福建省泉州市惠安县荷山中学高二数学下学期期末试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年福建省泉州市惠安县 荷山中学高二（下）期末数学试卷（文科）一选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确答案写在答题卷的相应位置上）1复数z=（12i）i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限2已知集合m=x|1x1，n=x|y=，则mn=（）a x|0x1b x|0x1c x|x0d x|1x03“ab”是“log3alog3b”的（）条件a 充分不必要b 必要不充分c 充要d 既不充分也不必要4下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的函数为（）a y=sinxb y=lnxc y=2xd y=x35如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（）a 83b 84c 85d 866设f（x）=，则f（6）的值是（）a 8b 7c 6d 57曲线y=在x=1处的切线方程为（）a 2x+y=0b 2x+y4=0c 2xy=0d 2xy4=08函数y=f（x）在区间2，2上的图象是连续的，且方程f（x）=0在（2，2）上至少有一个实根，则f（2）f（2）的值（）a 大于0b 小于0c 等于0d 无法确定9函数f（x）=x3+3x24的单调递增区间是（）a （，0）b （2，0）c （0，2）d （2，+）10已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，若对于任意给定的不等实x1、x2，不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，则不等式f（1x）0的解集为（）a （，1）b （，0）c （0，+）d （1，+）11已知函数，则下列图象错误的是（）a y=f（x1）的图象b y=f（|x|）的图象c y=f（x）的图象d y=f（x）的图象12若f（x）=x3+3x2+a在（，0上有两个零点，则实数a的取值范围是（）a （4，0b 4，0c 0，4）d （0，4二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卷中的横线上）13集合a=0，1的子集的个数是个14已知x，y的取值如下表：23562.74.36.16.9从散点图分析，y与x具有线性相关关系，且回归方程为=1.02x+a，则a=15函数f（x）=（x2x+1）ex（其中e是自然对数的底数）在区间2，0上的最大值是16某同学对函数f（x）=xsinx进行研究后，得到以下结论：函数f（x）的图象是轴对称图形；存在实数x，使得|f（x）|x|成立；函数f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点距离相等；当常数k满足|k|1时，函数f（x）的图象与直线y=x有且仅有一个公共点其中所有正确结论的序号是三解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知集合a=x|3x4，集合b=x|x2+2x80，集合c=x|x24ax+3a20，a0，（）求a（rb）； （）若ca，试确定实数a的取值范围？18已知在平面直角坐标系xoy中，圆m的方程为（x4）2+y2=1以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+）=（）求直线l的直角坐标方程和圆m的参数方程；（）求圆m上的点到直线l的距离的最小值19为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀请画出下面的22列联表（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：p（x2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：k2=20已知函数f（x）=x3x2+bx+c（1）若f（x）在（，+）是增函数，求b的取值范围；（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x1，2时，f（x）c2恒成立，求c的取值范围21某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收人r（x）满足r（x）=假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（）工厂生产多少台产品时盈利最大？22已知函数f（x）=ax2blnx在点（1，f（1）处的切线为y=1（）求实数a，b的值；（）当x（0，1）时，求证：f（x）x2x+1（）若0x1x2，求证：2x22014-2015学年福建省泉州市惠安县荷山中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确答案写在答题卷的相应位置上）1复数z=（12i）i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：根据两个复数代数形式的乘法法则化简复数，再根据复数与复平面内对应点之间的关系，求得复数对应点的坐标，从而得出结论解答：解：由于复数z=（12i）i=2+i，它在复平面内对应的点的坐标为（2，1），故选a点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题2已知集合m=x|1x1，n=x|y=，则mn=（）a x|0x1b x|0x1c x|x0d