湖南省永州市高三数学一模考试试题 理（含解析）.doc

2013年湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2013永州一模）设集合a=x|1x2，b=x|x21，则ab=（）a（1，1b（1，1）c1，2）d（1，2）考点：交集及其运算专题：计算题分析：求解一元二次不等式化简集合b，然后直接利用交集运算进行求解解答：解：由a=x|1x2，又b=x|x21=x|1x1，所以ab=x|1x2x|1x1=（1，1故选a点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题2（5分）（2013永州一模）“x3”是“|x3|0”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：不等式的解法及应用分析：由题意看命题“x3”与命题“|x3|0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断解答：解：对于“x3”“|x3|0”；反之“|x3|0”“x3”一定成立，因此“x3”是“|x3|0”的充分必要条件，故选c.点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度3（5分）（2013永州一模）如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是（）abcd考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是边长为2的等边三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为2，故圆锥的底面半径为1，高为 ，代入圆锥体积公式即可得到答案解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又正视图是边长为2的等边三角形，r=1，h=v=故选d点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键4（5分）（2013永州一模）cos2xdx=（）ab1c2d考点：定积分专题：计算题分析：由于cos2x的一个原函数为 sin2x故根据牛顿莱布尼茨公式即可求解解答：解：cos2xdx=sin2x=（sinsin0）=故选a点评：本题主要考查了定积分的计算解题的关键是要能求出被积函数的一个原函数然后再根据牛顿莱布尼茨公式求解5（5分）（2013永州一模）甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图中数据可知（）a甲网店的极差大于乙网店的极差b甲网店的中位数是46c乙网店的众数是42d甲网店的销售业绩好考点：茎叶图；众数、中位数、平均数专题：概率与统计分析：只要运用求平均数公式：=，即可求出甲网店的销售业绩好或利用极差的概念，极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，等计算极差或中位数或众数，再进行判断即可解答：解：甲网店数据分别为：6，11，12，32，43，45，47，51，51，58故平均数=（6+11+12+32+43+45+47+51+51+58）=35.6；极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，即586=52甲网店的中位数是44乙网店数据分别为：5，7，13，13，13，22，34，42，42，58故平均数=（5+7+13+13+13+22+34+42+42+58）=24.9；极差就是这组数据中的最大值与最小值的差，即585=53乙网店的众数是13甲网店的销售业绩好故选d点评：本题考查的是样本平均数以及极差等统计量的求法，是比较简单的问题6（5分）（2013永州一模）等差数列an的前n项和为sn，s9=18，s13=52，等比数列bn中，b5=a5，b7=a7，则b6的值（）ab2c或d2或2考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的前n项和公式和性质可得s9=9a5=18，s13=13a7=52，故可求得a5、a7，即求出b5、b7，由等比数列的通项公式即可求出q，进而求出b6解答：解：s9=（a1+a9）=9a5=18，s13=（a1+a13）=13a7=52，a5=2，a7=4，又b5=a5，b7=a7，b5=2，b7=4，q2=2，即q=，则b6=b5q=2（）=2或2故选c点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、性质和等比数列的通项公式，熟练记忆及灵活运用公式是正确解题的关键7（5分）（2013永州一模）若，则=（）abcd考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦专题：三角函数的图像与性质分析：利用诱导公式求得cos（+） 的值，再利用二倍角的余弦公式求得 =21的值解答：解：=cos（+），=21=，故选a点评：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题8（5分）（2012山东）设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，br，a0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点a（x1，y1），b（x2，y2），则下列判断正确的是（）a当a0时，x1+x20，y1+y20b当a0时，x1+x20，y1+y20c当a0时，x1+x20，y1+y20d当a0时，x1+x20，y1+y20考点：根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质专题：计算题；压轴题分析：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论解答：解：当a0时，作出两个函数的图象，如图，因为函数f（x）=是奇函数，所以a与a关于原点对称，显然x2x10，即x1+x20，y1y2，即y1+y20故选b点评：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力题目立意较高，很好的考查能力二、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）9（5分）（2013永州一模）如图，ab是o的直径，c是ab延长线上一点，cd与o相切于点e，c=，则aed=考点：与圆有关的比例线段专题：直线与圆分析：如图所示，连接oe利用切线的性质及cd与o相切于点e，可得oecd即可得出coe，由oe=oa，可得oea即可解答：解：如图所示，连接oecd与o相切于点e，oecd，oa=oe，故答案为点评：熟练掌握圆的切线的性质、圆的性质是解题的关键10（5分）（2013永州一模）已知x，y，zr，且x2+y2+z2=1，则x+2y+3z的最大值是考点：一般形式的柯西不等式；柯西不等式在函数极值中的应用专题：不等式的解法及应用分析：分析题目已知x2+y2+z2=1，求x+2y+3z的最大值考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）2（a2+b2+c2）（x2+y2+z2），首先构造出柯西不等式求出（x+2y+3z）2的最大值，开平方根即可得到答案解答：解：因为已知x2+y2+z2=1根据柯西不等式（ax+by+cz）2（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）构造得：即（x+2y+3z）2（x2+y2+z2）（12+22+32）114=14故x+2y+3z当且仅当x=时取等号则x+2y+3z的最大值是 