（通信与信息系统专业论文）电磁散射特性的有限元法分析.pdf

硕士学位论文电磁散射特性的有限元法分析 摘要 有限元法( f e m ) 是计算电磁学的丰流方法之一，它对于复杂边界结构和非均匀 介质问题具有很强的处理能力。本文采用有限元法为基本方法，结合完全匹配层 ( p m l ) 吸收边界条件、曲面和高阶基函数、区域分解技术，对电磁散射问题进行了 研究，主要工作包括以下几个方面： 首先介绍了有限元法结合各向异性的p m l 用于电磁散射问题的研究。采用该 方法，分别计算了金属体、介质体和金属加介质体的雷达散射截面( r c s ) ，计算结 果表明，该方法能够比较准确地分析物体的散射特性。 在前面有限元方法的基础上，介绍一种局部共形p m l ( l o c a l l y c o n f o r m a lp m l ) 。 该方法通过将p m l 内部节点坐标按照一定的映射关系，由实数域映射到复数域， 通过其虚部数值达到吸收散射场的效果。采用该p m l 结合前面的有限元方法，计 算了表面形状复杂的物体，计算结果表明该p m l 具有很好的吸收效果，能够有效 地减小计算的未知量。 在散射问题中，引入了曲面和高阶基函数的概念。曲面单元能够以较少的单元 更好地拟合散射体表面，从而提高计算的效率。高阶矢量有限元方法在相同的计算 精度的要求下，可以采用电尺寸更大的网格离散，以降低未知量的个数。 最后为了提高有限元方法计算电大尺寸物体散射的能力，将区域分解法结合前 面的有限元方法，将散射体整个计算区域分割为若干予域进行计算，从而缓解了内 存需求，并利用子域的几何重复性，只用分析其中几个典型的了域即可，从而达到 快捷地分析电大尺寸问题。 关键词：有限元法，电磁散射，雷达散射截面，共形p m l ，曲面基函数，高阶基 函数，区域分解法 a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i so n eo ft h em a j o rn u m e r i c a lm e t h o d si n c o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c d u et oi t sv e r s a t i l i t ya n df l e x i b i l i t y , t h ef e mi sc a p a b l e o fm o d e l i n gc o m p l i c a t e ds t r u c t u r ea sw e l la si n h o m o g e n e o u sm a t e r i a l s i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，an u m b e ro fm e t h o d sb a s e do ne d g e b a s e df e ma r ep r e s e n t e d f o rt h ea n a l y s e so f e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s t h ef o l l o w i n gc o n t r i b u t i o n sh a v e b e e nm a d e - t h em e t h o db a s e do nf e m ，w h i c hc o m b i n e dw i t hp e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ( p m l ) a r ei n t r o d u c e df o rt h ea n a l y s e so fe l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m sf i r s t t h er a d a r c r o s ss e c t i o n ( r c s ) o fs o m eo b j e c t sa r ec a l c u l a t e d ；t h er e s u l t sd e m o n s t r a t e dt h em e t h o d i su s e f u l an e wp m l ( l o c a l l y - c o n f o r m a lp m l ) i si n t r o d u c e d t h i sm e t h o di sb a s e do na l o c a l l y d e f i n e dc o m p l e