2013年高考数学圆锥曲线典型问题.pdf

圆锥曲线典型问题圆锥曲线典型问题 问题问题 1 1 1 1 求圆锥曲线的标准方程 离心率 准线方程等 求圆锥曲线的标准方程 离心率 准线方程等 利用待定系数法求出相应的a b p等 例 1 设椭圆的中心在原点 坐标轴为对称轴 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直 且此焦 点与长轴上较近的端点距离为24 4 求此椭圆方程 离心率 准线方程及准线间的距离 思路分析思路分析 设所求椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x 或 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 根据题意列出关于a b c 方程组 从而求出a b c的值 再求离心率 准线方程及准线间的距离 解 设椭圆的方程为1 2 2 2 2 b y a x 或 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 则 222 12 4 cba ca cb 解之得 24 a b c 4 则所求的椭圆的方程为1 1632 22 yx 或1 3216 22 yx 离心率 2 2 e 准线方 程88 yx或 两准线的距离为 16 点评 充分认识椭圆中参数a b c e 的意义及相互关系 在求标准方程时 已知条件常与这些参 数有关 演变 1 如图 已知 P1OP2的面积为 4 27 P为线段P1P2的一个三等分点 求以直线OP1 OP2为渐近线且过点P的离心率为 2 13 的双曲线方程 点拨与提示点拨与提示 h t t p h t t p h t t p h t t p w w w w w w w w w w w w x j k t y g x j k t y g x j k t y g x j k t y g c o mc o mc o mc o m w x c w x c w x c w x c 本题考查待定系数法求双曲线的方程 利用点P在 曲 线 上和 P1OP2的面积建立关于参数a b的两个方程 从而求出a b的值 问题问题 2 2 2 2 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质 由方程来讨论其性质 例 2 设F1 F2为椭圆1 49 22 yx 的两个焦点 P为上一点 已知P F1 F2是一个直角三角形的三个顶点 且 PF1 PF2 求 2 1 PF PF 的值 思路分析思路分析 由已知 F1不是直角顶点 所以只要对P F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可 解法 1 由已知 PF1 PF2 PF1 PF2 6 F1F2 52 若 PF2F1为直角 则 PF1 2 PF 2 2 F 1F2 2 可解得 PF 1 3 14 PF2 3 4 这时 2 7 2 1 PF PF 若 F2PF1为直角 则 PF1 2 PF 2 2 F 1F2 2 可解得 PF 1 4 PF2 2 这时 2 2 1 PF PF 解法 2 由椭圆的对称性 不妨设P x y 其中x 0 y 0 0 5 0 5 21 FF 若 PF2F1 为直角 则P 3 4 5 这时 PF1 3 14 PF2 3 4 这时 2 7 2 1 PF PF 若 PF2F1为直 角 则由 1 55 1 49 22 x y x y yx 解得 5 54 5 53 P 于是 PF1 4 PF2 2 这时2 2 1 PF PF 点评 由椭圆的方程 熟练准确地写出其几何性质 如顶点 焦点 长 短轴长 焦距 离心 率 焦半径等 是应对考试必备的基本功 在解法 2 中设出了P点坐标的前提下 还可利用 PF1 a ex PF2 a ex来求解 演变演变 2 2 已知双曲线的方程为1 4 2 2 y x 直线l通过其右焦点F2 且与双曲线的右支交于A B两点 将A B与双曲线的左焦点F1连结起来 求 F1A F1B 的最小值 点拨与提示 由双曲线的定义得 AF1 2 5 x1 5 4 2 5 x1 2 BF1 2 5 x2 2 F1A F1B 2 5 x1 2 2 5 x2 2 4 5 x1x2 5 x1 x2 4 将直线方程和双曲线的方程联立消元 得x1 x2 14 58 2 2 k k x1x2 14 420 2 2 k k 本题要注意斜率不存在的情况 