（基础数学专业论文）banach空间中平均非扩张映射的ishikawa迭代.pdf

中山大学硕士学位论文b a 地血空间中平均非扩张浃射韵k h i k z w a 迭代 b a n a c h 空间中平均非扩张映射的 is h i k a w a 迭代 基础数学 硕士生 顾朝晖 指导老师 黎永锦 摘要 本论文主要研究b a n a c h 空间平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代的一些性质 平均非扩张映射是满足下面条件的映射 i 陋一砂 i s n 悻一 6 舡一删 i l 一黟吁 c 舡一黟忡i i 一及小 魄 y 置 口 6 c 苫0 口 2 6 2 c 墨1 丁的i s h i k a w a 迭代为 以a 1 一p 工 x e 1 一a 善 口 母 仁 协 o1 全文共分四章 第一章是前言和背景知识 第二章主要介绍一致凸b a n a c h 空间 1 中平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代 当o 口5 口 s 妄 o s 芦 s o 时 二 i s h i k 鲫a 迭代收敛于f 的不动点 第三章主要讨论平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代的收敛点与最佳逼近元之间的关系 在一定的条件下 i s h i k 鲫a 迭代的收 敛点就是最佳逼近元 第四章主要研究平均非扩张映射对的i s h i k 鲫a 迭代收敛 于公共不动点的问题 当o 口s 口 s 妄 o 成s p o 时 s r 的i s h i k 8 w a 二 迭代收敛于它们的公共不动点 全文得出的结果是对平均非扩张映射性质的一个 很重要的补充 中山大学硕士学位论文b 如a c h 空间中平均非扩张映射的k h i k a w a 迭代 关键字 平均非扩张映射 平均非扩张映射对 i s h i k a w a 迭代 公共不动点 最佳逼近 里堕童翌堂塑 墅 堂皇塑主 垫 堕堂堕堑堕望婪垡兰 垄垡 t h ei s l l i k a w ai t e r a t i o nf o rm e a n n o n e x p a n s i v em a p p i n gi nb a n a c hs p a c e f n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s n a m e g uz h a o h u i s u p e i 啊s o r i jy b n g j i n a b s t r a c t i nt h i st h e s i s i h e 州t h o rs t u d i e ss o m ep r o p e r t i e so ft h ei s h i k a w ai t e r a t i o nf b r m c a n o n e x p a n s i v em a p p 主n gi i lb a n a c hs p a c e t h em e a nn o n e x p a n s i v em a p p i gi s as e m m a p p i i l gs a l i s 丘e st h ef o l l o w i gc o n d i t i o n f 陋一巧i l 墨a 忙一 6 舡一a 忡l i y 一砂时 c 忙 毋 i j 一n m 溉 y k 4 6 c 苫o 4 2 6 2 c 1 ai s h 妇w aj t c r a t i o nf o r 丁j sd e 渤e d b y y 以a 1 一芦 净 z 1 一口 z 口 印 仁 怡 o1 n o w w eb r i e n yi n t r o d u c el h e n t e n ti i lt h i st h c s i s t h ef i r s t c h a d t e ri st h e b a c k g 阳u n do ft l l i st h c s i s t h es e c o n dc h a p t e rj i l t r o d u c e st h ei s h i l a w ai i e r a t i o nf o r l e a n n o n e x p a n s i v e m a p p 证g 恤 u n i f o r m l y c o v e xb a n a c h s p a c e i f b o a n d o os a 音 o s s 卢 o o 口s 口 量 os 卢 s 芦 o 则丁在k 中存在不动点的充 分必要条件是 i 鳟忙一戤卜o 情r 定理1 2 4 设e 是一致凸的b a n a c h 空间 k 是e 中的凸闭集 z 是映k 到 其自身的映射 则r 在k 中存在不动点的充分必要条件是 存在一非空集gc e 使得 i 盼 p 0s 忙 p l c k p g 并且作者在文中还提出这样的映射 i i 戥一巧忙n 忙一y 忡 0 k a 1 1 一巧1 0 讹 y 足 其中o s 口c 1 这里的厂p 满足 0 m o a o 的非负连续函数 并且给出此类映射存在不动点的充要条件 更特殊的映射是 l 陋一印忙n 陋一 卜6 峥一致8 c l l y 一黟8 y k