（浙江专版）2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线的位置关系学案 新人教A版选修2-1.doc

2.5直线与圆锥曲线的位置关系学习目标1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系.2.能用判别式法研究直线与圆锥曲线的位置关系.3.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的简单问题的基本解法.4.掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法1直线与圆锥曲线的位置关系(1)相离直线与圆锥曲线无公共点(2)相切直线与圆锥曲线有一个公共点(3)相交2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线c交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则|ab|x1x2|y1y2|.3直线与圆锥曲线位置关系的判定直线与圆锥曲线的方程联立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，02相交a0，01相切a0，0，即m2，设中点m(x，y)，交点a(x1，y1)，b(x2，y2)，所以消去m，得x24y24y0.2典例中若直线与椭圆相交于a，b两点，求弦ab的长解由得(4m21)x28mx30，64m212(4m21)16m2120，即m或m0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆c有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆c有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆c有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆c没有公共点类型二弦长问题例2(2017宁波检测)设椭圆m：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆m的方程；(2)若直线yxm交椭圆m于a，b两点，p(1，)为椭圆m上一点，求pab面积的最大值解(1)由题意可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e.由得a2，c，b，故椭圆m的方程为1.(2)联立方程消去y，得4x22mxm240，由8m216(m24)0，得2mb0)，直线l1：1被椭圆c截得的弦长为2，过椭圆c的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆c截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆c的方程解由l1被椭圆c截得的弦长为2，得a2b28.设l2：y(xc)，代入椭圆c的方程并化简，得(b23a2)x26a2cxa2(3c2b2)0.设直线l2与椭圆c交于点m(x1，y1)，n(x2，y2)由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，从而|x1x2|，则由弦长公式，得|mn|.化简，得a23b2.联立a2b28，a23b2，得a26，b22，故椭圆c的方程为1.类型三圆锥曲线中的综合问题例3已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，a(a,0)，b(0，b)，o(0,0)，oab的面积为1.(1)求椭圆c的方程；(2)设p是椭圆c上一点，直线pa与y轴交于点m，直线pb与x轴交于点n.求证：|an|bm|为定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆c的方程为y21.(2)证明由(1)知，a(2,0)，b(0,1)设椭圆上一点p(x0，y0)，则y1.当x00时，直线pa的方程为y(x2)，令x0得ym.从而|bm|1ym|.直线pb的方程为yx1.令y0得xn.|an|2xn|.|an|bm|4.当x00时，y01，|bm|2，|an|2，|an|bm|4.故|an|bm|为定值反思与感悟定值问题类型及常见解法(1)直线过定点型，一般通过运算使直线方程中只含一个参数来求定点(2)参数和为定值型，往往把参数用交点坐标表示，根据根与系数的关系代入化简为某一常数跟踪训练3椭圆c：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆c的方程；(2)如图，a，b，d是椭圆c的顶点，p是椭圆c上除顶点外的任意一点，直线dp交x轴于点n，直线ad交bp于点m，设bp的斜率为k，mn的斜率为m，证明2mk为定值(1)解因为e，故1，所以a2b.再由ab3，得a2，b1，故椭圆c的方程为y21.(2)证明因为b(2,0)，p不为椭圆顶点，则可设bp的方程为yk(x2).将代入y21，解得p.又直线ad的方程为yx1，与联立解得m.由d(0,1)，p，n(x,0)三点共线可解得n.所以mn的斜率为m，则2mkk(定值)例4(2017杭州检测)已知点a(0，2)，椭圆e：1(ab0)的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点(1)求椭圆e的方程；(2)设过点a的动直线l与e相交于p，q两点当opq的面积最大时，求直线l的方程解(1)设f(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故椭圆e的方程为y21.(2)当直线lx轴时不合题意，故设直线l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)将ykx2代入y21得，(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|pq|x1x2|.又点o到直线pq的距离d，所以opq的面积sopqd|pq|.设t，则t0，sopq.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以当opq的面积最大时，直线l的方程为yx2.