P P 1 P 2 问题问题 3 3 3 3 有圆锥曲线的定义的问题 有圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一 第二定义求解 例 3 已知某椭圆的焦点F1 4 0 F2 4 0 过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦 点为 B 且 10 椭圆上不同两点 A x1 y1 C x2 y2 满足条件 F2A F2B F2C 成等差数 列 1 求该椭圆的方程 2 求弦 AC 中点的横坐标 思路分析 因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离 所以可以从椭圆的定义入手 解 1 由椭圆的定义及已知条件知 2a F1B F2B 10 所以a 5 又c 3 故b 4 故椭圆的方程为1 925 22 yx 由点 B 4 y0 在椭圆上 得 F2B y0 5 9 因为椭圆的右准线方程为 4 25 x 离心率 5 4 e 所以根据椭圆的第二定义 有 5 4 5 4 25 5 4 112 xxAF 222 5 4 5 4 25 5 4 xxCF 因 为 F2A F2B F2C 成等 差数 列 1 5 4 5x 5 9 2 5 4 5 2 x 所以 x1 x2 8 从而弦 AC 的中点的横坐标为4 2 21 xx 点评 涉及椭圆 双曲线上的点到两个焦点的距离问题 常常要注意运用第一定义 而涉及曲 线上的点到某一焦点的距离 常常用圆锥曲线的统一定义 对于后者 需要注意的是右焦点与右准 线对应 不能弄错 演变 3 已知椭圆 C 的中心在原点 左焦点为F1 其右焦点F2和右准线分别是抛物线 369 2 xy的顶点和准线 求椭圆 C 的方程 若点P为椭圆上 C 的点 PF1F2的内切圆的半径为 7 5 求点P到x轴的距离 若点P为椭圆 C 上的一个动点 当 F1PF2为钝角时求点P的取值范围 点拨与提示点拨与提示 本题主要复习圆锥曲线的基本知识 待定系数法和定义法等通性通法的运用 根 据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程 从而得到椭圆的标准方程 解题时注意椭圆的定义的运用 问题问题 4 4 4 4 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程 利用判别式 韦达定理来 求解或证明 例 4 抛物线 C 的方程为 0 2 aaxy 过抛物线 C 上一点P x0 y0 x0 0 作斜率为 k1 k2的两 条 直 线 分 别 交 抛 物 线 C 于 A x1 y1 B x2 y2 两 点 P A B 三 点 互 不 相 同 且 满 足 10 0 12 且kk 求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程 设直线 AB 上一点 M 满足MABM 证明线段PM的中点在y轴上 当 1 时 若点P的坐标为 1 1 求 PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 1 y的取值范围 思路分析 将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程 用韦达定理来求解 解 由抛物线C的方程 2 axy 0 a 得 焦点坐标为 4 1 0 a 准线方程为 a y 4 1 证明 设直线PA的方程为 010 xxkyy 直线PB的方程为 020 xxkyy 点 00 yxP和点 11 yxA的坐标是方程组 010 2 yyk xx yax 的解 将 式代入 式 得0 0011 2 yxkxkax 于是 a k xx 1 01 故 0 1 1 x a k x 又点 00 yxP和点 22 yxB的坐标是方程组 020 2 yykxx yax 的解 将 式代入 式得0 0022 2 yxkxkax 于是 2 20 k xx a 故 2 20 k xx a 由已知得 12 kk 则 012 xk a x 设点M的坐标为 MM yx 由MABM 则 1 12 xx xM 将 式和 式代入上式得 0 00 1 x xx xM 即0 0 xxM 线段PM的中点在y轴上 因为点 1 1 P在抛物线 2 axy 上 所以1 a 抛物线方程为 2 xy 由 式知1 11 kx 代入 2 xy 得 2 11 1 ky 将1 代入 