n 6 cz o 4 6 c 1 并且对 其不动点的存在性给出了重要的一些结果 定理1 3 e 4 设e 是自反的b a n a c h 空间 k 是e 中的有界非空闭凸子集 设r 是映k 到其自身的连续映射且满足 i i 陋一印忙口忙一 忡6 忙一a c 忙一砂 足以6 c 芑o 口 6 c s l i i k 具有正规结构 即对k 中每一个包含不只一点的闭凸集f 存在一点 h f 使得s u p 9 一y 0 cd f 的直径 则r 在k 中存在不动点 时 随后许多学者对平均非扩张映射的不动点做了进一步的研究 其中赵汉宾对 平均非扩张映射在b a n a c h 空间和自反的b a n a c h 空间中不动点的存在性和唯一性 以及某些迭代的收敛性做了更进一步研究 给出了下面的重要定理 第2 页 中山大学硕士学位论文b a 瑚c h 空间中平均非扩张映射的k h i h w a 迭代 定理1 4 5 设e 是b a n a c h 空间 眉是茸中的非空闭凸集 设z 是映k 到 其自身的连续映射且满足b o 再设映射t 满足条件 盼一巧0s 卅z y 0 溉 y 芷其中a 是正常数 则映射r 在k 中存在唯一不动点五 并且对z k 和 日 c 8c m n 1 j 害 由迭代程序 a 一疗 戤 砑2 确定的序列k 收敛到不动点工 定理1 5 5 设置是自反的b a n a c h 空间 趸是e 中的有界非空闭凸子集 设r 是映k 到其自身的平均非扩张映射 且b 0 再设丁满足渐近正规性条件 则映射丁在k 中存在不动点 在各位专家学者提出不同的算子的同时 许多专家学者提出了许多不同的迭 代过程 在上个世纪5 0 年代 由w r m a n n 在 6 提出了m 8 n n 迭代 即 工 1 一盘 k a 强 口 0 如 n o 1 2 随后在人们的研究中又提出了 带误差的m a n n 迭代 x n 1 a x 芦 a y n 搜 p y o 1 8 芦 y 1 拧 o 1 2 a m a n n 迭代的提出使得迭代收敛于不动点的问题非常活跃 许多专家学者对这类 问题做了大量的研究 受m 8 n n 迭代的启发 s i s h i k a w a 于1 9 7 4 年首次在 7 提出了i s h i k w a 迭代 y z b 1 一声 工 以 1 一o 屯 巧 仁 伽 o1 i s h i k a w a 迭代的提出使得迭代过程的收敛性异常活跃 吸引了更多的学者研 究此类问题 后来人们又提出了带误差的i s h i k a w a 迭代 即 y 芦 甄 1 一反如 v x 1 一口 b o 口 黟 仁 伽 o1 中山大学硕士学位论文 b a 腑c l l 空间中平均非扩张映射的k h i j c a w a 迭代 近几年 对i s h i k a w a 迭代的研究是个瞩目的热点研究课题 国内外许多专 家学者对其做了大量研究 并且得出了很重要的结果 s i s h i k a w a 首次提出 i s h i k a w a 迭代的时 还给出了以下定理 定理1 6 7 设e 是h 抽e n 空间的一紧凸子集 r 是l i p s c h i z i a n 拟压缩自 映射 弘 e 则仁 的强收敛与r 的不动点 其中仁 为i s h i l a w a 迭代序列 o 如n 卢一 并且恕成 o 善 卢一 随后l i uq ih o u 对l i p s c h i t z i a n 半压缩 拟压缩 一般非扩张等映射的 i s h j a w a 迭代做了深入的研究 得出以下重要定理 定理1 7 8 设c 是h 豇b e n 空间中一紧凸子集 ac c 是l i p s c h i t z i a n 半 压缩映射 则对 c i s h i k a w a 迭代序列k 收敛到丁的不动点 其中 i s h 嫩1 w a 迭代中的仁 慨 满足 1 o 墨吒 卢 s 1 2 舰成t o 3 善哪一一 定理1 8 9 设r 是h n b e r t 空间中一有界闭凸子集c 上的拟压缩映射 仁 是 i s h j j c a w a 迭代 其中o 以 1 恕成 o 且兰笋 s 1 一女2 七是拟压缩映射 常数 蔓七c 1 则对 c i s h i k a w a 迭代序列t 必收敛到r 的唯一不动点 定理l 9 1 0 设c 是h n b e n 空间中一紧凸子集 nc c 是l j p s c h i t z i a n 半压缩映射 如果r 不动点的数目是有限的 则对搬 c i s h i k a w a 迭代序列 扛 必收敛到z 的不动点 其中i s h i l a w a 迭代中的仁 慨 满足 1 o 乜 卢 s 1 2 哩鼠4 0 3 吒p 一m 定理1 1 0 1 1 设c 是h n b e f t 空间中一紧凸子集 r c c 是一般非扩张 第4 页 中山大学硕士学位论文b a n a c h 空间中平均非扩张映射的1 s h j h w a 迭代 映射 如果r 不动点的数目是有限的 则对 c i s h i k a w a 迭代序列 必 收敛到z 的不动点 其中1 s h 诙a w a 迭代中的仁 如 满足 1 os a s 卢 s l 2 熟成 o 3 荟 芦一 邓磊教授等对i s h j a w a 迭代也做了大量研究 得出了很重要的定理 定理1 n 1 2 设c 是满足o p i a l s 条件的b a l l a c h 空间孑中的一个弱紧子集 