xc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nw h i c hh a sn oe x p l i c i td e p e n d e n c eo n t h ed i f f e r e n t i a l g e o m e t r i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h ep m l f l e es p a c ei n t e r f a c e s o m e n u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ep e r f o r m a n c eo ft h i sm e t h o di n e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s t h eh i g ha c c u r a t ea n de f f i c i e n th i g h e ro r d e rv e c t o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o di su s e df o r t h es o l u t i o n so fe l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s t h eh y b r i da p p r o a c ho ff e mc o m b i n e dw i t hd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( d d m ) f o rt h el a r g e s c a l e e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e mi si n v e s t i g a t e d b e c a u s eo ft h e p e r i o d i c i t yo fs u b d o m a i n ，o n l ys e v e r a ls u b d o m a i n sn e e dt ob ea n a l y z e d 。a sar e s u l t ，m o r e e f f i c i e n ts o l v i n gi sa c h i e v e d k e yw o r d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g ，r a d a rc r o s s s e c t i o n ( r c s ) ，c o n f o r m a lp m l ，h i g h e ro r d e rv e c t o rb a s i sf u n c t i o n ，f i n i t ee l e m e n tt e a r i n g a n di n t e r c o n n e c t i n g ( f e t i ) h 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：j 也牡 r 佣易年6 即日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 驻 扩阵6 月彳日 硕十学位论文屯磁散射特性的有限元法分析 1 绪论 1 1 研究背景 使用计算机数值仿真【l 】来解决科学及工程问题是在二战后随着电了计算机的发 展而开始出现的。计算机仿真技术，就是首先根据所研究问题的控制方程建立相应 的数学模型，在模型确定之后，选择相应的算法并在计算机上实现。计算机仿真最早 的应用见于1 9 5 2 年，当时被用于天气预报并取得了很大的成功。从此以后，计算机 数值算法得到了迅猛的发展，出现了越来越多的数值仿真方法并涉及到各种不同的 领域，例如流体动力学、物理、化学、天文、电磁学等等。伴随着数值仿真技术的 发展产牛了许多新的学科方向。计算电磁学就是以电磁理论为基础，以高性能计算 机为辅助工具，结合高效的数值算法而诞生的一门解决复杂电磁场与微波工程问题 的新学科。随着科学的发展，数值仿真技术在工程应用中占有越来越重要的地位， 并且不断有新的数值算法产生。在当今社会，数值算法已经成为开发新产品、新设 备，解决工程问题、推动科学发展与社会进步的重要于段，它同理论与实验共同构 成了当代科学研究的支柱。 人类的计算能力取决于计算工具的性能与计算方法的性能两个方面。一种高效 的数值算法离不开高性能计算机的支持。