式得 21 1xk 代入 2 xy 得 2 22 1 ky 因此 直线PA PB分别与抛物线C的交点A B的坐标为 2 111 1 21 Akkk 2 111 1 21 B kkk 于是 2 111 2 2 APkkk 11 2 4 ABkk 2 11111111 2 2 4 2 2 2 21 AP ABk kk kkk kk 因PAB 为钝角且P A B三点互不相同 故必有0AP AB 求得 1 k的取值范围是 1 2k 或 1 1 0 2 k 又点A的纵坐标 1 y满足 2 11 1 yk 故当 1 2k 时 1 1y 当 1 1 0 2 k 时 1 1 1 4 y OBOA 其中O 为原点 求k的取值范围 问题问题 5 5 5 5 轨迹问题 轨迹问题 根据已知条件求出轨迹方程 再由方程说明轨迹的位置 形状 大小等特征 例 5 05 年江西 如图 M 是抛物线上y2 x上的一点 动弦 ME MF分别交x轴于 A B 两点 且 MA MB 1 若 M 为定点 证明 直线EF的斜率为定值 2 若 M 为动点 且 EMF 90 求 EMF的重心 G 的轨迹 思路分析思路分析 1 由直线 MF 或 ME 方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点 E 的坐标 利用斜率公式来证明 2 用 M 点的坐标将 E F点的坐标表示出来 进而表示出 G 点坐标 消去 y0 即得到 G 的轨迹方程 参数法 解 1 设 M y 2 0 y0 直线 ME 的斜率为 k l 0 则直线 MF的斜率为 k 方程为 2 00 yyk xy 由 2 00 2 yyk xy yx 消 2 00 1 0 xkyyyky 得 解得 2 00 2 1 1 FF kyky yx kk 00 22 0 000 2 22 112 1 4 1 1 2 EF EF EF kyky yy kkk k ky kykyxxy k kk 定值 所以直线EF的斜率为定值 2 90 45 1 EMFMABk 当时所以 直线 ME 的方程为 2 00 yyk xy 由 2 00 2 yyxy yx 得 2 00 1 1 Eyy 同理可得 2 00 1 1 Fyy 设重心 G x y 则有 2222 0000 0000 1 1 23 333 1 1 333 MEF MEF yyyyxxx x yyyyxxx x 消去参数 0 y得 2 122 9273 yxx 点评 这是一道重要的数学问题 几乎是高考数学每年的必考内容之一 此类问题一定要 大胆 假设 细心求解 根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来 然后根据题目把所有的条 件都变成等式 一定可以求出来 当然求的过程中 采取适当的小技巧 例如化简或适当分类讨论 可 以大为简化过程 而且会尽量多多得分 同时这一类题目也需要很强的计算能力 演变 5 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别是F1 c 0 F2 c 0 Q 是椭圆外的动点 满足 2 1 aQF 点P是线段F1Q与该椭圆的交点 点 T 在线段F2Q 上 并且满足 0 0 22 TFTFPT 设x为点P的横坐标 证明x a c aPF 1 求点 T 的轨迹 C 的方程 试问 在点 T 的轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2的面积 S 2 b若存在 求 F1MF2 x y OA B E F M y O x 1 l F2F1A2 A1 P M l 的正切值 若不存在 请说明理由 点拨与提示 点拨与提示 本题在求点 T 的轨迹用的是代入法 即用 T 点的坐标将 Q 点的坐标表示出来 再代入 Q 所满足的曲线方程即可 问题问题 6 6 6 6 与圆锥曲线有关的定值 最值问题 与圆锥曲线有关的定值 最值问题 建立目标函数 转化为函数的定值 最值问题 例 6 点A B 分别是椭圆1 2036 22 yx 长轴的左 右端点 点F是椭圆的右焦点 点P在椭 圆上 且位于x轴上方 PFPA 1 求点P的坐标 2 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点 M 到直线AP的距 离等于 MB 求椭圆上的点到点 M 的距离d的最小值 思路分析 设椭圆上动点坐标为 x y 用该点的横坐标将 距离 d 表示出来 