ac 一盖是非扩张映射 则对魄 c i s h i k 鲫a 迭代序列k 弱收敛到t 的 不动点 其中i s h i l a w a 迭代中的 伽 满足 1 嘶 s 删 弘 o o s 卢 乱 卢 c 定理1 1 2 2 设c 是b a n a c h 空间z 中的一个闭子集 丁 c 一 工的紧子集 是非扩张映射 则对 c i s h i k a w a 迭代序列仁 收敛到r 的不动点 其中 i s h 像a w a 迭代中的仁一 伽一 满足 1 os q s 口 1 蓍q 2 o s 成s 1 卢 t m 定理1 1 3 设盖是一致凸b a n a c h 空间 满足o p i a l 条件或其筢数f r e c h e t 可微 c 是盖闭凸子集 c c 为具有不动点的非扩张映射 则对魄 c i s h i k a w a 迭代序列k 弱收敛到r 的不动点 其中i s h i l a w a 迭代中的 a 扫 满足 1 薹 1 一吼 i 2 荟成 1 一 意大利著名教授c e c h i d u l c 对i s h 呔a w a 迭代也有很深入的研究 他对伪 压缩等映射的研究中得到了重要的结论 定理1 1 4 1 4 设世是h i l b e r i 空间中的一非空紧凸子集 nk k 为连续 第5 页 中山大学硕士学位论文 b a c h 空间中平均非扩张映射的b h i k a w a 选代 的伪压缩映射 则对v k c k 为i s h i k a w a 迭代序列 其中仁 伽 满足 以下条件 1 o s a s 卢一s 1 2 现成 o 3 磊 卢一 o 4 荟 卢一d 一 其中6 一 2o 巧n 一孜一n 则仁 强收敛到r 的不动多 最近曾六川教授对渐进非扩张映射 渐进伪压缩映射等做了大量深入的研 究 首先定义了带误差的修改的i s h i k a w a 迭代和修改的i s h i l a w a 迭代 y 卢 r 1 一成一d 扣 6 v 石 1 型 1 一口 一r j a r y y m 分 秘 仁 伽 o1 k 为有界序列 则称k 为带误差修改的 i s h 扳a w a 迭代 特别当 d o 则称仁 为修改的i s h i l a w a 迭代 曾六川教授证明了下面的一些结果 定理1 1 5 1 5 设d 是b a m c h 空间z 中的一个非空闭凸子集 ad d 是 具有实数列忙 c o o 且 独t 1 是一致l l j p s c h i t z 的渐近伪压缩映射 乙z 1 设缸一 慨 o1 的实数列 满足条件 1 a 一 o 荟口一i 2 荟a 一2 荟吼以一1 3 荟吒卢一c 则对坛 d 仁n 是修改的 i s h i k a w a 迭代序列 如果f 仃 一庐 g f 口 是一给定的点 而且存在一严格 增加函数妒 o m 一 o m 妒 0 t 0 使得 r k 一目 一日 s 七 k 一口j 1 2 一妒 慨 一日忱h 苫o 其中j 一q 0 一g 是按渐近伪压缩映射定义中的善 和口所确定的元 则仁 强收敛于g 第6 页 中山大学硕士学位论文 b a 肺曲空间中平均非扩张映射的i s h i h w a 迭代 定理1 1 6 1 5 设d 是b a n a c h 空间z 中的一个非空闭凸子集 ad 一 d 是 具有实数列证 c o 且l i m 吒 1 是一致l l i p s c h i t z 的渐近伪压缩映射 z 1 如果z 的值域d p 有界 f 仃 爹设备 如 p 至 o1 的实数列 满足条件 1 a y 弓1 p d s 1 2 吒 o o 一 荟 荟 一 磊 4 荟 卢一 6 一 磊吒 七一一1 c 则对戡 d 是带误差的修改的i s h i k a w a 迭代序列 如果g f p 是一绘 定的点 而且存在一严格增加函数妒 0 一 0 o o 使得 仃 z 一窜 o 一口 s i 慨 一目4 2 一驴 k 一g 忱v h 芑o 其中j 瓴 一g 厂o 一g 是按渐近伪压缩映射定义中的扎 和g 所确定 的元 则扛 强收敛于留 在张石生教授提出平均非扩张映射之后 未见对平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代的研究 本文作者对这以问题的研究补充了平均非扩张映射的性质 受文献 1 6 的启发 本文作者对平均非扩张映射不动点集与最佳逼近元之间的关系的研 究是有意义的 在研究各种映射的时候 也提出映射对的概念 对映射对的研究 又是一个热点 张石生教授在文献 1 7 给出了平均非扩张映射对公麸不动点的存 在性 近来文献 1 8 2 0 的作者对拟压缩映射对的i s h i k a w a 迭代的共同收敛 性做了深入研究 本文作者对平均非扩张映射对的i s h i k a w a 迭代的共同收敛性 的研究得出了较好的结果 本文将分别在第二 第三和第四章对这些问题进行讨 论 第二章主要介绍一致凸b a n a c h 空间中平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代 当 第7 页 中山大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中平均非扩张映射的i s l l i k a w a 选代 o 口 口 量去 o 几 卢 o 时 i s h i k a w a 迭代收敛于r 的不动点 第三 二 