如今高性能电子计算机的发展日新月异， 就个人微机而言，2 0 g h z 以上c p u 与l g 以上内存的微机已随处可见，完全能够满 足数值仿真试验的需要，并且价格一般来说仅需数千元，这为数值仿真技术的应用 提供了很大的便利。然而对于提高计算能力来说，数值算法的计算效率的提高比硬 件性能的提高更为重要【2 1 。因此自从上世纪5 0 年代以来一直到目前为止，计算方法 的研究都非常活跃，并出现了一系列的数值仿真方法。主要包括偏微分类方法如有 限元法【3 1 、有限差分法【4 】；积分类方法如矩量法【5 1 、边界元法f 6 】：以及其它如模匹配 方法【7 1 、射线类方法【8 】等等。各种方法都具有自身的特点和局限性。其中有限元方 法由于其强大的模拟任意几何结构及任意特性的复杂材料的能力，并且具有适合并 行处理、程序通用性强等许多优越的特性，从而获得了人们的喜爱和广泛的应用。 另一方面，作为差分类方法，有限元法导出的为高度稀疏的线性系统。而对于以积 分方程为基础的数值方法产生的离散方程，其系数矩阵通常为稠密矩阵，所有元素 都需要大量的数值计算。因此虽然积分类方法的未知量可能比有限元方法的少，但 其数值计算工作量很大。这也是有限元法与矩量法等方法相比的优势所在。目前有 限元方法已经几乎被运用到电磁场中的各个方面，成为数值算法中最重要最成熟的 l 绪论 硕十学位论文 方法之一，并且有许多国内外的学者致力于有限元算法的研究。近几年来，每年世 界上都有数十篇关于有限元研究的科技论文出版，并且有系统介绍关于有限元技术 及在电磁场与微波技术领域应用的书籍，如金建铭的电磁场有限元方法1 9 l 等。 目前许多国家都在有限元方法的研究上投入了很大的人力物力，并研发出了许多实 用成熟的商用软件【1 0 】，女i h f s s ，a n s y s ，f e k o 等等，已经投入广泛的使用，解决 了许多的工程问题。然而科学的发展是永无止境的，随着电磁学的发展，各种新的 问题不断涌现，传统的数值算法己不能满足解决新问题的需要，需要引入一些新型 的算法与有限元相结合来拓展其解决复杂问题的能力。 1 2 研究历史和现状 f e m 是求解微分方程边值问题的数值过程，到目前为止，它已经广泛地应用于 各类工程技术领域，例如流体力学、空气动力学、结构力学、应变分析、以及各种 场变量_ 温度、压力、电磁场地计算等等。 1 9 4 3 年，c o u r a n t 的论文首次明确提出有限元的思想最小位能原理及分片插 值的离散形式l 。其基本原理是用许多了域( 离散网格) 表示整个连续区域( 计算区 域) ，在予域中未知函数用带有未知系数的简单插值函数表示，因此无限自由度的原 边值问题就转化为有限自由度的问题，即整个系统的解用有限数目的未知系数近似。 然后基于变分原理或伽辽金法得到一组代数方程( 方程组，或矩阵方程) ，最后求解 方程组耳u 可得到边值问题的解，由于最初的插值函数是对应于单元网格节点的一维 标量函数，所以早期的f e m 称节点有限元方法，也称标量有限元方法。当用节点有 限元方法解决矢量电磁场边值问题时，需要将未知矢量场首先转化为标量场问题， 然后进行求解。这种用基于节点的标量基函数处理矢量电磁场时，会遇到以下几个 严重问题：( 1 ) 非物理的或所谓伪解的出现，这种问题是由于没有强加散度条件引 起的：( 2 ) 在材料边界和导体表面强加边界条件的不方便；( 3 ) 处理导体和介质边缘 及角的网难性，这是由于这些结构场的奇异性造成的。在这些问题中，第三个问题 比前两个问题更严重，因为它缺少通用的解决方法，即使对前两个问题，目前的处 理状况也不能完全令人满意。 幸运的是，一种新型的f e m 在上个世纪8 0 年代被提出，这种f e m 使用矢量插 值函数( 矢量基函数，v e c t o rb a s i sf u n c t i o n ) 来近似未知函数，将自由度赋予单元网格 的棱边而不是节点，因此这种f e m 称矢量有限元方法( v e c t o rf i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) ， 也称边棱元方法( e d g e b a s e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 。由于矢量基函数在棱边上有恒定 值，并且方向沿棱边，因此采用矢量基函数的f e m 非常方便强加介质以及导体边界 2 硕十学位论文电磁散射特性的彳限元法分析 条件，也不难处理目标边缘处的建模。另外每个矢量基函数的散度都为零，因此节 点有限元中的伪解也避免了。但这种新型的f e m 在电磁场问题的应用及重要性直到 上个世纪9 0 年代才被认识到，在这之后，基于矢量有限元方法的大量文献开始出现。 