利用求函数最值的方法求 d 的最小值 解 1 由已知可得点 A 6 0 F 0 4 设点P x y 则AP x 6 y FP x 4 y 由已知可得 22 2 1 3620 6 4 0 xy xxy 则 2 2 x 9x 18 0 x 2 3 或x 6 由于y 0 只能x 2 3 于是y 2 35 点P的坐标是 2 3 2 35 2 直线AP的方程是x 3y 6 0 设点 M m 0 则 M 到直线AP的距离是 2 6 m 于 是 2 6 m 6 m 又 6 m 6 解得m 2 椭圆上的点 x y 到点 M 的距离d有 222222 549 2 4420 15 992 dxyxxxx 由于 6 m 6 当x 2 9 时 d 取得最小值15 点评 解决有关最值问题时 首先要恰当地引入变量 如点的坐标 角 斜率等 建立目标 函数 然后利用函数的有关知识和方法求解 演变演变 6 6 6 6 05050505年浙江年浙江 如图 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点F1 F2在x轴上 长轴A1A2的长为 4 左准线l与x轴 的交点为M MA1 A1F1 2 1 求椭圆的方程 若直线l1 x m m 1 P为l1上的动点 使 F1PF2最大的点P记为Q 求点Q的坐标 用 m表示 点拨与提示 1 待定系数法 2 利用夹角公式将 F1PF2的正切值用y0表示出来 利用基 本不等式求其最值 演变演变 7 7 7 7 05050505 年全国 年全国 已知椭圆的中心为坐标原点 O 焦点在x轴上 斜率为 1 且过椭圆右焦 点F的直线交椭圆于 A B 两点 OAOB 与 3 1 a 共线 1 求椭圆的离心率 2 设 M 为椭圆上任意一点 且 OMOAOBR 证明 22 为定值 点拨与提示点拨与提示 1 将 AB 的方程与椭圆方程联立成方程组 然后求解 2 将 M 点的坐标用A B 的坐标表示出来 代入到椭圆方程 结合韦达定理求解 问题问题 7 7 7 7 与圆锥曲线有关的对称问题 与圆锥曲线有关的对称问题 利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明 例例 7 7 7 7 过点 1 0 的直线l与中心在原点 焦点在x轴上且离心率为 2 2 的椭圆C相交于A B 两点 直线y 2 1 x过线段AB的中点 同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称 试求直线 l与椭圆C的方程 思路分析 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题 解法一 将A B两点坐标代入圆锥曲线 方程 两式相减得关于直线AB斜率的等式 再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解 解法二 用韦达定理 解法一由e 2 2 a c 得 2 1 2 22 a ba 从而a2 2b2 c b 设椭圆方程为x2 2y2 2b2 A x1 y1 B x2 y2 在椭圆上 则x12 2y12 2b2 x22 2y22 2b2 两式相减得 x12 x22 2 y12 y22 0 2 21 21 21 21 yy xx xx yy 设AB中点为 x0 y0 则kAB 0 0 2y x 又 x0 y0 在直线y 2 1 x上 y0 2 1 x0 于是 0 0 2y x 1 kAB 1 设l的方程为y x 1 右焦点 b 0 关于l的对称点设为 x y by x bxy bx y 1 1 1 22 1 解得则 由点 1 1 b 在椭圆上 得 1 2 1 b 2 2b2 b2 8 9 16 9 2 a 所求椭圆C的方程为 2 2 9 16 9 8 y x 1 l的方程为y x 1 解法二由e 2 1 2 2 2 22 a ba a c 得 从而a2 2b2 c b 设椭圆C的方程为x2 2y2 2b2 l的方程为y k x 1 将l的方程代入C的方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2b2 0 则x1 x2 2 2 21 4 k k y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k 2 21 2 k k 直线l h t t p h t t p h t t p h t t p w w w w w w w