章主要讨论平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代的收敛点与最佳逼近元之间的关 系 在一定的条件下 i s h i k a w a 迭代的收敛点就是最佳逼近元 第四章主要研 究平均非扩张映射对的i s h i k a w a 迭代收敛于公共不动点的问题 当 1 o o a 墨妄 o 卢 p o 时 s 丁的i s h i k a w a 迭代收敛于它们的 上 公共不动点 全文得出的结果是对平均非扩张映射性质的一个很重要的补充 第8 页 中山大学硕士学位论文 b a m c h 空间中平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代 令 第二章一致凸空间平均非扩张映射的 ls h i k a w a 迭代 2 1 任意b a 船c h 空间中i s h i k 鲫a 迭代 定义2 1 4 设x 是b a n a c h 空间 r 是z 中映射 若 j 盼一巧j j sa 忙一 忡6 舡一戤卜i l y 一印肚 c 缸一巧卜j l y 一致小 2 一1 d r 口 6 c 苫0 口 2 6 2 c 1 称丁为平均非扩张映射 定义2 2 7 设x 是线性赋范空间 t x 一盖是平均非扩张映射 对z 盖 y 一声 z k 1 一卢 扣 工 l 1 一口 石 8 矽 称仁 是关于仁 怡 量 o1 的i s h i k a w a 迭代 2 2 引理2 1 设z 是b a n a c h 空间 r d 口 一x 是具有不动点的平均非扩张映 射 则对 k 善 r 的i s h i k a w a 迭代序列有界 证明 设仁 是i s h i k a w a 迭代序列 令f 口 是r 的不动点集 对给定的 p f 有 j 盼 p 忙0 跣一印 s a 忙 p 6 舡一叫 怕一劢 c 恤一印卜怯一戤卧 s n 忙 p 卜6 弘一p 卜i i p a c 秕一圳 f f p a 时 化简整理 得 慨1 4 s 詈兰等肛1 h k l 令詈兰鲁 l 第9 页 巾山大学硕士学位论文 b a m c h 空间中平均非扩张映射的i s h i k a 啪迭代 因为口 幼十2 c 譬1 所以口 6 c5 1 6 一c 1 6 一c o 即半5 1 l d c 1 j x 一p 1 1 l i 1 一口 z a 巧 一p 0 i i 1 一口 0 一p a 黟 一p 州 s 1 一口 i k 一p 0 口 l i 巧 一p 0一 s 1 一a i 卜 一p 0 a 上i i y 一p i l 1 一a j b 一p 8 口 工0 卢 致 1 一声 z 一p 1 一口 埔 一p 8 a 工1 1 卢 乳 p 1 一卢 0 一p 州 s 1 一口 l k 一p 0 口 卢 l l i a 一p 0 a 1 一芦 工i 卜 一p 0 s 1 一a l k 一p 4 a 卢 工2 l k 一p 0 口 1 一卢 弘i k 一p 0 s 1 一口 口 1 一卢 弘 口 卢 工2 i k 一p 8 一s l 防 一 一p s 忙 一硼 从而 k 有界 定理2 1 设x 是b a n a c h 空间 r 是x z 的具有不动点的平均非扩张映 射 且 1 oc aj 口 1 对 j 则r 的i s h i k a w a 迭代k 收敛于r 的 不动点 证明 从引理2 1 中可知 慨 一p 0s 1 一口 a 1 一声 l a 卢 l 2 蜘 一p s 1 一口 1 一上 卢 工 1 0 x 一pj 1 s 1 一口 1 一三 忙 一p i 蓝 1 一口 1 一工 i k 一p 第1 0 页 坐奎兰堡主兰垒笙茎 竺型坐鲨塑翌竺塑壁2 塑塑塑塑坐塑 竖 l s 1 一口 l 埔x 一p 0 s 1 一d 吐 4 i k 一p 0 一0 0 一m 即x 一p 2 2 一致凸b a 蚰c h 空间中的i s h i k a w a 迭代 弓l 理2 2 设x 是一致凸b a n a c h 空间 r 是工一x 的具有不动点的平均菲 扩张映射 且oc 口s 委 o s 成s 芦 0 m 1 甬卜并且i 瞄卜 由于空间舻致凸性 师存在萨 盒 0 使 i k 一p 8 i i 1 一口 口 母 一p 0 墨 1 一加 i h p p a 一p 0 1 一勉 h 1 卜 h p 08 两 列 s 1 一缸 i k p 0 口 i k p f i 2 一甜 1 一嗽 i k p i k p 卜蝴h i h p 0 第1 2 页 b a 舳c l l 空间中平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代 从而 s 慨 p 卜 a s k 一p i sj k 印卜伽s 墨i k p 8 一批s 一 s k 1 卜纽吗 s l k p 卜知 si k p 卜3 一 s s j k 1 0 一t 伽 由此可得 当七充分大时 有慨 1 c o 矛盾 从而引理2 2 得证 引理2 3 在引理2 2 的条件下 有 鳃慨一a 忙o 2 4 证明 惦一a 8s k 一黟 0 j 眇 一2 x0 j k 一矽 n 4 y 一矗卜6 扯 一砜4 0 y 一了 l i c 舡 一巧 0 0 y 一a 肚 1 c 忙 一巧 8 帆一吒卜6 k 一豫 卜6 i l y 一毋 c 忪 一a 1 c 慨一巧 a 8 成戥 1 一成k 一 忡6 恢一a 6 l 