高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.4 诱导公式（第2课时）学案 新人教B版必修4.doc

第二课时诱导公式(2)基础知识基本能力1会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式(难点)2掌握角与(2k1)(kz)、与、与的三角函数间的关系(重点、易错点)能利用诱导公式三、四解决简单的三角函数的化简、求值和证明等问题(重点)1角与(2k1)(kz)的三角函数间的关系cos(2k1)cos_，sin(2k1)sin_，tan(2k1)tan_.通常，称上述公式为诱导公式(三)归纳总结sin(n)cos(n)tan(n)tan ，nz.【自主测试11】sin的值是()a b c d答案：a【自主测试12】化简为()acos 80 bsin 80ccos 80 dsin 80答案：c2角与的三角函数间的关系cossin ，sincos .通常，将上述公式称为诱导公式(四)在诱导公式(四)中，以替代，可得另一组公式cossin ，sincos .由三角函数之间的关系又可得tancot ，cottan ；tancot ，cottan .我们知道，任意一个角都可表示为k的形式这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题【自主测试21】化简所得的结果为()asin bsin ccos dcos 答案：c【自主测试22】若|cos |sin，则角的集合为_解析：|cos |sincos ，cos 0，2k2k，kz，的集合为.答案：诱导公式的作用与规律性剖析：(1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为090角的三角函数值(2)诱导公式存在的规律：k2(kz)，(2k1)(kz)的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”如sin(300180)sin 300，我们把300看成一个锐角，则sin(300180)的符号为负，即sin 300前面所带的符号为负，的三角函数值等于的异名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”如cos(10090)sin 100，我们把100看成锐角，则cos(10090)的符号为负，即sin 100前面所带的符号为负这两套公式可以归纳为k(kz)的三角函数值当k为偶数时，得的同名三角函数值；当k为奇数时，得的异名三角函数值然后，在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是的奇数倍和偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把看成锐角时，原函数值的符号诱导公式有很多组，使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序：化负角为正角；大于360的角化为0，360)之间的角；把90360的角转化为090之间的角题型一 利用诱导公式求值【例题1】求sin(1 920)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945的值分析：求三角函数值一般先将负角化为正角，再化为0360的角，最后化为锐角求值解：原式sin(5360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)tan(2360225)sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)tan(18045)sin 60cos 30cos 60sin 30tan 4512.反思对于任意给定的角都要将其化成k360，180，360等形式进行求值，大体的求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小，化为锐角范围内错不了”题型二 利用诱导公式化简【例题2】已知是第三象限的角，f()，(1)化简f()；(2)若1 860，求f()的值分析：这是一道综合性题目，其实质就是化简求值，在化简求值的过程中，要正确运用十字诀(奇变偶不变，符号看象限)解：(1)f()cos .(2)1 860219030，f(1 860)cos(1 860)cos(219030)sin 30.反思三角函数的化简问题要依据诱导公式进行，关键是诱导公式的选择，要把角进行合理的拆分，再者要与前面所学三角函数基本关系式相互配合使用，化简中应遵循“三个统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式题型三 利用诱导公式证明【例题3】已知sin()2cos(2)，求证：.分析：首先将已知条件进行化简，得到一个结构比较简单的式子，然后再化简待求式的左边，最后将化简后的已知条件代入，进一步整理即可证得证明：因为sin()2cos(2)，所以sin 2cos ，即sin 2cos .所以待求式的左边右边，所以.反思利用诱导公式证明等式，关键在于公式的灵活运用，就本题而言，主要就是运用诱导公式由左边推导到右边，并先对已知条件进行化简1cossin的值为()a b c d解析：cossincossincossincossin.答案：c2在abc中，下列等式一定成立的是()asincosbsin(2a2b)cos 2ccsin(ab)sin cdsin(ab)sin c解析：在abc中，abc，所以sin(ab)sin(c)sin csinsincos.sin(2a2b)sin(22c)sin 2c答案：d3已知cos()，且是第四象限的角，则sin(2)的值是()a bc d解析：cos()cos ，cos .又是第四象限的角，sin ，sin(2)sin .答案：c4下列三角函数：sin；cos；sin；cos；sin(nz)其中函数值与sin的值相同的是()a bc d解析：对于sin，当n为偶数时，sinsinsin.对于coscoscossin.故与中的函数值不等于sin.可以验证中的函数值均与sin的值相同答案：c5已知f(cos x)cos 3x，则f(sin 150)_.解析：sin 150sin(6090)cos 60，f(sin 150)f(cos 60)cos 1801.答案：16已知tan()2，求sin(3)和sin的值解：tan()2，tan 2.2，sin 2cos