w w w w w x j k t y g x j k t y g x j k t y g x j k t y g c o mc o mc o mc o m w x c w x c w x c w x c y 2 1 x过AB的中点 2 2 2121 yyxx 则 2 2 2 21 2 2 1 21k k k k 解得k 0 或k 1 若k 0 则l的方程为y 0 焦点F c 0 关于直线l的对称点就是F点本身 不能在椭圆C上 所 以k 0 舍去 从而k 1 直线l的方程为y x 1 即y x 1 以下同解法一 点评 点评 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法 设计新颖 基础性强 待定 系数法求曲线方程 如何处理直线与圆锥曲线问题 对称问题 成为解决本题的关键 注意在设直 线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论 演变 8 05 年湖南 已知椭圆 C 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 的左 右焦点为F1 F2 离心率 为 e 直线l y ex a与x轴 y轴分别交于点 A B M 是直线l与椭圆 C 的一个公共点 P是 点F1关于直线l的对称点 设AM AB 证明 1 e2 确定 的值 使得 PF1F2是等腰三角形 点拨与提示 1 由A B 的坐标求出 M 点的坐标 x0 y0 代入椭圆的方程即可 2 利用 等腰三角形的性质 PF1 F1F2 来求 的值 专题小结 1 求曲线方程常利用待定系数法 求出相应的a b p等 要充分认识椭圆中参数a b c e的意 义及相互关系 在求标准方程时 已知条件常与这些参数有关 2 涉及椭圆 双曲线上的点到两个焦点的距离问题 常常要注意运用第一定义 而涉及曲线 上的点到某一焦点的距离 常常用圆锥曲线的统一定义 对于后者 需要注意的是右焦点与右准线 对应 不能弄错 3 直线与圆锥曲线的位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一 元二次方程 利用判别式 韦达定理来求解或证明 4 对于轨迹问题 要根据已知条件求出轨迹方程 再由方程说明轨迹的位置 形状 大小等 特征 求轨迹的常用方法有直接法 定义法 参数法 代入法 交轨法等 5 与圆锥曲线有关的对称问题 利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明 临阵磨枪 临阵磨枪 一 选择题 1 椭圆的焦距是它的两条准线间距离的 3 1 则它的离心率为 A 2 3 B 3 3 C 3 6 D 6 6 2 动点 M x y 到点F 4 0 的距离 比到直线x 5 0 的距离不 1 则点 M 的轨迹方程为 A x 4 0B x 4 0C y2 8xD y2 16x 3 设定点 M 3 3 10 与抛物线y2 2x上的点P的距离为 d1 P到抛物线准线l的距离为 d2 则 d1 d2取最小值时 P点的坐标为 A 0 0 B 1 2 C 2 2 D 2 1 8 1 4 抛物线的顶点在原点 焦点在y轴上 抛物线上一点P m 3 到焦点的距离为 5 则抛 物线的准线方程是 A y 4B y 4C y 2D y 2 5 设F c 0 为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点 椭圆上的点与点F的距离的最大值 为 M 最小值为 m 则椭圆上与F点的距离是 2 1 mM 的点是 A a b c B 0 b C a b c D 以上都不对 6中心在原点 焦点在坐标为 0 52 的椭圆被直线 3x y 2 0 截得的弦的中点的横坐 标为 2 1 则椭圆方程为 1 2575 D 1 7525 C 1 25 2 75 2 B 1 75 2 25 2 A 22222222 yxyxyxyx 7斜率为 1 的直线l与椭圆 4 2 x y2 1 相交于A B两点 则 AB 的最大值为 A2B 5 54 C 5 104 D 5 108 8抛物线y ax2与直线y kx b k 0 交于A B两点 且此两点的横坐标分别为x1 x2 直线与x 轴交点的横坐标是x3 则恒有 Ax3 x1 x2Bx1x2 x1x3 x2x3Cx1 x2 x3 0 Dx1x2 x2x3 x3x1 0 9已知A B C三点在曲线y x上 其横坐标依次为 1 m 