芦 i 1 一筘 扭 一 t y 4 c l 芦 致 1 一芦 苫 一致 8 1 c k 一矽 卜 i 蛾a 一 忤6 k a 6 归 致 一声 一巧 l c 0 卢 戤 一只 工 一a s 1 c i k 一巧 a 以0 a 一 卜6 l i n 一矗卜6 凤j 盼 一 j 6 成 k 一巧 卜c 1 一卢 慨一2 k8 中山大学硕士学位论文 b a 舶c h 空间中平均非扩张映射的k h i k w a 迭代 s 1 c 6 卢 0 z 一印 i i 陋卢 6 6 卢 c 1 一卢 i k 一n 从而 1 一口卢 一6 6 卢 一c 1 一卢 0 x 一孤 s 1 c 6 卢 0 x 一巧 0 1 一口卢 一6 6 卢 一c 1 一卢 1 4 卢 一6 6 卢 一c c 卢 1 一 4 6 一c 卢 一6 一c 芑口 6 c 一 矗 6 一c 卢 女 果4 6 一c 0 贝u1 一口芦 一6 6 卢 一c 1 一卢 o 如果口 6 一c o 贝u1 一口卢 一6 6 卢 一c 1 一 苫 因此 巍i k 一戤 8 t o 口 6 c 一 口 6 一c 卢 0 足理2 21 殳盖是一致凸b a n a c h 空间 r 是z 一盖的具有不动点的平均非 扩张映射 且6 o c 口s 吒s 圭 o s 成 卢c 1 对比 x 则t 的i s h i k a w a 迭代t 收敛于z 的不动点 证明 下面先证明缸 是柯西列 v m o 卅 i 陋 一取 0 墨口怯 一 4 6 一a 卜k 一致 时 c 仳一a k 一投 时 s k z k 卜i 陋 一戤 慨 一a 6 舨一a 卜 一巩 肘 c k 一a 忏l 阮一a 卜l k 一戥 卜i i 戤 一致 卧 由于6 0 因此1 一口一2 c o 第1 4 页 中山大学硕士学位论文b a n a c h 空问中平均非扩张映射的j s h i k a w a 迭代 整理 得 i 盼 一戤 忙兰警薏恢一戥 o 三兰k 一研 j k a 1 i o 一 o 故k 一n 0 一o n m 一十 因此 j 盼 一h 0 一o 历一 m 从而钕 是柯西列 令 l 趣巩 p 由引理2 3 可见l i m z p 而且p 是r 的不动点 第1 5 页 中山大学硕士学位论文 b a 曲c h 空间中平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代 第三章平均非扩张映射不动点集与最佳逼近 3 1 严格凸空间中平均非扩张映射的不动点集 定义3 1 设z 是线性赋范空间 若v x o y o 都有 忙 忙 十酬一x 口 a o 称盖是严格凸的 定义3 2 设x 是线性赋范空间 若v 扛 1 0 cx 慨l 帆0 1 且 i k y l 一2 尼一m 都有j k y 8 一o 抖一m 称z 一致凸的 下面讨论平均非扩张映射的不动点集合 对于平均非扩张映射r 令 口 是r 的不动点集 对给定的p f 口 有 0 戤 p 忡 戤一功0s n 肛 p 6 忙一觋忡怯一印时 c 舡一印忡怕一溉甜 s n 忙1 卜6 卜一p h p n c 舡一p h p 一刮 化简整理 得 慨1 悟詈三鲁忙1 l s x 1 8 令詈三鲁 己 定理3 1 设盖是严格凸b a n a c h 空间 r 是盖中具不动点集f 口 的平 均非扩张映射 则f 口 是闭凸集 证明 设p 1 p 2 f 口 v f o 1 有p 1 1 一f p 2 f 口 若否 j f o 0 1 使f o p l 1 一气 p 2 诺f t 令 p 3 p 1 1 一f o p 2 3 1 由r 是平均非扩张映射可知 第1 6 页 中山大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中平均非扩张映射的b h i k a w a 迭代 故 p l 一印3 ip l p 3 p 2 一印3i l l p 2 一p 3f p 一印 p 2 一印3j p l p 3 li ip 2 一p i l 而另一方面 p 1 一o o p l 1 一f o p 2 l0p 2 一o o p l 1 一b p 2 i l l0 p 一 f p 1 一f 0 p i j l ip 一p p 1 一f 0 p p 1 一p 2 一f p 1 一p 2 i i f 0 i p 1 一p 2 l lp l p 2 p 一功 i i i lp 一黟 i i p p 1 若工 1 则矛盾 2 若l 1 则有 p 1 一印3j i 0p 2 一印3 p 1 一p 2 i i p 一劢 l l p 一黟 i i i p 一劢 十 劢 p 由于工严格凸 因此 口 0 使 p 1 一印3 2 口 印3 p 2 口 d 功3 p l 叩2 由于 p 3 f o p l 1 一 p 2 聍是 熹 3 2 口 la l p 3 一p 1 2 f o p l p 1 1 一f o p 25 1 一f o p 2 一p 1 3 3 p 2 一p 3 p 2 一f o p l 一 1 一f o p 2 p 2 一p 1 3 4 再由 3 2 式 醌w 鼎 罴w 警 c s 叫 粉盯持一熹2 半 叫 口 ld l a 第1 7 页 中山大学硕士学位论文 b a 砷c h 空间中平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代 由于印 畅 贝4 寿 击 