湖南省株洲三中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

湖南省株洲三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）已知集合m=x|（x1）24，xr，n=1，0，1，2，3，则mn=（）a0，1，2b1，0，1，2c1，0，2，3d0，1，2，32（5分）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）a1b1c2d33（5分）下列命题中真命题是（）abx（，0），2x1cxr，x2x1dx（0，），sinxcosx4（5分）设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）log2x的零点个数为（）a1个b2个c3个d4个5（5分）函数y=的图象大致是（）abcd6（5分）给定两个命题p，q若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7（5分）若函数f（x）=，则f（f（10）=（）alg101b2c1d08（5分）若存在正数x使2x（xa）1成立，则a的取值范围是（）a（，+）b（2，+）c（0，+）d（1，+）9（5分）已知函数，则不等式f（2x2）+f（2x+1）0的解集是（）abc（，1）（3，+）d（1，3）10（5分）若函数在（，0）上有最小值5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+）上（）a有最大值5b有最小值5c有最大值3d有最大值9二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分）（11、12、13任选两小题作答，若三道题都作答，则取前两题计分）11（5分）如图，在abc中，c=90，a=60，ab=20，过c作abc的外接圆的切线cd，bdcd，bd与外接圆交于点e，则de的长为12（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线sin=2的距离等于13在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为14（5分）曲线f（x）=x2+alnx在点（1，f（1）处的切线斜率为4，则a=15（5分）函数f（x）=的定义域为16（5分）已知f（x）=，则f（1）取值范围为三、解答题（本大题共6个小题，共75分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）计算：（1）2+；（2）log22log3log518（12分）已知集合a=x|2ax2+a，b=x|x25x+40，（1）当a=3时，求ab，a（rb）；（2）若ab=，求实数a的取值范围19（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值（2）解不等式f（x）+f（x8）220（13分）如图1，在边长为1的等边三角形abc中，d，e分别是ab，ac边上的点，ad=ae，f是bc的中点，af与de交于点g，将abf沿af折起，得到如图2所示的三棱锥abcf，其中bc=（1）证明：de平面bcf；（2）证明：cf平面abf；（3）当ad=时，求三棱锥fdeg的体积vfdeg21（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）（）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率（）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为x，求随机变量x的分布列和数学期望22（13分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点p（0，2），且在点p处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围湖南省株洲三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）已知集合m=x|（x1）24，xr，n=1，0，1，2，3，则mn=（）a0，1，2b1，0，1，2c1，0，2，3d0，1，2，3考点：交集及其运算；一元二次不等式的解法 专题：计算题分析：求出集合m中不等式的解集，确定出m，找出m与n的公共元素，即可确定出两集合的交集解答：解：由（x1）24，解得：1x3，即m=x|1x3，n=1，0，1，2，3，mn=0，1，2故选a点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）a1b1c2d3考点：复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数分析：先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果解答：解：由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1另解：由得ai+2=b+i（a，br），则a=1，b=2，a+b=1故选b点评：本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题3（5分）下列命题中真命题是（）abx（，0），2x1cxr，x2x1dx（0，），sinxcosx考点：命题的真假判断与应用 专题：常规题型分析：根据倍角公式及三角函数的值域，我们可以判断a的正误，根据指数函数的性质，我们可以判断b的真假，解一元二次不等式，可以判断c的正误，根据三角函数的性质，我们可判断d的对错，进而得到答案解答：解：sinxcosx=sin2x，若sinxcosx=，则sin2x=1，故a错误；当x（，0），2x1恒成立，故b错误；方程x2x+1=0的=14=30，函数y=x2x+1的图象为开口朝上的抛物线，故x2x+10恒成立，即xr，x2x1，故c正确；当x=（0，），sinx=cosx，故x（0，），sinxcosx，故d错误；故选c点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中利用函数的性质，逐一分析四个结论的正误是解答本题的关键4（5分）设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）log2x的零点个数为（）a1个b2个c3个d4个考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