4 1 m 4 当 ABC的面积 最大时 m等于 A3B 4 9 C 2 5 D 2 3 10设u v R R R R 且 u 2 v 0 则 u v 2 v u 9 2 2 2的最小值为 A4B2C8D22 11直线l的方程为y x 3 在l上任取一点P 若过点P且以双曲线 12x2 4y2 3 的焦点作椭 圆的焦点 那么具有最短长轴的椭圆方程为 12在抛物线y2 16x内 通过点 2 1 且在此点被平分的弦所在直线的方程是 13A是椭圆长轴的一个端点 O是椭圆的中心 若椭圆上存在一点P 使 OPA 2 则椭圆 离心率的范围是 14已知抛物线y x2 1 上一定点B 1 0 和两个动点P Q 当P在抛物线上运动时 BP PQ 则Q点的横坐标的取值范围是 15已知抛物线y2 2px p 0 过动点M a 0 且斜率为 1 的直线l与该抛 物线交于不同的两点A B 且 AB 2p 1 求a的取值范围 2 若线段AB的垂直平分线交x轴于点N 求 NAB面积的最大值 16已知直线y kx 1 与双曲线x2 y2 1 的左支交于A B两点 若另 一条直线l经过点P 2 0 及线段AB的中点Q 求直线l在y轴上 的 截 距b的取值范围 17如图 弧ADB为半圆 AB为半圆直径 O为半圆圆心 且OD AB Q为线段OD的中点 已知 AB 4 曲线C过Q点 动点 P在曲线C上运动且保持 PA PB 的值不变 1 建立适当的平面直角坐标系 求曲线C的方程 2 过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M N 且M在 D N之间 设 DN DM 求 的取值范围 18已知圆C1的方程为 x 2 2 y 1 2 3 20 椭圆C2的方程为 2 2 2 2 b y a x 1 a b 0 C2的离心 率为 2 2 如果C1与C2相交于A B两点 且线段AB恰为圆C1的直径 求直线AB的方程和椭 圆C2的方程 19 P Q M N四点都在椭圆 2 2 1 2 y x 上 F为椭圆在y轴正半轴上的焦点 已知PF 与FQ 共线 MF 与FN 共线 且0PF MF 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值 参考答案参考答案 1 B提示 依题意有 c a c 2 2 3 1 2 3 3 a c 2 D提示 依题意 M 到点F的距离与到直线x 4 的距离相等地 则 M 的轨迹方程为y2 16x 3 C提示 连接PF 则 d1 d2 PM PF MF 知 d1 d2的最小值为 MF 当且仅当 M P F三点共线时 等号成立 而直线 MF的方程为 2 1 3 4 xy 与y2 2x联立可 得x 2 y 2 4 C提示 依题意准线方程为y 2 p 且 2 p 3 5 2 p 2 故选 C 5 B提示 M a c m a c 2 1 mM a 应选 B 6 C提示由题意 可设椭圆方程为 2 2 2 2 b x a y 1 且a2 50 b2 即方程为 2 2 2 2 50b x b y 1将 直线 3x y 2 0 代入 整理成关于x的二次方程由x1 x2 1 可求得b2 25 a2 75 7C提示弦长 AB 5 54 2 2 t 5 104 答案 C 8D提示解方程组 bkxy axy 2 得ax2 kx b 0 可知x1 x2 a k x1x2 a b x3 k b 代入验证即 可 答案B 9B提示由题意知A 1 1 B m m C 4 2 直线AC所在方程为x 3y 2 0 B N A O Q D B A 点B到该直线的距离为d 10 23 mm 4 1 2 3 2 1 23 2 1 10 23 10 2 1 2 1 2 mmm mm dABS ABC m 1 4 当 2 3 m时 S ABC有最大值 此时m 4 9 答案B 10C提示考虑式子的几何意义 转化为求圆x2 y2 2 上的点与双曲线xy 9 上的点的距离的最 小值选 C 11 45 22 yx 1提示 h t t p h t t p h t t p h t t p w w w w w w w w w w w w x j k t y g x j k t y g x j k t y g x j k t y g c o mc o mc o mc o m w x c w x c w x c w x c 所求椭圆的焦点为F1 1 0 F2 1 0 2a PF1 PF2 欲使 2a最小 只需在直线l上找一点P使 PF1 PF2 