i 若熹 棚 点 1 f 由 3 3 和 3 5 式 有 l i p 3 p l l 1 一f 0 i ip 一p i l 三l lp 一p l j j 印 印 虬矛盾 a l 一一 一 再证f 口 是闭集 设 仃 且工 一x l 一 则 x 一a ol a 一溉o z x 0 0 一 故 a o f 口 所以f 口 是闭集 推论3 1 一致凸b a n a c h 空间中平均非扩张映射的不动点集是闭凸集 3 2i s h i k a w a 迭代极限点与最佳逼近 首先引入最佳逼近元存在定理 定理3 2 设e 是一致凸b a n a c h 空间z 中闭凸集 魄 石一e 存在唯 一p e 使得l lx 一po 罐i k y l l p 就称为x 在e 中的最佳逼近元 由于一致凸b a n a c h 空间中具不动点的平均非扩张映射r 的不动点集f 仃 是闭凸集 从而对v z f 口 都存在唯一的p f 口 是 在 口 中的 最佳逼近元 设从而出发的i s h i k a w a 迭代序列为 y 声 投 1 一卢 扣 第1 8 页 中山大学硕士学位论文b a 舶曲空间中平均非扩张映射的k h j b w a 迭代 工 1 一口 z a 巧 缸 成 0 1 下面就来研究平均非扩张映射的i s h 丑 a w a 迭代收敛点与最佳逼近元之间的 关系 例3 1 当丁是b a n a c h 空间中压缩映射时 r 有唯一不动点 从而这个不动点是任 意 的最逼近元 饲3 2 设盖 r 2 尸 x y z 令丁 x y 一 x o 平均非扩张映射 则 口 2 x o j 一 l 则r 是平均非扩张 i z i 1 映射 且f 仃 z z izj 1 易见vz r e x p i 口 其i s h i k a w a 迭代收敛于 e x p i 口 而e x p i 口 恰是r e x p i p 在 口 中的最佳逼近元 定理3 3 设x 是h i l b e r t 空间 r 是具不动点集f f 的平均非扩张映射 f 叮 满足如下条件 p l p f 仃 va r a p 1 一p 2 p 2 f r 则 v x 若由 出发的i s h i k a w a 迭代 z 收敛于p f 仃 则p 0 必是 在 f f 中的最佳逼近元 即 刖2 兽川 一川2 d f 丁 证明 由定理3 1 可知 口 是闭凸集 再由定理3 2 可知 在f p 中存在 唯一最佳逼近元p 若由工 出发的i s h i k a w a 迭代 工 收敛于p f r 且 a 4p d 令p2 凡 p 0 一p 1 p 1 o 由于p o 是 的最佳逼近元 可先证明 第1 9 页 中山大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中平均非扩张映射的妯j k a w a 迭代 z 一风 上 p 一p 若不成立 则 一p o p o p 1 o l z 一p 一a p 一p 2 z o p o 一 p o p 1 z o p o 一 p o p 1 z o p o 一p o 一 p o p 1 x o p o 一 z o p o p o p 1 矿 p o p l p o p 1 令 型正堡监出 有 i i 工 一po 一 p 一p 1 1 2 茗 一p 石 一p 一a p 一p z 一p 一 0 2 d 2 z f t 3 又由于f j 0 一p 一a p 一p 川 i i 一a p 一p 一p o d z f 口 因为a p o p 1 p o f 口 与 3 7 式矛盾 这就证明了 一p 上 p 一p 下面再迸一步证明 va 0 有 一p 上 p p o 事实上 工 一p o p p o 石 一p o a p o p 1 p 1 一p o x o p o a 一1 p o p 1 a 1 z o p o p o p 1 o 由h i l b e r t 空间中勾股定理 令p ap o 卜a p 1 刮k 一风nl i p p 2 慨一p 0 2 一风 2 l k 一p 卜怕一p i 2 i k p 8 k p 0 1 k 一p i i i 旧一p i 3 8 第加页 严 煎叩 垡慨 坐 中山大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中平均非扩张映射的i s h j k a w a 迭代 令 一 有 l p p 8 2i a p 一p p 一p i2 兄一1 p 一p j 一十 i k 一p i x 一 ap 1 一a p 1 z d p o 一 a 一1 p o 1 一a p 1 i i a 一1 i lp o p l l j x o p o o o 则由 3 7 有 1 l 一p 0p 0 一pl i 一0 a 一 3 9 而令a l 可得 j p p 1l f ap o 十 1 一a p l p ap o ap l a 一1 1 1 p o p 1j a 1 i p o p 1 i p o p 1l i 0 一1 p o p 1 0p 一p 1i i 2 一 a 1 p 1 ap o p 口0 p o p l 0 p o 1 一a p 1 一p o0 i ip o p 1 0p p o ip 一p 10 故当 充分大时结合 3 8 式 有 p p l j 0 x o pl f 0p o p 10 2 3 1 0 设 z 是由 出发的i s h i k a w a 迭代 