn，其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3，1)距离之和，当三点共线，即a时，其和取得最小值线段pn的中垂线方程为x3，线段pa的中垂线方程为y，交点即为所求的圆心坐标答案：10已知a(2,0)，b(0,2)，m，n是圆x2y2kx0(k是常数)上的两个不同的点，p是圆上的动点，如果m，n两点关于直线xy10对称，则pab面积的最大值是_解析：因为m，n关于直线xy10对称，故圆心在直线xy10上，则10，解得k2，则圆的方程为(x1)2y21.又直线ab的方程为xy20，则圆心(1,0)到直线ab的距离为d.所以圆上的点到直线ab的最大距离为1，所以pab面积的最大值为s|ab|23.答案：311(2012泉州五校质检)已知圆c：x2y2dxey30关于直线xy10对称，圆心c在第二象限，半径为.(1)求圆c的方程；(2)是否存在直线l与圆c相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)由x2y2dxey30，得22，圆c的圆心c的坐标为c，半径r，由r，得，故d2e220.圆c关于直线xy10对称，圆心c在直线xy10上，10，故de2，由式，得e2d，代入式，得d2(2d)220，即d22d80，解得d4或d2.又圆心c在第二象限，0.d2，e224.圆c的方程为x2y22x4y30，即(x1)2(y2)22.(2)直线l在x轴、y轴上的截距相等，设为a，由(1)知圆c的圆心c(1,2)，当a0时，直线l过原点，设其方程为ykx，即kxy0，若直线l：kxy0与圆c相切，则，即k24k20，解得k2，此时直线l的方程为y(2)x，即(2)xy0；当a0时，直线l的方程为1，即xya0，若直线l：xya0与圆c相切，则，即|a1|2，解得a1或a3.此时直线l的方程为xy10，或xy30.综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为(2)xy0或xy10或xy30.12.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知f1(4,0)，f2(4,0)，a(0,8)，直线yt(0tb0)，当t3时，pq的中点为(0,3)，所以b3.而a2b216，所以a225，故椭圆的标准方程为1.(2)证明：法一：易得直线af1：y2x8，af2：y2x8，所以可