：令g（x）=0，得到方程f（x）=log2x，然后分别作出函数y=f（x）与y=log2x的图象，观察交点的个数，即为函数g（x）的零点个数解答：解：g（x）=0得f（x）=log2x，在同一坐标系下分别作出函数y=f（x）与y=log2x的图象，如图：由图象可知两个图象共有3个交点，则函数g（x）=f（x）log2x的零点个数为3个故选c点评：本题考查函数与方程问题，求解此类问题的基本方法是令g（x）=0，将函数分解为两个基本初等函数，然后在同一坐标系下，作出两函数的图象，则两函数图象的交点个数，即为函数零点的个数5（5分）函数y=的图象大致是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的定义域排除c，再利用x=1，排除a，再根据x趋向于正穷时，函数的值趋向于0，故排除d，问题得以解决解答：解：因为函数的定义域为（，0）（0，+），故排除c当x=1时，y=2，故排除a，当x趋向于正穷时，函数的值趋向于0，故排除d，故选：b点评：本题主要考查了指数函数和幂函数的图象和性质，选特殊的值时关键，属于基础题6（5分）给定两个命题p，q若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案解答：解：p是q的必要而不充分条件，q是p的充分不必要条件，即qp，但p不能q，其逆否命题为pq，但q不能p，则p是q的充分不必要条件故选a点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是p的充分不必要条件，是解答的关键7（5分）若函数f（x）=，则f（f（10）=（）alg101b2c1d0考点：函数的值 专题：计算题分析：通过分段函数，直接求出f（10），然后求出f（f（10）的值解答：解：因为函数f（x）=，所以f（10）=lg10=1；f（f（10）=f（1）=2故选b点评：本题考查分段函数的值的求法，考查计算能力8（5分）若存在正数x使2x（xa）1成立，则a的取值范围是（）a（，+）b（2，+）c（0，+）d（1，+）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质 专题：不等式的解法及应用分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可解答：解：因为2x（xa）1，所以，函数y=是增函数，x0，所以y1，即a1，所以a的取值范围是（1，+）故选：d点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力9（5分）已知函数，则不等式f（2x2）+f（2x+1）0的解集是（）abc（，1）（3，+）d（1，3）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题分析：注意函数在定义域内是奇函数且是单调增函数，将不等式等价转化后，利用单调性来解解答：解：函数在定义域内是奇函数且是单调增函数，不等式即：f（2x2）f（2x1），2x22x1，即：x22x30，1x3，故答案选d点评：本题中，函数表达式只说明函数是奇函数，且是增函数，没有必要根据f（x）的解析式求f（2x2）和f（2x+1）得解析式10（5分）若函数在（，0）上有最小值5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+）上（）a有最大值5b有最小值5c有最大值3d有最大值9考点：利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；导数的综合应用分析：先令g（x）=ax3+blog2（x+），判断其奇偶性，再由函数在（，0）上有最小值5，得到函数g（x）在（，0）上有最小值7，从而有g（x）在（0，+）上有最大值7，则由f（x）=g（x）+2得到结论解答：解：令g（x）=ax3+blog2（x+），其定义域为r，又g（x）=a（x）3+blog2（x+）=g（x）所以g（x）是奇函数由根据题意：在（，0）上有最小值5，所以函数g（x）在（，0）上有最小值7，由函数g（x）在（0，+）上有最大值7，所以f（x）=g（x）+2在（0，+）上有最大值9故选d点评：本题主要考查函数的构造进而研究性质，若看到x与x这样的信息，一般与函数的奇偶性有关二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分）（11、12、13任选两小题作答，若三道题都作答，则取前两题计分）11（5分）如图，在abc中，c=90，a=60，ab=20，过c作abc的外接圆的切线cd，bdcd，bd与外接圆交于点e，则de的长为5考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用直角abc的边角关系即可得出bc，利用弦切角定理可得bcd=a=60利用直角bcd的边角关系即可得出cd，bd再利用切割线定理可得cd2=dedb，即可得出de解答：解：在abc中，c=90，a=60，ab=20，bc=absin60=cd是此圆的切线，bcd=a=60在rtbcd中，cd=bccos60=，bd=bcsin60=15由切割线定理可得cd2=dedb，解得de=5故答案为5点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键12（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线sin=2的距离等于考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：直线sin=2化为y=2即可得出解答：解：直线sin=2化为y=2点（2，）到直线sin=2的距离=故答案为：点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题13在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为考点：绝对值不等式的解法 