在二维波导问题中，像基于四边形网格的有耗介质波导结构的分析，基于三角形网 格的填充铁氧体介质的波导的分析；在三维问题中，像摹于四面体、六面体网格的 腔体本征值计算，非均匀各向异性目标分析，可调谐矩形贴片天线的谐振频率计算， 基于四面体单元的光波导中的功率损耗计算等。所有这些工作都已经证明，矢量有 限元方法在各种电磁场问题中的应用非常成功，并没有出现那些节点有限元方法很 难避免的缺点，从此揭开了有限元方法在电磁场工程应用领域的新篇章。 由于矢量基函数，沿单元棱边方向取值恒定，沿棱边法向是线性插值，这限制 了基函数模拟实际电磁场的插值精度。这也是有限元收敛缓慢的原因，即随着剖分 网格的加密，数值结果收敛到真实物理解的过程是极端缓慢的。对这个问题的认识， 导致了在计算电磁学领域高阶基函数及其高阶数值方法的出现。相比较低阶的矢量 有限元，基于高阶展开基函数的高阶矢量有限元方法之所以有较高的效率，就在于 在相同的计算精度的要求下，它可以采用电尺寸更大的网格，以降低未知量的个数， 从而达到提高计算效率的目标。高阶矢量有限元方法同时综合矢量有限元和高阶基 函数两种方法的优点，不仅避免了节点有限元方法的缺陷，也兼备了高阶基函数精 度高的优势。因此它的出现将f e m 在电磁场领域的应用带入到另一个新的高度。 大量科技文献与商业化软件的出现表明【l 引，在电磁学相关领域，有限元理论已 经趋向成熟，然而有限元的方法十分适用于闭域问题的求解，对于散射等开域问题 则比较困难。有限元求解电磁散射问题的困难之处在于，有限元是一种区域性方法， 受计算机存储空间和运算速度的限制；而电磁散射是一个开域问题，有限元方法不 可能将离散域扩展到无限空间，这就需要一个特殊的边界条件一开域边界条件为有 限元确定一个有限大的计算区域，将开域i 口- j 题转化为闭域问题。目前有三种边界条 件被广泛采用i t 3 ：完全匹配层( p m l ) 、吸收边界条件( a b c ) 和边界积分方程( b i ) 。前 两种方法属于局域边界条件，是近似边晃条件：后一种方法属于全域边界条件，是 精确的边界条件。局域边界条件保持了有限元系统矩阵的稀疏性，但计算结果的精 度和可靠性方面差一些；全域边界条件计算结果的精度和可靠性比较好，但一定程 度上破坏了有限元系统矩阵的稀疏性。 3 1 绪论硕十学位论文 1 3 本文的结构和安排 本论文正文分为七章，具体安排如下： 第二章详细介绍了有限元法的基本原理及具体实施，包括电磁场边值问题、建 立有限元方程的近似方法、有限元法求解电磁场边值问题的步骤等。有限元法是以 后研究的基础，所以对有限元法基础的深入研究是本文研究工作重要的一步。 第二章详细介绍了任意形状物体的电磁散射问题，包括金属体、介质体、金属 有涂层和多层介质物体的散射研究。用有限元法建立数学模型，较精确地计算出各 种物体的双站r c s 值。 第四章中针对立方体形状的各项异性p m l 在散射问题中未知量较大，介绍了非 各向异性共形p m l 的概念，通过将p m l 的实数堆标变换成复数出标，达到对散射场 的衰减，通过数值计算验证该p m l 的效果。 第五章中为了降低未知量的大小和对曲面物体表面的拟合，提高计算精度和计 算效率，在前面有限元法基础上，引入了曲面基函数和高阶基函数。 第六章中为了提高有限元方法计算电大尺寸物体散射的能力，将区域分解法结 合前面的有限元方法，利用区域结构的几何重复性，快捷地分析电大尺寸问题。 第七章总结和回顾了本文的工作，指出了值得进一步研究的内容，提出了下一 步努力的方向。 4 硕七学位论文 电磁散射特性的有限元法分析 2 有限元法的基本原理 2 1 引言 有限元方法( f e m ) 是以变分原理和加权余量法1 ) 4 1 为基础的数值计算方法。其思 想最早出现于上世纪4 0 年代，在5 0 年代被用于飞机设计，然而其开创性的工作是 r w c l o u g h 于1 9 6 0 年完成的l l 习，随后这种方法得到快速的发展并广泛地应用于工 程中的结构分析问题中。将有限元法移植到电磁工程领域是二十世纪七十年代的事 情。有限元方法在电磁领域中的应用始于对封闭的电磁系统的分析，这些问题都可 以归结为在给定边界条件下的电磁场边值问题。应用g a l e r k i n g 力l - 1 权余量法导出有限 元线性系统的方法拓宽了有限元法的应用范围，使其适用于具有复杂边界形状与复 杂边界条件、含有复杂媒质的问题。这些年来，有限元法的研究日益深入，与有限 元法相关的一些数值仿真技术也有了很大的进展，使有限元技术能够解决越来越多 的电磁问题，如二维场建模求解、开边界问题、散射问题的求解、自适应网格划分、 高磁性材料及具有磁滞饱和非线性特性介质的处理等，使有限元技术有了很大的发 展，并已广泛的应用于工程问题的仿真，成为解决工程和科学问题的一种通用方法。 