又因为 i i 工 一p0 0z 一1 一pi i i lz 一pi 又因为以一p 所以 p p i i 一p 忆但这与 3 1 0 矛盾 故定理3 3 结论成立 第2 1 页 中山大学硕士学位论文 b a n a c h 空问中平均非扩张映射的h l l i k a w a 迭代 推论3 2 设j 是h i l b e r t 空间 r 是x 上具不动点集 口 的平均非扩张 映射 若f 仃 是丑的线性子空间 对于工 z 若由石 出发的i s h i k a w a 迭代序列 收敛于p f 叮 则p 是 在f 仃 中的最佳逼近元 第2 2 页 中山大学硕士学位论文 b a n 8 c h 空间中平均非扩张映射的h h i k a w a 迭代 第四章一致凸空间平均非扩张映射对 迭代的共同收敛性 4 1 一致凸空间中的平均非扩张映射对 定义4 1 2 6 设z 是b a n a c h 空间 s r 是盖中映射 若 一黟忙a 忙一 卜6 舡一鼠 i j 一巧时 c 舡一巧卜l i y 一 m 4 1 y z 口 扫 c 苫0 口 劢 2 cs 1 称s 丁为平均非扩张映射对 定义4 2 1 8 设z 是线性赋范空间 r x 一盖和s x x 是平均非扩张 映射对 对 丑令 y 芦 鼠 1 一卢 x 工 1 篁 1 一口 x 口 砂 称仁 是关于缸 怡 o1 平均非扩张映射对s t 的i s h i k a w a 迭代 我们先来研究i s h i k a w a 迭代的收敛性 引理4 1 设z 是b a n a c h 空间 s d p 一盖以及丁 d 口 一z 为具有公共 不动点的平均非扩张映射对 则对坛 x 平均非扩张映射对s r 的i s h i k a w a 迭代序列有界 证明 设k 是i s h i k a 腑迭代序列 令f 岱 r 是s t 的不动点集 对给 定的p f r 有 盼 p 忙i 陋一印 s n 忙 p 卜6 k a 卜忙一印肚 c 恨一印卜怕一h 时 第2 3 页 中山大学硕士学位论文 b 醐a c h 空间中平均非扩张映射的i s h i k a w a 迭代 sn 忙1 0 6 忙一 p p 一戤吁 c 拈一p p 一孜时 化简整理 得 慨1 忙拿篓兰h x 1 9 令詈笺芸2 因为n 2 cs 1 所以d 6 c 墨1 6 一c 即掣 1 l 一口一c 同理 岭 p 忙工忙1 l k 一p 0 i j 1 一a z a 缈 一pj i j i 1 一口 o o p 口 砂 一p i s 1 一口 k 一p i 口 l l 如 一p 8 s 1 一口 k 一p 0 a 0 y 一p l l 1 口 i k 一p 口 三 p 1 一声 讧 一p 8 1 一a 临 一p 0 口 三8 卢 0 一p 1 一芦 x 一p 0 主 1 一a i k p i l 口 卢 l i 一p 0 口 1 一成 工0 z 一p 0 s 1 一a l k p 0 a 芦 三2 i h p i a 1 一芦 工l b 一 8 s 1 一口 a 1 一卢 l a 卢 三2 l 卜 一 p 9 妄 一s i k 一 一p 写 s i k 一p 0 从而 扛 有界 引理4 2 设盖是一致凸b a n a c h 空间 s d p 一x 以及r d 口 一z 是具 有公共不动点的平均非扩张映射对 且o c 口 吒s 三 o s 卢 s 卢t 1 对 比 z 则s r 的i s h i k a w a 迭代仁 满足 第2 4 页 中山大学硕士学位论文 b a n a c h 空阃中平均非扩张映射的i 言h i k a 啪选代 鳃慨一巧 卜o 4 2 证明 假设 4 2 不成立 则存在子列仁 及g o 使得 h 一黟 忙 七 垅3 另外 对给定的p f p r 有 慨一砜 k 一p 眇r p h k r p 卜帆一p l l x 一p i 三 卢 j 吒 1 一卢 z 一p 0 2 i k 一p i 工l 卢 一p 1 一卢 o 一p j i s f k 一p l 工卢 l i 一p 0 工 1 一卢 l b 一p 0 s l 三2 芦 工 1 一卢 i k 一p 4 s 1 l h p i j 故 又因为 s 机一p l i h p 目k 砜忙导 o i 眇 一p o s 上j i 一p l 0 成 1 一卢 一p 三j f 1 一声 o 一p 一p 0 s 工 1 一卢 0 一p j f 三2 卢 j 1 0 一p 0 s 三慨一p 0 由引理4 1 知仁 有界 从而存在m o 使 因此 i 砂 一p l 墨工4 k 一p 4 s 厶 i f 第2 5 页 因为 0 两一黼卜钭z 和 j 蚓卜且4 矧卜 由空间一致凸性 可知存在甜2 嘉 o 使 j k 一p i l l l 1 一口 弦 口 砂 一p s 1 一驰 i k p 8 l b x p 口 巧 一p 4 卟划h 卜雌刊 j 离 矧j 5 1 一纽 i b p l 口 l k p i j 2 一 1 一蝴 k p 0 一k 1 卜蝴 k 1 0 j h l 卜嬲s 从而 i h 1 妄j k p 0 一 a s j 一 p 8 一嬲s p s k 一 p 卜2 蚴s s h 一 1 卜知傩 f h p 卜s s 墨 s i 卜 p i 一七 中山大学硕士学位论文 b a 聃曲空间中平均非扩张映射酌王s h i h w a 迭代 由此可得 当t 充分大时 有肛 1 co 矛盾 从而引理4 2 