专题：选作题；不等式分析：利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可解答：解：不等式|x2|1|1的解集，就是1|x2|11的解集，也就是0|x2|2的解集，0|x2|2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0x4所以不等式的解集为故答案为：点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键14（5分）曲线f（x）=x2+alnx在点（1，f（1）处的切线斜率为4，则a=2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：由求导公式求导函数，由题意得求出f（1）=4，代入求出a的值解答：解：由题意得f（x）=x2+alnx，则f（x）=2x+，因为在点（1，f（1）处的切线斜率为4，所以f（1）=4，即2+a=4，解得a=2，故答案为：2点评：本题考查导数的几何意义，属于基础题15（5分）函数f（x）=的定义域为（0，2考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：由二次根式的被开方数大于或等于0，且对数的真数大于0，可求出x的取值范围解答：解：f（x）=，12log4x0，即log4x；解得0x2，f（x）的定义域是（0，2故答案为：（0，2点评：本题考查了求函数的定义域的问题，求函数的定义域，应使函数的解析式有意义，从而列出不等式（组），求出自变量的取值范围，通常是基础题16（5分）已知f（x）=，则f（1）取值范围为考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：由导数的运算和三角函数公式易得f（1）=2sin（+），由的范围和三角函数的知识可得解答：解：f（x）=，f（x）=sinx2+cosxf（1）=sin+cos=2（sin+cos）=2sin（+），+，sin（+），2sin（+），f（1）取值范围为：故答案为：点评：本题考查导数的运算，涉及三角函数的值域，属基础题三、解答题（本大题共6个小题，共75分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）计算：（1）2+；（2）log22log3log5考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算 专题：函数的性质及应用分析：（1）化负指数为正指数，化0指数幂为1，然后直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；（2）直接利用对数的运算性质化简求值解答：解：（1）2+=2；（2）log22log3log5=4log32（2log53）=8=8log52点评：本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题18（12分）已知集合a=x|2ax2+a，b=x|x25x+40，（1）当a=3时，求ab，a（rb）；（2）若ab=，求实数a的取值范围考点：集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：（1）当a=3时，求出集合a，b，然后求出crb，即可求ab，a（crb）；（2）若ab=，只需2a1，并且2+a4，即可求实数a的取值范围解答：解：（1）当a=3时，a=x|1x5，b=x|x25x+40=x|x1或x4，crb=x|1x4所以ab=x|1x5x|x1或x4=x|1x1或4x5，a（crb）=x|1x5x|1x4=x|1x5；（2）ab=所以或2a2+a，解得a1或a0，所以a的取值范围是（，1）点评：本题考查集合的基本运算，不等式的解集的求法，注意等价变形的应用，常考题型19（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值（2）解不等式f（x）+f（x8）2考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质 专题：计算题分析：（1）从分利用条件f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，（2）利用条件：函数f（x）在定义域（0，+）上为增函数，列出不等式组，解出此不等式组解答：解：（1）f（9）=f（3）+f（3）=2，f（27）=f（9）+f（3）=3（2）f（x）+f（x8）=ff（9）而函数f（x）是定义在（0，+）上为增函数，即原不等式的解集为（8，9）点评：本题考查抽象函数的定义域、单调性及函数值20（13分）如图1，在边长为1的等边三角形abc中，d，e分别是ab，ac边上的点，ad=ae，f是bc的中点，af与de交于点g，将abf沿af折起，得到如图2所示的三棱锥abcf，其中bc=（1）证明：de平面bcf；（2）证明：cf平面abf；（3）当ad=时，求三棱锥fdeg的体积vfdeg考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；立体几何分析：（1）在等边三角形abc中，由ad=ae，可得，在折叠后的三棱锥abcf中也成立，故有debc，再根据直线和平面平行的判定定理证得de平面bcf（2）由条件证得afcf ，且在三棱锥abcf中，由，可得bc2=bf2+cf2，从而 cfbf，结合，证得cf平面abf（3）由（1）可知gecf，结合（2）可得ge平面dfg再由 ，运算求得结果解答：解：（1）在等边三角形abc中，ad=ae，在折叠后的三棱锥abcf中也成立，debc又de平面bcf，bc平面bcf，de平面bcf（2）在等边三角形abc中，f是bc的中点，所以afbc，即afcf ，且在三棱锥abcf中，bc2=bf2+cf2，cfbf又bfaf=f，cf平面abf（3）由（1）可知gecf，结合（2）可得ge平面dfg=点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题21（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）（）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率（）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为x，求随机变量x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（i）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（ii）先判断随机变量x的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（i）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件a，则p（a）=所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为