在计算电磁学领域，有限元方法的发展经历了从基于节点的有限元法到基于棱 边的矢量有限元法再到高阶矢量有限元法等一系列阶段【9 】。其中节点有限元法适合 于静电问题，但用于求解高频电磁问题中的矢量电场或矢量磁场时则会出现一些问 题，即不能够保证各单元相邻表面之间场的连续性，并且不能够正确地表示场的旋 度的零空间，从而在有限元仿真过程中有伪解出现，使仿真结果不可靠。因此，在基 于节点有限元法的基础上发展了矢量有限元方法【l6 1 。矢量有限元方法一般用于求解 基于电场或基于磁场的矢量h e l m h o l t z 方程。根据所求解问题控制方程的不同所采用 的基函数也不相同。当用于模拟基于电场的矢量h e l m h o l t z 方程时，根据电场的物理 特性，矢量有限元法采用切向矢量基函数【l7 j 来展开电场，保证了各单元相邻表面之 间电场的切向连续性，而对场的法向连续性不作要求。对于大多数的电磁场边值问 题，一般采用基于电场的矢量h e l m h o l t z 方程进行分析求解。无论是节点有限元还是 矢量有限元，采用高阶基函数建模以提高仿真精度的方法是目前发展的重要方向。 总的来说，到目前为止在电磁场中应用的有限元方法共有三种类型。即节点有 限元、切向连续矢量有限元、法向连续矢量有限元。矢量有限元克服了传统的节点 有限元的不足，在分析高频电磁问题时取得了很大的成功，因此在电磁场数值计算 中与切向矢量有限元相关的高效数值算法是目前研究的热点方向。 2 彳了限兀法的基小原理 硕十学位论文 2 2 有限元法的基本原理 2 2 1 电磁场边值问题 用有限元法分析电磁场问题，首先要对电磁场中的边值问题进行研究。边值问 题出现在物理系统的数学模型中，如何对其快速而有效的求解一直是数值模拟方法 研究的主题。典型的边值问题可用区域q 内的控制微分方程和包围区域q 的边界r 上的边界条件来定义。对于大多数的电磁问题，都能用如下的控制方程来表示： 。 = g( 2 2 1 ) 这里表示微分或积分算子，g 是已知的激励函数，是需要求解的未知场函 数，可以是电场、磁场或电势、磁势等。对于一般的问题，主要有d i r i c h l e t 边界条 件，n e w m a n 边界条件、及辐射边界条件等。 计算电磁学所分析的时喈电磁场的特性可以表述为如下的电场波动h e l m h o l t z 方程： v x ( j 1 v 雹( r ) ) 一2 0 e - - ( ，) = 一，k z 。7 ( 2 2 2 ) 或磁场波动h e l m h o l t z 方程： v ( 巧1 v n ( 尸) ) 一k 2 l r f i ( 厂) = v xs r l l 7 ( 2 2 3 ) 对于无源微波器件，上式中t 7 = 0 。( 2 2 2 ) 与( 2 2 3 ) 即为高频电磁问题的控制方 程。一般采用( 2 2 2 ) 式来进行有限元建模。 在时谐有限元分析中用到最多的边界条件为理想电壁边界条件与理想磁壁边界 条件。在理想导电壁表面上，边界条件可以表示如下： h x e ( ，) = 0( 2 2 4 ) 在理想磁壁表面上： 而x v x e ( ，) = 0 ( 2 2 5 ) 确定了控制方程与边界条件，就可以使用有限元方法对所分析的问题区域进行 离散，进而求出待求的未知场量及其他物理特性。 2 2 2 伽辽金加权余量法与里兹变分法 因为在电磁学中大多数重要的实际工程问题都没有解析解，因此发展出各种近 似方法。伽辽金加权余量法与里兹( r i t z ) 变分法是早期求解电磁场控制方程( 2 2 1 ) 的 两种最常用的近似方法，也是建立有限元方程最重要的方法。 假定西是控制方程( 2 2 1 ) 的近似解。将面代入式( 2 2 1 ) ，由于与真实解之间存在 误差，因此会得到一个非零余量： ，= 面一g 6 硕十。学位论文电磁散射特住的有限元法分析 伽辽金加权余量法通过对上述余量求加权积分： = l w f q 来寻求式( 2 2 1 ) 的近似解面，使得参数，在所有点上取得最小的值。上式中的彬 为加权函数。近似解面可以表示为下面的展开函数形式： 西= q z 这里厂称作插值函数，一般为线性或高次函数。权函数的选取有多种方法，如 点配置法、最小二乘法等，但在加辽金加权余量法中，权函数与近似解展开所用 的函数，：相同，通常这样可得到最精确的解。 里兹( r i t z ) 变分法，是一种用变分表达式( 泛函) 来得到近似解的方法。这种方法 将边值问题用泛函表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制方程的解。 ( 2 2 1 ) 式的近似解西通过求下面的泛函对面的极小值来得到： ，( 面) = 吉( 三西，西) 一毒( 面，厂) 毒( ，西) ( 2 2 6 ) 方程( 2 2 6 ) 的极值点对万f = 0 对应于( 2 2 1 ) 的近似解。因此一旦确定了方程 ( 2 。2 。1 ) 对应的泛函，即可将面的展开式代入来求解。 一般来说，用伽辽金加权余量法或里兹变分法导出的方程具有同样的形式。对 上述基于电场的矢量h e l m h o l t z 波动方程( 2 2 2 ) ，得到的矢量有限元方程如下： 工( v e ( r ) ) ( v w ( r ) ) + k o e ( r ) w ( r ) a v j k o z o 工j ( r ) 州r ) a v ( 2 2 7 ) 卜r 上述方程是对整个问题区域进行建模得到的。如果所分析的问题过于复杂，则 不能使用简单的函数展开来近似整个区域内的解，就需要对整个问题区域进行离散， 并在每个了域使用伽辽金或里兹变分法来得到整个问题的解，这就是下面要介绍的 有限元方法。 2 2 3 有限元法的步骤 应用有限元法求解电磁场边值问题，一般包含下面的几个步骤： ( i ) 确立适当的微分控制方程及边界条件。 ( 2 ) 网格离散。 ( 3 ) 选择摹函数和加权函数，运用伽辽金加权余量法或里兹变分法将控制方程 离散为线性方程组。 ( 4 ) 消去边界上的未知量并求解矩阵方程，得出所分析区域内的场分布。 ( 5 ) 后处理，计算出所需的参数。 使用有限元法，一旦确定了控制方程及计算求解区域，就需要进行网格离散。 2 订限冗法的基小原理 硕十学位论文 在有限元分析步骤中，区域离散是非常重要的一步。因为网格离散的方式将会影响 到计算机内存需求、计算时间和数值结果的精确度。有限元法可以适应不同类型的 网格，对二维问题可以采用二角形、矩形及任意四边形等网格；而对三维问题可以 采用四面体、四棱锥、三棱柱、六面体等网格剖分，f u 是最常用的在二维问题中为 三角形，在二维问题中为四面体网格l l 引。正是离散网格的多样性使得有限元法在模 拟仟意形状边界的问题时具有强大的功能。 # i 2 图2 2 1 有限兀四由体单兀不意图 在牛成网格之后，就要根据选定的插值函数来建立有限元方程。对于切向矢量 有限元通常采用w h i t n e y 基函数，因为其i 主t w h i t n e y 提出而得名。w h i t n e y 基函数形式 如下： w ，= ( ，。v ，2 - 4 ，2 v ，1 ) t ( 2 2 8 ) 其中f 表示第f 条边，f 1f 2 表示第f 条边两个端点的编号，c ；，为体积舭标。体积坐 标的定义如下：假定四面体p 内坐标为( x ，y ，z ) 的一点p ，k 表示p 点与四面体除f 点 以外的其他三点构成的四面体的体积，表示四面体e 的体积，那么p 点的体积啦 标定义为： i ；，( x ，y ，z ) = v 。= ( q + b , x + c , y + d , z ) 6 v 。 其中口、匆、印巧是与四面体有关的常数。由( 2 2 9 ) 可以看出， 为线性插值函数。如果用f ，表示第f 边的单位切向矢量，则有： v 0 ( s 决定万) 使得： 慨；) 一r ( 训 s ，当n 训 艿时( 4 2 1 2 ) i ii i1 1 该式表明在q h ，区域中两个相接近点尹和尹如果被映射到复空间r 中，那么这两个 点尹和f + 也是相接近的。这样的性质是由小标变换公式中的n ( p ，p o ) 和参数 决定 的。即使在图4 1 2 所示的阴影区域该结论也是成立的。 ( d ) 为了使p m l 具有很好的吸收效果，在选择口的值时需要慎重，选取的口值 要使得传播的电磁波在q ，区域中能够平滑衰减。另外，当电磁波经过p m l 衰减 到达p m l 外表面a q 勘的时候，其电场值的大小可以忽略不计。为了满足最后一个 条件，应该使口的值尽可能的大，但希望能够平滑地衰减，甚i j 要求衰减率不能超过 一个确定的值。另外，一个很大的口值很可能会由于过大的虚部而导致经过( 4 2 4 ) 的节点 陋标变换计算时而变形。换而言之，变换复班标后的四面体的形状会发牛太 大的变化，形状会变得奇怪，可能导致最后形成的矩阵呈现病态而很难收敛或者计 算结果不准确。因此我们要设定理想的口值，在实际应用中，p m l 厚度在名2 到五4 之间，口值约等于5k 可以使p m l 达到比较好的效果。 4 3 复空间下的f e m 公式 在局部共形p m l 方法中，麦克斯韦方程经过( 4 2 9 ) 式的复 陋标转换而发牛改变。 改变后的复空间波动方程如下： v v e ( ，) - k 2 e ( r ) = 0 ( 4 3 1 ) 在复空间的波动方程可以通过加权余量法得出： l 叭 亏西r ( ；) 寺形r d q 一七2l 。