计算物理1102.pdf

Computational Physics Bo Li Department of Physics Chongqing Universtiy 内容 绪论 第一章 计算误差 第二章 常用数据处理方法 第三章 有限差分法 第四章 蒙特卡洛方法 绪论 什么是计算物理 物理可分为理论物理 实验物理和计算物理 计算物理的特点 利用强有力的计算机工具 验证理论物理给出的结论 模拟现阶段不能达到的实验条件 计算物理的研究手段 数值计算 数值模拟 确定性方法与随机方法结合 第一章 计算误差 误差的种类 算法近似误差 物理模型误差 观测误差 不讨论 舍入误差 round off errors e 2 7182818284590452353602874713527 3 1415926535897932384626433832795 截断误差 truncation errors Taylor expansions f x f 0 f 0 1 x f 0 2 x2 f n 0 n x n f x Pn x f n 1 y n 1 y n 0 y x 第一章 计算误差 误差的衡量 绝对误差与相对误差 假设 x 为精确值 x 为近似值 则 绝对误差 e e x x 简称误差 e 可正可负 绝对误差限 x x 为正 为了比较绝对误差限 引入相对误差限 r r x x 设 x 2 18 是由精确值经过四舍五入得到的 那么它的绝对误 差限和相对误差限是多少 有效数字 若 x 绝对误差限是它某一数位的半个单位 并且 x 从左起第一 个非零数字到该位共 n 位数字 则称 x 的有效数字有 n 位 科学计算法与有效数字 x 0 a1a2a3 ak 10m 第一章 计算误差 数值运算中的几个典型例子 选用数值稳定的算法 计算积分 可以利用递推公式 选用简化的算法 乘法运算的次数最少 秦九韶 I 0 1 x 20 e x 1 dx An 0 1 x nex 1 dx An 1 nAn 1 Pn x anxn an 1x n 1 a 1 x a0 第一章 计算误差 避免两个接近的数相减 3 14159 3 14158 0 00001 有效数字减少了 证明 当 x 接近 y 时 相对误差被放大 其它例子 x 1 x 1 x 1 x ln x 1 ln x ln x 1 x 1 cos x 2sin 2 x 2 x 0 x x 0 x y y 0 y z x y rz z z0 z x x y rx y x y ry 第一章 计算误差 绝对值太小的数不宜作除数 大数和小数相加有效数字降低 例子 利用几何多边形周长方法计算圆周率 外接多边形周长 圆周长 内接多边形周长 多边形数取极限 第二章 常用数据处理方法 数据插值 多项式插值 曲线拟合 最小二乘拟合 数值求导 微商 数值积分 第二章 常用数据处理方法 为什么要插值 已知若干数据点 想知道其它各点上的函数值 内插值 interpolation 插值的分类 全区间插值 拉格朗日插值 牛顿插值 龙格 Runge 现象 分段插值 样条插值 第二章 常用数据处理方法 全区间拉格朗日插值 已知若干数据点 找到一个多项式函 数 使得它经过已知数据点 公式 xi yi i 1 2 n f x f x k 1 n yk i 1 i k n x xi xk xi 第二章 常用数据处理方法 龙格现象 Runge Phenomena 全区间差值是不是数据点越多越精确 是不是已知若干数据点 找到一个多 项式函数 使得它经过已知数据点 公式 xi yi i 1 2 n f x f x k 1 n yk i 1 i k n x xi xk xi 第二章 常用数据处理方法 样条插值 Spline Interpolation 分段三次样条插值 Cubic spline 样条形式还有很多 如 B 样条插值 Basic spline 三次样条函数的性质 过区间 上的 n 1 个数据点 的三次样条函数具有下列两个性质 在 上是不高于 3 次的多项式 在 上连续 且有连续的一阶和二阶导数 下面我们以 n 4 为例子来详细说明三次样条函数的确定过程 xi yi i 0 1 2 n xi xi 1 a b a b i x ai bi x xi ci x xi 2 di x xi 3 第二章 常用数据处理方法 三次样条函数的例子 n 4 共五个数据点 四段小区间 