故答案为：点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握11（2013永州一模）已知在平面直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为（为参数），与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则圆c截直线l所得的弦长为4考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化专题：计算题分析：化圆的参数方程为直角坐标方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，由圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则圆c截直线l所得的弦长可求解答：解：由，得2+2得x2+（y1）2=4所以圆是以c（0，1）为圆心，以2为半径的圆又由，得即所以直线l的直角坐标方程为所以圆心c到直线l的距离为d=则直线l经过圆c的圆心，圆c截直线l所得的弦长为4故答案为4点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标化直角坐标，考查了直线与圆的位置关系，是基础题三、必做题（1216题），每小题5分12（5分）（2013永州一模）二男二女共四个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有12种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：根据题意，使用捆绑法，2名女生相邻，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他四名志愿者全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案解答：解：根据题意，分2步进行，先将2名女生排在一起，看成做一个元素，考虑其顺序，有a22种情况，再将其与其他2名男生全排列，有a33种情况，则其不同的排列方法为a33a22=12种，故答案为：12点评：本题考查排列、组合的运用，注意相邻问题一般用捆绑法，不相邻问题用插空法或间接法13（5分）（2013永州一模）已知a，b是圆c（为圆心）上的两点，|=2，则=2考点：向量数乘的运算及其几何意义专题：计算题分析：由圆的性质得出coscad=，由数量积的定义可得答案解答：解：如图所示：在直角三角形acd中，coscad=，而=abaccoscad=2ac=2故答案为：2点评：本题考查数量积的求解，涉及圆的知识和数量积的定义，属基础题14（5分）（2013永州一模）双曲线c：的左、右焦点分别为f1、f2，p是c右支上一动点，点q的坐标是（1，4），则|pf1|+|pq|的最小值为11考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：依题意，|pf1|pf2|=6，从而可得|pf1|+|pq|pf2|+|pq|+6|qf2|+6解答：解：f1、f2是双曲线c：=1的左、右焦点，f1（4，0），f2（4，0）；又p是c右支上一动点，由双曲线的定义知，|pf1|pf2|=6，|pf1|=|pf2|+6，又q的坐标是（1，4），|pf1|+|pq|=|pf2|+|pq|+6|qf2|+6|qf2|=5|qf2|+6=11|pf1|+|pq|11故|pf1|+|pq|的最小值为11故答案为：11点评：本题考查双曲线的简单性质，突出考查双曲线的定义及三角不等式的应用，属于中档题15（5分）（2013永州一模）执行如图所示的程序框图，则输出的复数z是考点：程序框图专题：图表型分析：由z0的值可知：z0为1的一个3次虚根，再根据判断框可知需要计算的次数即可得出答案解答：解：计算可得：z02=i，z03=1，即z0为1的一个3次虚根由循环结构可得：当n=2013时，还要计算一次得z=z02014=z0 6713+1=z0而n2013+12013，由判断框可知：要跳出循环结构故输出的值为z0故答案为：点评：熟练掌握循环结构的功能及1的一个3次虚根的周期性是解题的关键16（5分）（2013永州一模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面至多埋一个雷，如果无雷掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（至多八个）中雷的个数（0常省略不标），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个埋有雷图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则上方左起八个方块中（方块正上方对应标有字母），能够确定一定不是雷的有a、c、e，一定是雷的有b、d、f、g（请填入方块上方对应字母）考点：进行简单的合情推理专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：根据题意，初步推断出c对应的方格必定不是雷，a、b对应的“？”中有一个雷，中间d、e对应“？”中有一个雷且最右边的“4”周围4个“？”中有3个雷由此再观察c下方“2”、b下方的“2”、d下方的“2”和f下方的“4”，即可推断出a、c、e对应的方格不是雷，且b、d、f、g对应的方格是雷由此得到本题答案解答：解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷结合b下方的“2”，可得最左边的a、b对应的“？”中有一个雷；同理可得最右边的“4”周围4个“？”中有3个雷，中间d、e对应“？”中有一个雷；由于b下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，所以c对应的方格肯定不是雷，如下图所示：进行下一步推理：因为c对应的方格不是雷，所以c下方“2”的左上、右上的方格，即b、d都是雷；而b下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以a对应的方格也不是雷因为d下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得e对应的方格不是雷，根据f下方的“4”周围应该有4个雷，结合e不是雷，可得f、g对应的方格都是雷综上所述，a、c、e对应的方格不是雷，且b、d、f、g对应的方格是雷故答案为：a、c、e；b、d、f、g点评：本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理a、b、c、d、e、f对应方格是否为雷着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）（2013永州一模）设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，（1）求abc的面积；（2）求sin（bc）的值考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：（1）在abc中，依题意可求得sinc，从而可得abc的面积；（2）由余弦定理c2=a2+b22abcosc=9+1616=9可求得c，再由正弦定理=可求得sinb，继而可求得cosb，最后利用两角差的正弦即可求得sin（bc）解答：解：（1）在abc中，cosc=，sinc= （2分）sabc=absinc=2 （5分）（2）由余弦定理可得，c2=a2+b22abcosc=9+1616=9c=3 （7分）又由正弦定理得，=，sinb= （9分）cosb=（10分）sin（bc）=sinbcosccosbsinc= （12分）点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查同角三角函数间的基本关系，考查两角差的正弦，属于中档题18（12分）（2013永州一模）永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制（最低1分，最高3分），若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，得到统计结果如下表，若从这20件产品中随机抽取1件x作品数y 创 新 性1分2分3分实用性1分2022分1413分226（1）求事件a：“x2且y2”的概率；（2）设为抽中作品的两项得分之和，求的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）确定事件a：“x2且y2”的作品数量，即可求得概率；（2）方法一：分别求出“创新性”、“实用性”得分的分布列与期望，即可求得的数学期望；方法二：确定作品的总得分的可能取值，求出其分布列，即可求得的数学期望解答：解：（1）从表中可以看出，事件a：“x2且y2”的作品数量为7件，故“x2且y2”的概率为 （5分）（2）方法一：由表可知“创新性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三个等级，每个等级分别有5件，6件，9件，“创新性”得分x的分布列为：x123p则“创新性”得分的数学期望为ex=； （8分）“实用性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三个等级，每个等级分别有4件，6件，10件，“实用性”得分y的分布列为：y123p故“实用性”得分的数学期望为ey=（10分）所以数学期望e=e（x+y）=ex+ey=2.2+2.3=4.5 （12分）方法二：作品的总得分的可能取值为（2分），（3分），（4分），（5分），（6分），由表中可知对应的作品数量分别为2件，1件，8件，3件，6件，（8分）则作品的总得分的分布列为：（10分）23456p所以数学期望为e=（12分）点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）（2013永州一模）如图所示，直角梯形abcd中，a=d=90，ad=2，ab=3，cd=4，p在线段ab上，bp=1，o在cd上，且opad，将图甲沿op折叠使得平面ocbp底面adop，得到一个多面体（如图乙），m、n分别是ac、op的中点（1）求证：mn平面acd；（2）求平面abc与底面opad所成角（锐角）的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取cd中点q，结合已知条件，利用线面垂直的判定定理证出oq垂直于平面acd，通过证明四边形oqmn为平行四边形得到oq平行于mn，从而证出要证的结论；（2）以o为坐标原点，分别以op，od，oc为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面abc与底面opad的一个法向量，利用法向量所成角的余弦值得到平面abc与底面opad所成角（锐角）的余弦值解答：（1）证明：如图，取cd的中点为q，连接mq，oq，因为oc=od，所以oqcd，依题意知：面ocd底面opad，adod，ad平面ocd，而oq面ocd，adoq，又cdad=d，所以oq面acd，mq是acd的中位线，故mq，mq=，no，no=，则mqno，所以mnoq，故mn平面acd；（2）解：如图所示，分别以op，od，oc为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系b（2，0，1），a（2，2，0）c（0，0，2），底面opad的一个法向量，设平面abc的法向量为，依题知：，即，令x=1，则y=1，z=2，所以 ，故平面abc与底面opad所成角的余弦值为点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是明确折叠问题在折叠前后的变量和不变量，是中档题20（13分）（2013永州一模）提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时研究表明：当50x200时，车流速度v与车流密度x满足当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到个位，参考数据）考点：函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用分析：（i）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在50x200时的表达式，根据分式函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（ii）先在区间（0，50上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（50）=1500，然后在区间50，200上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200上的最大值解答：解：（i）由题意：当0x50时，v（x）=30；当50x200时，由于，再由已知可知，当x=200时，v（0）=0，代入解得k=2000故函数v（x）的表达式为（6分）（ii）依题意并由（i）可得，当0x50时，f（x）=30x，当x=50时取最大值1500当50x200时，f（x）=40x=1200040（250x）+120002=1200040001200040002.236=3056取等号当且仅当，即x=25050138时，f（x）取最大值（这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时（14分）点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题21（13分）（2013永州一模）在直角坐标系xoy中，椭圆c1：的离心率，f是抛物线c2：y2=4x的焦点，c1与c2交于m，n两点（m在第一象限），且|mf|=2（1）求点m的坐标及椭圆c1的方程；（2）若过点n且斜率为k的直线l交c1于另一点p，交c2于另一点q，且mpmq，求k的值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由抛物线方程可求得p值，设m（x0，y0），由抛物线定义及|mf|=2可得x0+，解得x0=1，进而得y0=2，由离心率e=及a2=b2+c2可得a，b关系，从而椭圆方程可变为含b的方程，把m坐标代入即可求得b值，进而得到a值；（2）点n（1，2），则直线l的方程为y+2=k（x1），分别与椭圆方程、抛物线方程联立消掉y、x得x、y的二次方程