，一e f ( ；) w f d q = 0 ( 4 3 2 ) 其中矽是复数域下的权函数。 在f e m 中，用四面体离散待求电场求解( 4 3 2 ) 中的波动方程。在复班标转化中， 四面体单元由实数 拴标系映射到复数 怜标系( 四面体的节点为复数6 隆标) ，具体映射 关系见图4 3 1 。 硕十学位论文 电磁敞射特性的彳限元法分析 1f 砌若，翻 i ( ， 赢l 鼹3 南3 ，y 诵，c 3鳓3 ，劫 在每个四面体中，未知电场可以近似表示为： 否_ 7 ( 7 9 = 丙，( ；) 单9 ( 4 3 3 ) 其中：f ，8 是f 条边的未知切向分量，n 一，( 尹) 表示第f 边的基函数。 把( 4 3 3 ) 式代入( 4 3 2 ) 式，利用里兹变分法，同时令权函数等于基函数( 即肜。= ；( 芦) ) ，波动方程变为： 小( 秘州胁矾洳 h 3 御 “2 k ，1 驴面叫厢脚= 0 ( 川，2 6 ) 2 1 4 复坐标系下的单元 参数坐标系f 的单兀 图4 3 2f e m 公式中的等参映射 利用( 4 3 4 ) 对单个四面体形成一个6 x6 的矩阵： 1 2 q = - “髟确水丙，( 7 - ) j a n 搿匕肛确n 一脚 ( 4 3 1 5 ) k ，| v ，( ，) j 。l v 一七2k 肛，( r ) 。，( ，) d q ( 4 。5 ) 本文不采用( 4 3 5 ) 式直接积分的方法，而是用“等参映射”( 见图4 3 2 ) 的方法将四 面体映射到参数也标系下。，在这个映射里，未知场都由相同的基函数表示。 在每个四面体中，基函数被表示为p z j ： 丙， ，召，y ) = ( f 。叫：一m ：v m 。) ( 4 3 6 ) 其中：，是第f 边的长度，i ，和i 2 是相应第，边的节点，和n i ：分别是节点f ，和i 2 的 形函数。边的编号以及相应的节点i 。和i ：在图4 3 2 中由箭头的指向所定义。也就是 说对于第f 边，i 。是在箭头起始端的节点，i 2 是在箭头末端的节点。例如，对于第1 4 n j 邢k 形p m l ( l o c a l l y - c o n f o r m a lp m l ) 硕十学位论文 边，f l 是1 ，i 2 是2 。 在每个四面体，各个节点的形函数被定义女i t 3 2 1 ： l = l s r 一i ， n 2 = 3 = r d = v 利用等参映射的方法，参数艰标系与复数小标系的变换关系式为： ；= ；，( 占，r l r l ，y ) z 2 2 二x ，( 占，y ) ，= i 多= 歹，( s ，r l , v ) 4 三= 三，j ( 占，r ，v )_ 一 、77 ，_ f ( 4 3 7 a ) ( 4 3 7 b ) ( 4 3 7 c ) ( 4 3 7 d ) ( 4 3 8 a ) ( 4 3 8 b ) ( 4 3 8 c ) 未知场通过基函数表示如下： 否。( s , r l , v ) ：6 ，( 占，矽，y ) 矿 ( 4 3 9 ) 利用表达式( 4 3 8 ) ，雅克比行列式矩阵表示如下： j j m = c 3 x a y c 3 z a sa a 8 x a y a z a 7 7d r ；d r l c 3 x 。a ya z c 3 va y a y x 2 一x i 工3 一x i x 4 一x l y 2 一y l j ，3 一y i y 4 一y l z 2 一z z 3 一z z 4 一z ( 4 3 1 0 ) 从( 4 3 1 0 ) 式可以看出，雅克比行列式各项都为一个常数，只由四面体的四个节点嫩 标决定。 接着，( 4 3 5 ) 的表达式变为： a u 。- 。4 v ，s 二y j 。【_ v ，占，7 ，y j d e 以e m d 占d 7 7 d y ( 4 3 11 ) 一k 2 ln ，( s ，矽，y ) n ，( 占，7 7 ，v ) d e t ( j 埘) d s d r l d v 为了求出，需要计算矽( 占，i ，d ) 和9 x 砖( 占，r ，u ) 。j 匝过( 4 3 6 ) # l 1 ( 4 3 7 ) 很容易 看出，这些表达式只与髟s 、寺7 7 、影u 有关。它们的值可以e i e i ( 4 3 10 ) 中的雅克比行 列式矩阵的逆矩阵求出，具体形式如下： 硕十学位论文 电磁散射特性的彳限元法分析 塞= 珐 i i ，嘉g ，- 删i 2 i ，塞g ，- i m 3 i 瓦a q = j 删- i i 2 ，舅= 2 2 ，鲁= 珐l ( 4 3 1 2 ) 詈 i 3 ，詈= j ，- 肼i 2 3 ，磊a l z = j 删- ! 