最小 利用对称性可解 12 8x y 15 0提示设所求直线与y2 16x相交于点A B 且A x1 y1 B x2 y2 代入抛物线 方程得y12 16x1 y22 16x2 两式相减得 y1 y2 y1 y2 16 x1 x2 即 2121 21 16 yyxx yy kAB 8故所求直线方程为y 8x 15 13 2 2 e 1提示设椭圆方程为 2 2 2 2 b y a x 1 a b 0 以OA为直径的圆 x2 ax y2 0 两式联立消y得 2 22 a ba x2 ax b2 0 即e2x2 ax b2 0 该方程有一解x2 一解为a 由韦达 定理x2 2 e a a 0 x2 a 即 0 2 e a a a 2 2 e 1 14 3 1 提示设P t t2 1 Q s s2 1 BP PQ ts ts t t 1 1 1 1 222 1 即t2 s 1 t s 1 0 t R R R R 必须有 s 1 2 4 s 1 0即s2 2s 3 0 解得s 3 或s 1 15解 1 设直线l的方程为y x a 代入抛物线方程得 x a 2 2px 即x2 2 a p x a2 0 AB 22 4 42apa 2p 4ap 2p2 p2 即 4ap p2 又 p 0 a 4 p 2 设A x1 y1 B x2 y2 AB的中点C x y 由 1 知 y1 x1 a y2 x2 a x1 x2 2a 2p 则有x 2 2 2 2 212121 axxyy ypa xx p 线段AB的垂直平分线的方程为y p x a p 从而N点坐标为 a 2p 0 点N到AB的距离为p apa 2 2 2 从而S NAB 222 2224 42 2 1 papppapa 当a有最大值 4 p 时 S有最大值为2p2 16解设A x1 y1 B x2 y2 由 1 1 22 yx kxy 得 1 k2 x2 2kx 2 0 又 直线AB与双曲线左支交于A B两点 故有 0 1 2 0 1 2 0 1 8 2 01 2 21 2 21 22 2 k xx k k xx kk k 解得 2 k 1 222 22 1 22 1 2 22 2 0 2 22 1 22 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 0 0 2 00 2 21 000 bbkk k kk bx x kk yl kk k k k x y l k kxy k kxx xyxQ 或即 又则令 的方程为 的斜率为 则设 17解 1 以AB OD所在直线分别为x轴 y轴 O为原点 建立平面直角坐标系 PA PB QA QB 25212 22 AB 4 曲线C为以原点为中心 A B为焦点的椭圆 设其长半轴为a 短半轴为b 半焦距为c 则 2a 25 a 5 c 2 b 1 曲线C的方程为 5 2 x y2 1 2 设直线l的方程为y kx 2 代入 5 2 x y2 1 得 1 5k2 x2 20kx 15 0 y Q P N M F Ox 20k 2 4 15 1 5k2 0 得k2 5 3 由图可知 2 1 x x DN DM 由韦达定理得 2 21 2 21 51 15 51 20 k xx k k xx 将x1 x2代入得 2 2 2 22 2 2 2 2 51 15 51 400 1 k x k k x 两 式 相 除 得 1 5 3 80 51 15 400 1 2 2 22 k k k 3 16 5 1 3 80 4 3 20 5 1 5 3 51 0 5 3 2 22 2 k kk k即 3 3 1 0 3 16 1 4 2 解得 DN DM 2 1 DN DM x x M在D N中间 1 又 当k不存在时 显然 3 1 DN DM 此时直线l与y轴重合 18解由e 2 2 可设椭圆方程为 2 2 2 2 2b y b x 1 又设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 4 y1 y2 2 又 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2b y b x b y b x 1 两式相减 得 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2b yy b xx 0 即 x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 