第二章部分习题解答.pdf

第二章部分习题解答 第二章部分习题解答 1 试证下列函数在 z 平面上任何点都不解析 1 yxzf 2 zzfRe 证 1 1 x u 0 0 1 y v x v y u 知 zf 在 z 平面上任何点都不解析 2 1 x u 0 y v x v y u 知 zf 在 z 平面上任何点都不解析 2 下列函数何处可导 何处解析 1 yxxyzf 22 i 解 1 由于 2 y x u xy y u 2 xy x v 2 2 x y v 在 z 平面上处处连续 且当且仅当z 0 时 u v才满足 C R 条件 故 yxxyzf 22 i 仅在点 0 z 处可导 在z平面处处不解析 3 证明 如果函数 ivuzf 在区域 D 内解析 并满足下列条件之一 那么 zf 是常数 1 在内 2 zf 在 D 内解析 3 zf 在 D 内是一个常数 解 1 的证明 由于 故由引理得 根据条件 即有 于是 恒为常数 即 在 内恒为常数 2 若 ivuivuzf 在区域 D 内解析 则 y v y v x u x u x v y u 又 ivuzf 在区域 D 内解析 则 y v x u x v y u 结合 1 2 两式 有 0 vy v x v y u x u 故 vu 在D内均为常数 分别记之为 为实常数 212211 CCCuCu 则 CiCCivuzf 21 为一复常数 3 若 zf 在 D 内为一常数 记为 1 C 则 2 1 22 Cvu 两边分别对于 x 和 y 求 偏导 得 022 022 y v v y u u x v v x u u 由于 zf 在D内解析 满足 C R 条件 x v y u y v x u 代入上式又可写得 0 0 y u u x u v y u v x u u 解得 0 y v x u 同理 可解得 0 vy v x v 故 vu 均为常数 分别记为 21 CvCu 则 CiCCivuzf 21 为一复常数 4 如果 vuzfi 是一解析函数 试证 zfi 也是解析函数 证 1 i ivuzfvuzf uvzfii iii uvzf zfvuii 可知 zfi 为一解析函数 5 证明 柯西 黎曼方程的极坐标形式是 v rr u1 u rr v1 证 令 sin cosryrx 利用复合函数求导法则和 vu 满足 C R 条件 得 sincos y u x u r u r u rr x u r y u r y v r x vv cossincossin 即 v rr u1 又 cossinr y u r x uu sincossincos x u y u y v x v r v u r r x u r y u r 1 sincos 1 总之 有 v rr u1 u rr v1 6 设 iyxz 试求 1 2iz e 2 2 z e 3 z e 1 Re 解 1 xyxxyxz eeee 221i22i2i2i 2 222222 2iiyxxyyxyxz eeee 3 Re e z 1 22 2222 i 1 ReRe Re yx y yx x yx iyx iyx eeee 2222 sinicosRe 22 yx y yx y e yx x 22 cos 22 yx y e yx x 7 下列关系是否正确 1 zz ee 2 zzcoscos 3 zzsinsin 解 1 zyxxxz eeyyeyyee i sini cos sini cos 2 zeeee ee z zzzz zz cos 2 1 2 1 2 cos iiii ii 3 i2 1 i2 1 i2 1 sin iiiiiizzzzzz eeeeeez zee zz sin i2 1 ii 8 试证 对任意的复数z及整数m有 mz m z ee 证 对任意的复数z 当m为自然数时 mzzzz m z eeeee L 当 0 m 时 zz ee 0 0 1 当 为自然数nnm 时 mznz nzn z n z m z ee e e ee 11 9 找出下列方程的全部解 1 01 z e 2 0cossin zz 解 1 原方程等价于 1 z e 于是它的解为 kkz21i21argi 1 ln1Ln L 2 1 0 k 2 由于 m 个 zz zz ee ee z ii ii 2 1 i2 cos sin 故 1i1 i2i2 zz ee i1 i1 i2 z e kz2iargi i ln i2 1 iLn i2 1 i1 i1 Ln i2 1 L 2 1 0 4 1 2 2i2 i kkk 10 设 i rez 试证 cos21ln 2 1 1lnRe 2 rrz 证 由于 1sinicosln1ln1ln i rrrez sini1cosargisin1cosln 22 2 rrrr sini1cosargicos21ln 2 1 2 rrrr 故 cos21ln 2 1 1lnRe 2 rrz 11 求 i 3 和 ii1 的值 解 3lni223argi3lni3Lni 3eeee kk L 2 1 0 3lnsini3lncos 2 ke k k ee 2i1argi i1 lnii1Ln i i1 2 2ln sini 2 2ln cos 2 4 1 2 42 2ln ikk ee L 2 1 0 k 12 若函数 zf 在上半 z 平面内解析 试证函数 zf 在下半z平面内解析 证 1 对于任意的下半z平面上的一点z 则点z是上半z平面上的点 i yxvyxuzf 则 i yxvyxuzf 若 zf 解析 则 vu 满足 C R 条件 y v x u x v y u 因此对于 0Im z 内的任一点 yxzi 有 y yxv y y y yxv y yxv yxu x x yxv y yxu y y y yxv yxu y x yxv 上述两式表明 zf 的实部 虚部在 0Im z 内满足 RC 条件 显然 yxu 与 yxv 在 0Im z 内可微 故函数 zf 在 0Im z 内处处解析 证 2 令 zfzg 对于 0Im z 内的点 注意 到 zf 在 0Im z 内解析 于是有 0 0 0 0 lim lim 00zz zfzf zz zgzg zzzz lim 0 0 0 0 zf zz zfzf zz 即 zfzg 在点 0 z 处可导 且 00 zfzg 由点 0 z 的任意性 知 0 zf 在 0Im z 内 处处解析 13 在 yxvyxuw i 里 将 yxzi 与 yxzi 形式地看作独立变数 写作 zzFw 试证柯