x|1x0考点：交集及其运算专题：集合分析：求出n中x的范围确定出n，找出m与n的交集即可解答：解：由n中y=，得到x0，即n=x|x0，m=x|1x1，mn=x|0x1故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3“ab”是“log3alog3b”的（）条件a 充分不必要b 必要不充分c 充要d 既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据对数的运算性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：由log3alog3b，则ab0，则“ab”是“log3alog3b”的必要不充分条件，故选：b点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的运算法则是解决本题的关键4下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的函数为（）a y=sinxb y=lnxc y=2xd y=x3考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：根据函数的奇偶性、单调性逐项判断即可解答：解：y=sinx为奇函数，但在（0，+）上不单调，故排除a；y=lnx的定义域为（0，+），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，故排除b；y=2x在区间（0，+）上单调递增，但2x2x，它不是奇函数，故排除c；y=f（x）=x3定义域为r，关于原点对称，且f（x）=（x）3=x3=f（x），所以y=x3为奇函数，而且y=x3在（0，+）上单调递增故选：d点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性的判断，要熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性5如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（）a 83b 84c 85d 86考点：茎叶图；众数、中位数、平均数专题：计算题分析：由茎叶图可知评委打出的最低分为73，最高分为90，去掉最高分和最低分，其余得分为83，82，87，85，88，求出平均数解答：解：由茎叶图可知评委打出的最低分为73，最高分为90，去掉最高分和最低分，其余得分为83，82，87，85，88，故平均分为 =85，故选c点评：本题考查茎叶图，考查一组数据的平均数和方差，考查处理一组数据的方法，是一个基础题，本题可以体现出茎叶图的优点，可以保留原始数据6设f（x）=，则f（6）的值是（）a 8b 7c 6d 5考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：利用函数递推关系式，化简f（6），转化到x10，+），代入解析式求解函数的值解答：解：f（x）=，f（6）=f（6+5）=f（11）=113=8故选：a点评：本题考查函数的递推关系式，函数的值的求法，基本知识的考查7曲线y=在x=1处的切线方程为（）a 2x+y=0b 2x+y4=0c 2xy=0d 2xy4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：求出原函数的导函数，得到在x=1处的导数，再求出x=1时的点的坐标，由直线方程的点斜式得切线方程解答：解：因为y=，所以y=，则切线斜率k=y|x=1=2，因为x=1时，y=2，所以在x=1处的切线方程为：y2=2（x1），即2x+y4=0故选：b点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上某点处的导数，就是曲线在该点的切线的斜率，是中档题8函数y=f（x）在区间2，2上的图象是连续的，且方程f（x）=0在（2，2）上至少有一个实根，则f（2）f（2）的值（）a 大于0b 小于0c 等于0d 无法确定考点：二分法的定义专题：计算题；函数的性质及应用分析：因为函数y=f（x）在区间（2，2）上的图象是连续的，且方程f（x）=0在（2，2）上仅有一个实根0，说明根在（2，2）之间可得，f（2）f（2）0，再根据零点定理的进行判断，f（x）在（2，2）上有根，利用特殊值取特殊函数：f（x）=x，f（x）=x2，f（x）=x2，从而进行求解解答：解：函数y=f（x）在区间（2，2）上的图象是连续的，且方程f（x）=0在（2，2）上至少有一个实根，不妨设有一个实根0，例如取f（x）=x，f（x）在（2，2）上仅有一个实根0，f（2）f（2）=22=40；若取f（x）=x2，在（2，2）上仅有一个实根0，可得f（2）f（2）=40=0；若取f（x）=x2，在（2，2）上仅有一个实根0，可得f（2）f（2）=44=160；综上：f（2）f（2）与0的关系没法判断，故选：d点评：此题主要考查函数零点的判定定理，利用特殊值法进行求解，会比较简单，此题是一道基础题9函数f（x）=x3+3x24的单调递增区间是（）a （，0）b （2，0）c （0，2）d （2，+）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：利用导数求解，由f（x）0得，0x2解答：解：f（x）=3x2+6x=3x（x2）由f（x）0得，0x2f（x）的递增区间是（0，2）故选c点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间的方法，属基础题10已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，若对于任意给定的不等实x1、x2，不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，则不等式f（1x）0的解集为（）a （，1）b （，0）c （0，+）d （1，+）考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质专题：函数的性质及应用分析：由所给不等式可判断函数的单调性，而不等式可化为f（1x）f（0），利用单调性可去掉符号“f”，从而转化为一次不等式，解出即可解答：解：对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，f（x）在r上为减函数，函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（0）=0，则f（1x）0=f（0），又f（x）为减函数，1x0，解得x1，不等式f（1x）0的解集为（，1）故选a点评：本题考查函数单调性及其应用，属基础题，正确理解所给不等式的含义是解决本题的关键11已知函数，则下列图象错误的是（）a y=f（x1）的图象b y=f（|x|）的图象c y=f（x）的图象d y=f（x）的图象考点：函数的图象专题：函数的性质及应用分析：先作出的图象，再根据a，b，c，d各函数的图象与f（x）的图象的位置关系判断正误：对于a，y=f（x1）的图象是由f（x）的图象向右平移一个单位得到；对于b，y=f（|x|）的图象由f（x）的图象横向对折变换得到对于c，y=f（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称而得到解答：解：先作出的图象，如图对于a，y=f（x1）的图象是由f（x）的图象向右平移一个单位得到，故其正确；对于b，当x0时y=f（|x|）的图象与f（x）的图象相同，且函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，故其错误；对于c，y=f（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称而得到，故其正确；故选b点评：熟练掌握各种常用函数的图象变换是解决此类问题的关键属于基础题12若f（x）=x3+3x2+a在（，0上有两个零点，则实数a的取值范围是（）a （4，0b 4，0c 0，4）d （0，4考点：函数零点的判定定理专题：函数的性质及应用分析：先求出函数的导数，求出函数的极值，由题意解不等式求出即可解答：解：f（x）=3x（x+2），令f（x）0，解得：x0，x2，令f（x）0，解得：2x0，在（，2），（0，+）上f（x）递增，在（2，0）上f（x）递减，若f（x）=x3+3x2+a在（，0上有两个零点，则f（x）max=f（2）=4+a0a4，f（x）min=f（0）=a0，4a0，故选：a点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卷中的横线上）13集合a=0，1的子集的个数是4个考点：子集与真子集专题：集合分析：根据含有n个元素的集合的子集个数为2n求解解答：解：集合a=0，1中含有2个元素，集合a共有22=4个子集故答案为：4点评：本题考查了求集合的子集个数，含有n个元素的集合的子集个数为2n14已知x，y的取值如下表：23562.74.36.16.9从散点图分析，y与x具有线性相关关系，且回归方程为=1.02x+a，则a=0.92考点：线性回归方程专题：应用题分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可解答：解：=4，=5，这组数据的样本中心点是（4，5）把样本中心点代入回归直线方程=1.02x+a，5=1.024+a，a=0.92故答案为：0.92点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一15函数f（x）=（x2x+1）ex（其中e是自然对数的底数）在区间2，0上的最大值是考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义专题：导数的综合应用分析：求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和最值即可得到结论解答：解：函数的导数f（x）=（2x1）ex+（x2x+1）ex=（x2+x）ex，由f（x）0得x0或x1，此时函数单调递增，由f（x）0得1x0，此时函数单调递减，即当x=1时，函数在区间2，0上取得极大值同时也是最大值，则最大值为f（1）=（1+1+1）e1=，故答案为：点评：本题主要考查函数在闭区间上的最值的求解，利用导数研究函数的性质是解决本题的关键16某同学对函数f（x）=xsinx进行研究后，得到以下结论：函数f（x）的图象是轴对称图形；存在实数x，使得|f（x）|x|成立；函数f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点距离相等；当常数k满足|k|1时，函数f（x）的图象与直线y=x有且仅有一个公共点其中所有正确结论的序号是考点：函数的图象专题：函数的性质及应用分析：易知f（x）=f（x），f（x）是偶函数，从而可判断的正误；由|sinx|1即可判断的正误；当x=2k+（kz）或x=2k（kz）时，sinx=1或1，可判断故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离相等不相等，从而可判断的正误；当常数k满足|k|1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点为（0，0），从而可得答案解答：解：f（x）=xsin（x）=f（x），f（x）是偶函数，函数y=f（x）的图象关于y轴对称，即y=f（x）的图象是轴对称图形，故正确；|sinx|1，对任意实数x，|f（x）|x|均成立，故错误；当x=2k+（kz）或x=2k（kz）时，sinx=1或1，故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离不相等（任意相邻两点的横坐标距离相等），故错误；|f（x）|x|，当常数k满足|k|1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点（0，0），故正确；综上所述，所有正确结论的序号是，故答案为：点评：本题考查三角函数的基本性质，牢记基本知识，基本性质是解好数学题目的关键，属于中档题三解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知集合a=x|3x4，集合b=x|x2+2x80，集合c=x|x24ax+3a20，a0，（）求a（rb）； （）若ca，试确定实数a的取值范围？