高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用同步练习 北师大版选修22.DOC

高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.下列命题:一个函数的极大值总比极小值大;可导函数导数为0的点不一定是极值点;一个函数的极大值可以比最大值大;一个函数的极值点可在其不可导点处达到.其中正确命题的序号是( )a. b. c. d.答案:b思路分析:一个函数的极值有可能有多个,极大值不一定大于极小值,但函数存在最大值和最小值时,最大值一定大于或等于极大值.2.函数f(x)=x3-3x(|x|1)( )a.有最大值,但无最小值 b.有最大值,也有最小值c.无最大值,也无最小值 d.无最大值,但有最小值答案:c思路分析:f(x)=3x2-3,|x|1,f(x)0.函数f(x)在(-1,1)上单调递减,无最大值也无最小值.3.函数f(x)=x2-4x+1在1,5上的最大值和最小值是( )a.f(1),f(3) b.f(3),f(5) c.f(1),f(5) d.f(5),f(2)答案:d思路分析:f(x)=2x-4=0,x=2.当x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0.x=2时,函数取得极小值f(2)=-3,而x1,5,f(1)=-2,f(5)=6,函数的最大值为f(5),最小值为f(2).4.设底为正三角形的直棱柱的体积为v,那么其表面积最小时,底面边长为( )a. b. c. d.2答案:c思路分析:设底面边长为x,侧棱长为l,则v=x2sin60l,l=.s表=2s底+3s侧=x2sin60+3xl=x2+.s=x-=0.x3=4v,即x=.又当x(0,)时,s0,x(,v)时,s0,当x=时,表面积最小.5.以长为10的线段ab为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( )a.10 b.15 c.25 d.50答案:c思路分析:如图,设nob=,则矩形面积s=5sin25cos=50sincos=25sin2,故smax=25.6.给出下面四个命题:函数y=x2-5x+4,x-1,1的最大值为10,最小值为；函数y=2x2-4x+1(2x4)的最大值为17,最小值为1；函数y=x3-12x(-3x3)的最大值为16,最小值为-16；函数y=x3-12x(-2x2)无最大值,也无最小值.其中正确的命题有（ ）a.1个 b.2个 c.3个 d.4个答案:c思路分析:正确.7.函数y=4x2(x-2)在x-2,2上的最小值为_,最大值为_.答案:-64 0思路分析:y=12x2-16x=0,x=0或x=,f(0)=0,f(-2)=-64,f(2)=0,f()=.8.在半径为r的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_时它的面积最大.答案:r思路分析:如图,设obc=,则0,od=rsin,bd=rcos.sabc=rcos(r+rsin)=r2cos+r2sincos.s()=-r2sin+r2(cos2-sin2)=0.cos2=sin.=,即当=时,abc的面积最大,即高为oa+od=r+=时面积最大.综合应用9.已知函数f(x)=,x1,+.(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;(2)若对于任意x1,+,f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.解:(1)当a=时,f(x)=+2,x1,+).由f(x)=1-,当x1,+)时,f(x)0,函数f(x)是增函数.当x=1时,f(x)取最小值为.(2)对任意x1,+,f(x)0恒成立,即0对任意x1,+恒成立,x2+2x+a0对任意x1,+)恒成立.设g(x)=x2+2x+a,则g(x)=2x+2.当x1,+)时,g(x)0,函数g(x)是增函数.当x=1时,g(x)取得最小值3+a,由题意3+a0,a-3.思路分析:(1)按照求函数最值的方法步骤求出最值.(2)将恒成立问题转化成为利用函数的单调性求函数最值的问题.10.某工地备有直径为r的圆柱形木料(足够长),若所需的是横断面为矩形的承重木梁,且已知木梁的承重强度(p)与梁宽及梁高的平方的乘积成正比,问如何截可使截得的木梁的承重强度最大?解:设木梁的横断面的宽为x,高为y,则x2+y2=r2.由已知,设p=kxy2(k为常数),因此,p=kx(r2-x2)=kr2x-kx3(0xr).p=kr2-3kx2,令p=0,得x=r.由于函数在区间(0,r)内只有一个极值点,因此,当x=r,即木梁横断面宽为r,高为r时,木梁的承重强度最大.思路分析:木梁的承重强度是关于梁宽或梁高的函数关系式,设出变量列出函数关系式,利用导数求出最值.11.(2006江苏高考，18) 请你设计一个帐篷.它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如下图所示).试问当帐篷的顶点o到底面中心o1的距离为多少时,帐篷的体积最大？解:设oo1为x m,1x4,则由题设可得正六棱锥的底面边长(单位：m)为.于是底面正六边形的面积(单位:m2)为6()2=(8+2x-x2).帐篷的体积(单位:m3)为v(x)=(8+2x-x2)(x-1)+1=(16+12x-x3).v(x)=(12-3x2).令v(x)=0,解得x=-2(不合题意,舍去),或x=2.当1x2时,v(x)0,v(x)