得证 引理4 3 在引理4 2 的条件下 有 鳃峙 一 8 o 4 3 证明 由于 i k 一 忙忙 一砂 忙 巧 一 s k 一巧 忡n 忱一 卜6 缸 一 忡忱一印 时 c 陋 一巧 卜帆一 1 c i k 一砂 忡n 8 y 一 卜6 慨一瓯8 6 帆一砂 卜c 忱一瓯 l 1 c 沛石 一巧 9 n 6 卢 1 一卢 z 一工 i l b 忙 一 9 6 j 1 一卢 吒一砂 cj p 1 一几p 一 l j 1 c 慨一砂 忡n 0 以 一卢 6 慨一 川 6 j i 卢 一芦 吒一巧 0 c i l 卢 一卢 一 8 s 1 c j k 一印 忡a 以8 瓯一矗忙6 l i 一 卜6 芦 一 i i 6 k 一毋 c 1 一卢 i b 一 4 s 1 c 6 k 一矽 i 陋芦 6 6 卢 c 1 一芦 k 一觑 8 因此 1 一 卢 一6 6 芦 一c 1 一声 l k 一 4 1 c 6 l k 一印 i 而 1 一口卢 一6 6 成一c 1 一卢 1 一d 卢 一6 6 p 一c c 卢 1 一 d 6 一c 卢 一6 一c 苫口 6 c 一 口 6 一c 卢 如果口 6 一c 墨0 贝01 一口卢 一6 6 声 一c 1 一 o 如果口 6 一c o 贝u1 一口声 一6 6 卢 一c 1 一芦 口 6 c 一 口 6 一c 卢 0 第2 7 面 中山大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中平均非扩张映射的b h i h w a 迭代 因而 鲤慨一 忙o 引理4 4 设x 是一致凸b a n a c h 空间 s d 一x 以及丁 d 口 一x 是具 有公共不动点的映射对 如果o as 口 0s 卢 s 卢 1 对诋o 盖 平均非扩张 映射对s r 的i s h i k a w a 迭代仁 都收敛 则平均非扩张映射对5 的i s h i k a w a 迭代扛 必收敛于其公共不动点 证明 因为y 卢 融 1 一以净 以 1 一 1 一吐 净 口 巧 故 觋0 一矽 峥o i k 一y i 0 一 l l 一 l 一 1 一卢 0 一吒i l 由于 帆一巧 忙i 陋 鼬 1 一卢 一巧 忙 1 一成 k 一巧 卢 8 一巧 0 再根据条件 4 1 有 l i 一印 忙n l 一吒 6 k 一 卜忱一巧 时 c 舡 一印 卜 一 时 s a p 0 一以 6 慨一 忡6 1 一卢 1 k 一巧 卜扫卢 i 砜一矽 0 c i h 一巧 忡c 1 一以l i k 一矗l 而i 陋 一 0s0 一印 忡l 一巧 0 所以 l 陋 一砂 忙 0 卢 6 6 6 卢 c c 一印 i k 一巧 忡0 卢 6 6 卢 c c j 8 i 陋 一砂 i l 即 卜n 成一6 6 晟一c c 成m i 瓯一巧 忙0 卢 拍一6 p 2 c c 卢 l 降 一黟 0 由于 o 妄芦 s 卢 0 第2 8 页 中山大学硕士学位论文 b a 帕曲空问中平均非扩张映射的k h i k a w a 选代 口 z 6 6 z c c 卢 0 因为 l i m i k 一巧 l o 故 觋0 瓯一巧 0 o 同时可得 觋l 瓯一 o 又因为i k 一y i 户卢 i l 一吒0 所以l i m0 一儿8 o 令h m 吒 p 贝q l i m 心 p i i i i l 瓯 p h m 砂 p 由 4 一 得 l i 一劢忙n 慨一p 忙6 k 一 忡怕一矽肘 c k 一劲忙怕一 时 当一一 时 上式可得 忙一劢忙p c 怕一印8 而6 c c 1 故1 i p 一劢 一o 即劢 p 同理可得印一p 引理4 5 1 7 设盖是一致凸b a n a c h 空间 足c x 是一非空闭凸集 s r k k 满足下述条件的两个映射 l 陋一砂忙a 忙一y 6 舡一 忡l i 一巧吁 c 舡一巧卜f j y 一 时 y 芷 4 舀 c 苫0 c o 4 2 6 2 c 1 则5 和r 至少有 公共不动点 定理4 1 设工是一致凸b a n a c h 空间 s d 岱 一z 以及r d 口 一z 是具 有公共不动点的平均非扩张映射对 且6 o oc 口s 吒s 三 o s 卢 s pc 1 对 慨 x 则s r 的i s h i k a w a 迭代仁 收敛于其公共不动点 证疆 下面我们证明奴 是柯西列 v 聊 o 朋 j 一 j js f j 一巧 f i 一毋 f 锖2 9 面 中山大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中平均非扩张映射的i s h i l a w a 迭代 sa 恢一y 卜6 忙 一 卜帆 一印 吁 c k 一巧 卅忡i i y 一 埘 0 一砂 0 sn k 一 峥i i 一 卜帆 一觑 6 慨一 h y 一砂 4 一巧 i l 因为6 o 所以l n 一2 c o 整理 得i i 一瓯 8s 量等等忙 一瓯o i 乞帆 一印 8 t 芝芒云帆 一 o f 笔 j i 觑 一巧 由引理4 4 的证明可知 怫一瓯8 一o n 一 0 y 一印 i o n m 一 l l y 一 卅 一o n m 一 l l 一毋 8 一o n m 一 故l i 一 0 一o n 研一 慨 是柯西列 故慨 收敛 令 鎏 一 p 由引理4 3 可知 鳃 一p 由引理4 4 p 是s 和r 的公共不动点 4 2h i l b e r