考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：（）求出b中不等式的解集确定出b，根据全集r求出b的补集，求出a与b补集的交集即可； （）根据a大于0与a小于0分别求出c中不等式的解集，根据c为a的子集即可确定出a的范围解答：解：（）由b中不等式变形得：（x2）（x+4）0，解得：x4或x2，即b=x|x4或x2，全集为r，rb=x|4x2，a=x|3x4，a（rb）=x|3x2； （）由c中不等式变形得：（xa）（x3a）0，分两种情况考虑：当a0时，c=（a，3a），ca，解得：3a，此时a的范围为0a；当a0时，c=（3a，a），ca，解得：1a4，此时a的范围为1a0，综上，a的取值范围是1a0或0a点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键18已知在平面直角坐标系xoy中，圆m的方程为（x4）2+y2=1以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+）=（）求直线l的直角坐标方程和圆m的参数方程；（）求圆m上的点到直线l的距离的最小值考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：（）求直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再把圆m的直角坐标方程利用同角三角函数的基本关系化为参数方程（）设m（4+cos，sin），求得点m到直线l的距离，再根据正弦函数的值域求得它的最小值解答：解：（）由，得，即圆m的方程为（x4）2+y2=1，设，所以直线l的直角坐标方程为，圆m的参数方程（为参数）（）设m（4+cos，sin），则点m到直线l的距离为，当，即时，圆m上的点到直线l的距离的最小值为（7分）点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题19为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）如图所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀请画出下面的22列联表（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：p（x2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：k2=考点：独立性检验的应用专题：应用题；概率与统计分析：（1）由所给数据，结合40，即可补全22列联表；（2）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论解答：解：（1）甲班乙班合计优秀61420不优秀14620合计202040（6分）（2）k2=6.45.024 （10分）因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关（12分）点评：本题考查了由茎叶图求分类变量的列联表，及根据列联表计算相关指数k2的观测值，考查概率知识的运用，属于中档题20已知函数f（x）=x3x2+bx+c（1）若f（x）在（，+）是增函数，求b的取值范围；（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x1，2时，f（x）c2恒成立，求c的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值专题：计算题；综合题分析：（1）由已知中函数f（x）=x3x2+bx+c，我们可以求出函数的导函数，进而根据f（x）在（，+）是增函数，则f（x）0恒成立，构造关于b的不等式，解不等式即可得到答案（2）当f（x）在x=1时取得极值时，则x=1是方程3x2x+b=0的一个根，由韦达定理可以求出方程3x2x+b=0的另一个根，进而分析出区间1，2的单调性，进而确定出函数f（x）在区间1，2的最大值，进而构造关于c的不等式，根据二次不等式恒成立问题，即可得到答案解答：解：（1）f（x）=3x2x+b，f（x）在（，+）是增函数，f（x）0恒成立，=112b0，解得bx（，+）时，只有b=时，f（）=0，b的取值范围为，+（2）由题意，x=1是方程3x2x+b=0的一个根，设另一根为x0，则f（x）=3x2x2，列表分析最值：x1（1，）（，1）1（1，2）2f（x）+00+f（x）+c递增极大值+c递减极小值+c递增2+c当x1，2时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，对x1，2时，f（x）c2恒成立，c22+c，解得c1或c2，故c的取值范围为（，1）（2，+）点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，是函数与导数问题比较综合的应用，其中（1）的关键是构造关于b的不等式，而（2）的关键是问题转化为关于c的不等式恒成立问题21某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收人r（x）满足r（x）=假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（）工厂生产多少台产品时盈利最大？考点：分段函数的应用专题：应用题；函数的性质及应用分析：（i）依题意得g（x）=x+3，设利润函数为f（x），根据f（x）=r（x