3 3 其中1 i ，为雅克比行列式矩阵的逆矩阵的f ，j 项。 ( 4 3 11 ) 式中的a q 2 的值是通过四面体各节点举标计算得出的，因此，f e m 公式可 以通过由嫩标变换得到的复数节点搬标容易地计算得出。虽然上面公式中的口：是通 过四面体单元的形式给出，但是也可以通过其他的剖分单元表示，例如六面体。 最后，将在f e m q b 应用局部共型p m l 算法总结如下： 1 、创建由边晃m 和a q 僦包围的p m l 区域q m ( 见图4 。l 。2 ) ，并分别保存边界面 施、a q m 上和p m l 区域q 觥内的节点信息( 编号和舭标) 。 2 、将p m l 内部及表面的节点舭标按照( 4 3 4 ) 式将相应的实数啦标变为复数半标。 3 、利用( 4 3 11 ) 将每个p m l 区域q m 中的四面体单元构建成6 x 6 局部矩阵。 4 、将局部矩阵合并为一个全局矩阵。 5 、求解全局矩阵。 4 4 数值结果及分析 利用数值算例来测试局部共型p m l 法在处理三维散射问题上的性能。丰要参 数如下：口= 5 k ，m = 3 。在所有的例了中，p m l 和散射体之间的距离近似等于疋4 ， p m l 的厚度也近似选择九4 。在下面给出的所有例子中，采用共形p m l 计算复杂 形状的散射体的雷达散射截面( r c s ) ，从而证明局部共形p m l 的优越性。 1 第一个例子【硎是一个由半球和圆锥组成的金属球锥体，其中球的半径为 1 6 4 , 锥的高度为1 6 4 , ( 锥的顶角为4 5 ) ，入射角度为秒= 0 ”，矽= 0 “，入射波卯极 化和影极化的情况下，双站r c s 曲线如图4 4 1 ( b ) 和图4 4 2 ( b ) 所示，通过和图4 4 1 ( a ) 和图4 4 2 ( a ) 中的文献结果比较可以看出，曲线吻合得很好，证明了程序的正确性。 ! j 型! l 里! 竺! ! ：! ! ! l 】! ：! ! ! 生! ! ! ! 坚! )! 望：! ! 堕1 3 0 2 0 五1 0 已 0 品 翟1 0 2 0 3 0 3 5 2 5 1 5 岔 35 x 窃一5 基 一1 5 2 5 3 5 b i s t a t l cr c sp r o f i l e ( jp o l a r i z a t i o n 4 5 i ) r d e 9 0 9 r e e l 1 3 5 i ) () 图4 , 4 i ( a ) 文献计算的例i 的0 0 极化圈 o4 5 9 0 r h e t a l ( d e g r e e s ) 图4 4l ( b 1 本文计算的倒i纳0 0 极化图 m m 戢 特忡自勺n mj 诘 析 b i s t a t i cr c sp r o f i l ei p o l ar i z a t i o n 8c d e g r e e ) i - l 42 fa i 趸6 n 汁尊h 0 * j1 0 0 口f 7 t 罔 t h e t a ( d e g r e e s ) 图4 42 ( b ) 水文计算的例l 的静极化图 2 第二个例了是个由半球和圆锥组成的金属球锥体，其中球的半径为 16 ，锥的项角为1 0 入射角度为日= 0 ，p = 0 ，入射波鲫极化的情况下，般站 r c s 曲线如图4 43 ( b ) 所不，通过和图4 43 ( a ) 中的文献结果比较可以看出，曲线吻 合得很好，证明了程序的正确性。 加 。 伸 如 1 8 pl，v、uz ! 盐! ：! ! 堡! 竺坚坚型芝! 竺! ：型! 竺坐堡：j = 些鲨三 2 0 b i s t a t i c ! “”“”“”2 “” - - - - 一c a l c u i a t e d o 【9 1 4 59 013 5 1 8 0 o ( d e g r e e 图4 43 ( a ) 文献讨算的例2 的目目极化图 1 。| = i i t h e t a ( d e g r e e s ) 罔4 43 ( b ) 本文计算的例2 的8 8 极化图 3 第二个例了是一个半径r = o2 的均匀介质球，介电常数，= 2 l5 一j o5 ， 磁导率“，= l0 ，平面波入射，入射角度为p = 0 ，p = 0 ，其中p m l 分别采用局部 麸形p m l 和第二章使用的方形的各向异性p m l ，分别得到其双站r c s 曲线与精确 解m i e 级数比较如下罔4 44 所不。 硕十学位论文 电磁散射特性的彳丁限元法分析 o 一0 1 0 一1 5 兽一2 0 塑一2 5 3 0 - 3 5 - 4 0 - 4 5 1 8 0 图4 4 4 共形p m l 与方形p m l 的计算结果比较 局部共形