一共几个未知数 x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 0 x a0 b0 x x0 c0 x x0 2 d 0 x x0 3 1 x a1 b1 x x1 c1 x x1 2 d 1 x x1 3 2 x a2 b2 x x2 c2 x x2 2 d 2 x x2 3 3 x a3 b3 x x3 c3 x x3 2 d 3 x x3 3 第二章 常用数据处理方法 满足条件 函数值连续 一阶和二阶导数连续 方程个数和未知数个数一样多吗 怎么办 0 x0 y0 1 x1 y1 2 x2 y2 3 x3 y3 0 x1 y1 1 x2 y2 2 x3 y3 3 x4 y4 0 x1 1 x1 1 x2 2 x2 2 x3 3 x3 0 x1 1 x1 1 x2 2 x2 2 x3 3 x3 0 x0 0 3 x3 0 c0 0 6d 3h3 2c3 0 I II III IV 第二章 常用数据处理方法 由方程组 I 可解出 并带入剩下的方程组中 记区间宽度为 b0h0 c0 h0 2 d0 h0 3 a 1 a0 b1h1 c1 h1 2 d 1 h1 3 a 2 a1 b2h2 c2 h2 2 d 2 h2 3 a 3 a2 b3h3 c3 h3 2 d3 h3 3 y 4 a3 a4 a3 II III IV a0 y0 a1 y1 a2 y2 a3 y3 ai hi xi 1 xi 2c0h0 3d0 h0 2 b 1 b0 2c1h1 3d1 h1 2 b2 b1 2c2h2 3d 2 h2 2 b 3 b2 2c0 6d 0h0 2c1 2c1 6d 1h1 2c2 2c2 6d 2h2 2c3 第二章 常用数据处理方法 由方程组 IV 可写出 并带入方程组 II III 中 b0h0 c0 h0 2 2c1 2c0 6h0 h0 3 a1 a0 b1h1 c1 h1 2 2c2 2c1 6h1 h1 3 a2 a1 b2h2 c2 h2 2 2c3 2c2 6h2 h2 3 a3 a2 b3h3 c3 h3 2 2c4 2c3 6h3 h3 3 a4 a3 c4 0 II d i d0 2c1 2c0 6h0 d1 2c2 2c1 6h1 d 2 2c3 2c2 6h2 前面补上的方程之一d 3 2c4 2c3 6h3 第二章 常用数据处理方法 由方程组 IV 可写出 并带入方程组 III 中 III d i 2c0h0 3 2c1 2c0 6h0 h0 2 b1 b0 2c1h1 3 2c2 2c1 6h1 h1 2 b2 b1 2c2h2 3 2c3 2c2 6h2 h2 2 b3 b2 化简 有 c0h0 c1h0 b1 b0 c1h1 c2h1 b2 b1 c2h2 c3h2 b3 b2 第二章 常用数据处理方法 整理方程组 II b0 a1 a0 h0 2c1 4c0 6 h0 b1 a2 a1 h1 2c2 4c1 6 h1 b2 a3 a2 h2 2c3 4c2 6 h2 b3 a4 a3 h3 2c4 4c3 6 h3 II 再把化简得到的方程组 II 前面带入一页的方程组 III 第二章 常用数据处理方法 整理方程组 II 写成矩阵形式 2h0c0 4h0 4h1 c1 2h1c2 6 a2 a1 h1 a1 a0 h0 2h1c1 4h1 4h2 c2 2h2c3 6 a3 a2 h2 a2 a1 h1 2h2c2 4h2 4h3 c3 2h3c4 6 a4 a3 h3 a3 a2 h2 2h04h0 4h12h100 02h14h1 4h22h20 002h24h2 4h32h3 c0 c1 c2 c3 c4 g1 g2 g3 c0 0 c4 0 第二章 常用数据处理方法 矩阵可以化简为 三次样条插值问题完全化为解三对角阵方程组问题 4h0 4h12h10 2h14h1 4h22h2 02h24h2 4h3 c1 c2 c3 g1 g 2 g3 第二章 常用数据处理方法 曲线拟合 为什么要拟合 怎么拟合 线性最小二乘法拟合 思路 选取 n 个线性无关的连续函数 把它们作为基底张开一 个函数空间 那么拟合函数 f x 只需要确定系数c就行了 1 2 n f x i 1 n ci i Q j 1 m y j f xj 2 Q ci 0 第二章 常用数据