反思与感悟最值问题的两种常见求法(1)数形结合法：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时0等)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围(2)目标函数法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域，最后确定最值跟踪训练4已知椭圆1，动直线l与椭圆交于b，c两点若点b的坐标为，求obc面积的最大值解直线ob的方程为yx，即3x2y0，设经过点c且平行于直线ob的直线l的方程为yxb，则当l与椭圆只有一个公共点时，obc的面积最大联立化为3x23bxb230，由9b212(b23)0，解得b2.当b2时，c；当b2时，c.所以obc面积的最大值为.1平面上到定点a(1,0)和到定直线l：x2y30的距离相等的点的轨迹为()a直线b抛物线c双曲线d椭圆答案b2一条直线与双曲线的两支交点个数最多为()a1b2c3d4答案b3抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案b4若直线axy10与抛物线y24x有两交点，则实数a的取值范围是_答案(，0)(0,1)5已知椭圆1(ab0)，f(，0)为其右焦点，过f且垂直于x轴的直线交椭圆于a，b两点，|ab|2，则该椭圆的方程为_，离心率为_答案11解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切2在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件一、选择题1(2017金华检测)直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()a1b1或3c0d1或0答案d2(2017台州检测)已知双曲线1(a0，b0)与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()a(1，) b(1，c(，) d，)答案c3过抛物线y28x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，交抛物线的准线于c，若|af|6，则的值为()a.b.c.d3答案d4已知双曲线1 (b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a，b，c，d四点，四边形abcd的面积为2b，则双曲线的方程为()a.1b.1c.1d.1答案d5已知双曲线方程为1，过点(2，0)作直线l与双曲线交于两点a，b，记满足|ab|m的直线l的条数为f(m)，则f(m)的可能取值为()a0,2,4b1,2,3,4c0,1,2,3,4d2,4答案a6(2017金华检测)过抛物线x24y的焦点f作直线ab，cd与抛物线交于a，b，c，d四点，且abcd，则的最大值等于()a4b16c4d8答案b二、填空题7若斜率为的直线l与椭圆1(ab0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_答案8抛物线焦点在y轴上，截得直线yx1的弦长为5，则抛物线的标准方程为_，准线方程为_答案x24y或x220yy1或y59设直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点m，且m为线段ab的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围为_答案(2,4)解析如图，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条当k存在时，x1x2，则有2，又y1y22y0，所以y0k2.由cmab，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即m必在直线x3上将x3代入y24x，得y212，则有2y02.因为点m在圆上，所以(x05)2yr2，故r2y44(为保证有4条，在k存在时，y00)，所以4r216，即2rb0)，其中e，焦距为2，过点m(4,0)的直线l与椭圆c交于点a，b，点b在am之间，又点a，b的中点横坐标为，且.(1)求椭圆c的标准方程；(2)求实数的值解(1)由条件可知，c1，a2，故b2a2c23，椭圆的标准方程是1.(2)由，可知a，b，m三点共线，设点a(x1，y1)，点b(x2，y2)，显然ab所在直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)由消去y，得(34k2)x232k2x64k2120，由的判别式322k44(4k23)(64k212)144(14k2)0，解得k2b0)的左、右顶点分别为a，b，其离心率e，点m为椭圆上的一个动点，mab面积的最大值是2.(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆c右顶点b的直线l与椭圆的另一个交点为d，线段bd的垂直平分线与y轴交于点p，当0时，求点p的坐标解(1)由题意可知解得a2，b，所以椭圆方程是1.(2)由(1)知b(2,0)，设直线bd的方程为yk(x2)，d(x1，y1)，把yk(x2)代入椭圆方程1.整理得(34k2)x216k2x16k2120，所以2x1，即x1，则d，所以bd中点的坐标为，则直线bd的垂直平分线方程为y，得p，又0，即0，化简得0，即16k47k290，解得k.故p或.13(2017绍兴检测)如图，已知抛物线c1：yx2，圆c2：x2(y1)21，过点p(t,0)(t0)作不过原点o的直线pa，pb分别与抛物线c1和圆c2相切，a，b为切点(1)求点a，b的坐标；(2)求pab的面积解(1)由题意可知，直线pa的斜率存在，故可设直线pa的方程为yk(xt)，由消去y整理得x24kx4kt0.因为直线pa与抛物线相切，所以16k216kt0，解得kt.所以x2t，即点a(2t，t2)圆c2的圆心为d(0,1)，设点b的坐标为(x0，y0)，由题意知，点b，o关于直线pd对称，故有解得x0，y0.即点b.(2)由(1)知，|ap|t，直线ap的方程为txyt20，所以点b到直线pa的距离为d.所以pab的面积为s|ap|d.四、探究与拓展14已知双曲线x21，过点p(2,1)作一条直线交双曲线于a，b两点，并使p为ab的中点，则直线ab的斜率为_，方程为_答案66xy11015(2017杭州检测)已知椭圆1(ab0)的离心率为，且经过点p，过它的两个焦点f1，f2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于a，b两点，l2交椭圆于c，d两点，且l1l2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形acbd的面积s的取值范围解(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，将点p的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方