y1 y2 0化简得 21 21 xx yy 1 故 直线AB的方程为y x 3 代入椭圆方程得 3x2 12x 18 2b2 0有 24b2 72 0 又 AB 3 20 4 2 21 2 21 xxxx 得 3 20 9 7224 2 2 b 解得b2 8 故所求椭圆方程为 816 22 yx 1 19 解 如图 由条件知 MN 和PQ 是椭圆的两条弦 相交于焦点F 0 1 且PQ MN 直线PQ NM 中至少有一条存在斜率 不妨设PQ 的斜率为 K 又PQ 过点F 0 1 故PQ 的方程为y kx 1 将此式代入椭圆方程得 2 2 k 2 x 2kx 1 0 设P Q 两点的坐标分别为 1 x 1 y 2 x 2 y 则 22 12 22 2222 22 kkkk xx kk 从而 22 222 1212 22 8 1 2 k PQxxyy k 亦即 2 2 2 2 1 2 k PQ k 1 当k 0 时 MN 的 斜 率 为 1 k 同 上 可 推 得 2 2 1 2 2 1 1 1 2 k MN k 故四边形面积 22 22 22 22 11 4 1 1 4 2 1 12 2 2 2 52 kk kk SPQMN kk kk 令u 2 2 1 k k 得 4 2 1 2 1 5252 u S uu u 2 2 1 k k 2 当k 1 时u 2 S 16 9 且 S 是以u为自变量的增函数 162 9 S 1 当2 2 1 a 即 1 a 2 时 f t 在 1 2 上有唯一的极值点 a t 2 这时atf4 min 当1 2 2 时 0 4 2 2 t atf这说明 f t 在 1 2 上是增函数 所以 2 min 4 1 atf 因此 4 81 2 当直线 AB 垂直于x轴时 容易算出 AF2 BF2 2 1 AF1 BF1 2a 2 1 2 9 双曲线的第一定义 F1A F1B 4 81 由 1 2 得 当直线 AB 垂直于x轴时 F1A F1B 取最大值 4 81 演变演变 3 3 抛物线的顶点为 4 0 准线方程为 4 25 4 4 9 x 设椭圆的方程为 01 2 2 2 2 ba b y a x 则有c 4 又 4 25 2 c a 9 25 22 ba 椭圆的方程为1 925 22 yx 设椭圆内切圆的圆心为 Q 则 5 7 5 2 1 2121 212121 FFPFPFSSSS FQFQPFQPFPFF 设点P到x轴的距离为 h 则54 2 1 h 2 5 4 10 h 设点P的坐标为 x0 y0 由椭圆的第二定义得 002001 5 4 5 5 4 5xexaPFxexaPF 由 F1PF2为钝角知 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 4 75 4 75 0 ba 由已知得 1 2 2 3 2222 bbaca得再由 故双曲线 C 的方程为 1 3 2 2 y x 将得代入1 3 2 2 2 y x kxy 0 926 31 22 kxxk 由直线l与双曲线交于不同的两点得 2 222 1 30 6 2 36 1 3 36 1 0 k kkk 即 1 3 1 22 由得 而 2 2 2 1 2 2 ABABABABABAB x xy yx xkxkxkx xk xx 2 2 222 96 237 1 22 1 31 331 kk kk kkk 于是 22 22 3739 2 0 3131 kk kk 即解此不等式得 3 3 1 2 k 由 得 1 3 1 2 acx a c aax知 所以 1 x a c aPF 证法二 设点P的坐标为 yx记 2211 rPFrPF 则 22 2 22 1 ycxrycxr 由 4 2 11 2 2 2 121 x a c arPFcxrrarr 得 解法一 设点 T 的坐标为 yx 当0 PT时 点 a 0 和点 a 0 在轨迹上 当 0 0 2 TFPT且时 由0 2 TFPT 得 2 TFPT 又 2 PFPQ 所以 T 为线段F2Q 的中点 在 QF1F2中 aQFOT 2 1 1 所以有 222 ayx 综上所述 点 T 的轨迹 C的方程是 222 ayx 解法二 设点 T 的坐标为 yx当0 PT时 点 a 0 和点 a 0 在轨迹上 当 0 0 2 TFPT且时 由0 2 TFPT 得 2 TFPT 又 2 PFPQ 所以 T 为线段F2Q 的中点 设点 Q 的坐标为 yx 则 2 2 y y cx x 因此 2 2 yy