材料物理化学考试复习内容2.pdf

材料物理与化学 声子 晶格振动的简正模能量量子 是晶体中晶体结构集体激发的准粒子 化学势为零 服从玻色 爱因斯坦统计 是一种玻色子 一维布喇菲格子的图形及结构描述 将相聚为 r 的两个原子之间的相互作用势能用 V r 表示 则可将 V r 对间距为 r 用泰勒级数 展开为 其解为一振幅为 A 角频率为 的简谐振动 i naqt nq A e 代入上式中 可得 2 2 iaqiaq mee 且平率总为正值 上式化为2sin 2 aq m 这称为一 维单原子链的振动或一维格波的色散关系 纵坐标 1 2 sin 4 2 aq m 1 2 max sin1 2 2 aq m 时 有最大值 维复式格子的声学波 光学波 q 图型及振动特性 图 1 对于声学波 2 对于光学波 一维周期性边界条件的描述 并用公式说明 对于一维布喇菲格子 q 介于 a a 之间 对于一维双原子复式格子 q 介于 22aa 之间 但 q 并不连续 1 对于一维有限的布喇菲格子 第一个原包的原子应与第 n 1 个元宝 的原子振动情况相同 即 X1 Xn 1 而 1 i aqt xAe 1 1 i naqt nq xA e 则1 2 inaq eqnal l 为整数 即波矢 q 也只能取分立的值 q 介于 a a 之间 则 l 介于 2 2 n n 之间 把 22 nn l 则q aa l 取 n 个不同值 q 也只能取 n 个不同值 n 为原包数 2 对于一维复式格子 设晶体有 n 个晶胞 212 1 22 nn N xxaNql N 2a2 q a 则 则q只能取个不同值 Na 所占线度为 则晶格振动波矢数目 晶体原包数 晶格振动频率数目 晶体自由度 3324 9 VVB E CNkRj k mol T 杜隆 珀蒂定律 爱因斯坦模型 对于 N 个原子构成的晶体 所有晶格振动模式都是简并的 忽略格波的差异 高温下 爱因斯坦模型的结果与杜隆 珀蒂定律相符 不过在低温时 爱因斯坦模型给出的 比热容随温度下降过快 德拜模型 的牌认为低温下只有低能长波声子才会被激发 即只有长波声频支声子可被激发 433 12 5 VB D T CnNkT 德拜定律 费密 狄喇克分布的描述 1 1 B Ek T ff e 称为费米分布函数 称为化学势 1 0 E f E E EF意义 在体积不变的条件下 系统增加一个电子所需的自由能 在 F EE 能级 F E 0 5 表示被电子填充的几率与不被填充的几率是相等的 当 T 0k 时 当 T 0k 时 费米面 对于自由电子来说 等能面试球面 F EE 的等能免成为费米面 它是 k 空间的 球面 在绝对零度 费米球面 0 F E以内的状态都被电子所占据 求外没有电子 在 T 0K 时 费米球面的半径 F k比绝对零度时的费米球面半径小 此时费米面以内能量 F E约 B k T范围 的能级上的电子被激发到 F E之上约 B k T范围的能级 1 0 F F EEf E EEf E 1 2 1 2 1 2 F F F EEf E EEf E EEf E 接触电势差 不同的金属具有不同的功函数 当两种不同的金属接触时 功函数小的有较大 的发射本领 便会缺少电子而带整点 而功函数大的则会带负电 从而在两块金属之间建立 起电势差而不能视为等势 如图 从统计的角度而言 功函数不同表示有不同的化学势 互相接触时会引起离子从 交公安的部分流向低的不烦你 知道全部体系具有统一的化学 式 接触电势差 ABABAB VVVe 单电子近似的主要思路 将布拉维格子看做个点上的离子实和加点字组成的体系 该体系的哈密顿量可写成 ee i i HHHH 其中 2 2 11 28 k k k ko k k e H m irr 表示价电子的动能以及价电子之间的库仑相互 作用势能 m 为电子质量 rk 为第 k 个电子的位矢 为离子实体系的动能以及离子间 相互作用的势能 绝热近似 离子实的质量 M 比电子的质量大 可以认为相对电子而言运动极为缓慢 以至可 以近似的忽略对于电子运动的相应 通常将描述词描述为电子绝热的相应离子位置的组态 折成为绝热近似 绝热近似将电子运动与离子运动视为彼此独立 因而在研究电子运动时 可将离子位置固定 所有的离子实均处于其平衡位置 对于布拉维格子 即处于格点上 这 样电子体系的哈密顿量可简化为 ee iHHH 哈特里近似 k kk kkk HHH 其中 2 2 kke ikj j HVrR m 而 2 1 8 kk kk o k k e H rr 略去电子的位置这一项 方程简化为 k k HHE 采用分离变量法将 表示 2 2 2 V rE m 哈特里方程 在平均意义上计入了电子间的相互作用 可理解为所有离子实和其他电子的平 均势场中运动的单个电子的薛定谔方程 或者说是在周期场中运动的单个电子的薛定谔方 程 晶体中电子的运动状态可由薛定谔方程 HE rr 1 的解来描述 式中H是电子的哈密顿算符 r是电子的波函数 E是能量本征值 这 里H可以表示为电子的动能与电子所受到的等效势场之和 2 2 2 HV m r r 2 其中第一部分表示电子的动能 第二部分表示电子所受到的等效势场 对于理想晶体 原子 排列成晶格 晶格具有周期性 因而等效势场 V r也具有周期性 n VV rrR 3 这里 n1 12233 1 2 3mmmm Raaaa为晶格周期矢量 它是原胞的三个基失 1 a 2 a和 3 a的线性组合 这个式子表明将位置矢量从r移到 n rR处 等效势场具有相同 的值 从这里可以看出 晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动 那么 一个在周期场中运动的电子 它的波函数应该具有什么样的特征呢 布洛赫定理就回答了这 么一个问题 布洛赫定理周期性势场的单电子薛定谔方程的非简并解和适当选择组合系数的简并解 同时是平移算符 T Rl 的属于本征值 exp ik Rl 的本征函数 当势场具有晶格周期性时