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物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n V o 1 6 3 No 2 0 2 0 1 4 2 0 0 2 0 4 概率假设密度滤波的物理空间意义冰 翟岱亮十 雷虎 民 李海宁 李炯 邵雷 空军工程大学防空反导学院 西安 7 1 0 0 5 1 2 0 1 4 年 5 月1 5日收到 2 0 1 4 年6月5日收到修改稿 为了深入理解概率假设密度滤波 本文在 Oz g u r E r d i n c 对随机集 的物理 空间假设的基础上 采用 B a y e s 公式和全概率公式对概率假设密度滤波 的迭代过程进行 了推导 为有效改善概率假设密度滤波的 目标漏检问 题提供 了理论基础 关键词 随机集 概率假设密度滤波 多 目标跟踪 P ACS 0 2 5 0 E y 4 2 5 0 E x DOI 1 0 7 4 9 8 a p s 6 3 2 0 0 2 0 4 1 引 言 在多 目标环境 中 由于 目标运动 出现 消失及 衍生等过程 的存在 目标 的状态和数 目都是随时 间变 化的 此外 由漏检 虚警及量测误差等 问题 带来的量测 信息的不确定性 也给 目标跟踪带来很 大困难 传统的基于单 目标跟踪 的滤波算法 f 如卡 尔曼滤波及其扩展算法 1 3 粒子滤波及其扩展算 法 4 6 等 已不再适用 处理多 目标跟踪 问题 的方 法主要有联合概率数据关联及其改进算法 7 多假 设跟踪及其 改进算法 Is 以及其他 智能算法 等 但是这些算法需要对量测 与 目标进行数据关联或 建立映射关系 计算量庞大 而 由Ma h l e r 1 1 提 出 的随机 有限集理论及其衍 生的随机集算法 由于不 需要进行复杂的数据关联而受到高度重视 概率假 设密度 PHD 滤波采用多 目标随机集概率分布 的 一 阶矩 即P HD 进行迭代运 算 将 复杂 的多 目标 状态空间问题转换为单 目标状态空间问题 它有效 避免 了数据关联 问题 在保证跟踪精度 的基础上 极大地提高了算法实时性 由于 P HD滤波在迭代过程中存在集积分运算 计算上难 以实现 所 以Vo 等先后提 出了粒子 P HD 滤波方法和 高斯混合 P HD滤波方法 解决 了算法 航空科学基金 批准号 2 0 1 3 0 1 9 6 0 0 4 资助的课题 十通 讯作 者 E ma i l q u i e t z d l 1 2 6 c o m 2 0 1 4中国物理学会 Chi n e s e Ph ys i c a l S o c i e t y 的实现 问题 随后 人们根 据不 同的问题研 究 了 P HD 滤波的各种 改进算法 但是这些研 究大都集 中在算法 的应用问题上 对 P HD滤波算法本身进 行研究的相关文献较少 1 1 1 5 为了便于人们理解 E r d i n c 等 1 6 1 7 在 2 0 0 6 年和 2 0 0 9 年两次对 P HD滤 波的物理空间意义进行 了解释 但是其推导过程仍 然存在一些不 当之处 为此 本文在 E r d i n c 的基础 上对 P HD滤波进行 了更详细 的推导 对其不 当之 处进 行 了修正 对推导过程 中的假 设条件 进行 了 说明 2 随机集理论基础 在多 目标跟踪 系统 中 随机集是指集 合 中每 个 目标的状态矢量 即集合元素 和目标数目 即集 合维数 均在变化 的集合 令多 目标状态随机集表 示 为 Xk z 1 2 X k F x 其 中 z i 表示 k时刻第 i 个 目标 的状态矢 量 Nk 表示 k时刻状态随机集 中的 目标数 目 多 目标观测 随机集表示为 200 20 4 1 Z k z k 1 2 名 M F t w u li x b h y a c c n 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n V o 1 6 3 No 2 0 2 0 1 4 2 0 0 2 0 4 其中 Z k 表示 七 时刻第 J 个 目标的观测矢量 考虑 到虚警情况 Z k 可能是来 自杂波的观测 表示 k 时刻观测到的目标数 目 F X 和F 分别表示 目标状态空间 和观测 空间 上所有有 限子集 的 集合 若 己知 一1 时刻的 目标状态随机集为 X 1 则 k 时刻的 目标状态随机集为 X k S k lk 一 1 U B k lk 一 1 U r k 1 其 中 s k l 一 1 表示 一1 时刻的 目标 一 1 一 1 到 k时刻 仍然 存 活 的 目标 状 态 随机 集 存 活概率为P r s x Bk Ik 1 z 表示 时刻 由目标 X k 一 1 X 一 1 衍 生 出的 目标状 态 随机 集 表 示 k时刻新生的 目标状态随机集 考虑虚警情况下 时刻 目标 的观测随机集 可 表示为 Z k J o k x 2 其 中 K 表示杂波观测随机集 杂波点概率密度为 c Ok x 表示源于真实 目标的观测随机集 检 测概率为P r D x 3 P HD的物理空间意义 根据 点过程理论 随机集 X 在物理空 间上可 等价的表示为E x 6 6 为中心在 的D ir a c d e l t a函数 P H D滤波是多 目标 B a y e s 滤波 的近似 算法 它在每个时间点上传播的不是多 目标后验密 度 而是后验密度 的一阶矩 后验强度 函数 从而 降低计算复杂度 则对于状态空间 上的一个概率 密度函数为f x 的目标随机集x 其P H D可表 示为 广 1 D E l 6 e 1 e x 6 e f X S X 3 e X D 在 区域 上的积分等 于集合 在该 区域 内 元素个数的均值 即 r iv y lx n V P d X D x d x 4 J j v 根据 E r d i n c 对随机集的物理空间假设 目标 的 存在 区域 可由无限个互不相交 体积足够小的区 域 V t 的并表示 1 6 1 7 即 U v i 5 另外 还需1 段设V i 足够小以至于每个 V i 内最多只能 包含一个假设为质点的 目标 目标的状态值为 t 一 个 目标最多只能产生一个量测值 Z t 定义指示函 数为 c 全 辜 昌 则当lV i I 0 时 区域V内元素个数的均值又可表 示为 P 1 l i m c 姚 其中 P U i 1 表示区域仇中目标存在的概率 IV i 表示区域V i 的超体积 由 4 式和 6 式可以看 出 区域V 内的P HD可定义为 A 7 又根据 5 式及假设条件可得 D x 满足 D D t 6 8 而E r d i n c 仅直接给出了D x i 的定义 意义不 明确 且没有建 D x i 与D 的关系 不易于人 们对 P HD物理 空 间意 义的理解 4 P H D滤波的物理空间意义 4 1 预 测 由 1 式可知 在 k一1 时刻所有小区域V t 内含 有 目标情况己知的条件下 当不考虑衍生 目标时 k 时刻小区域 V i 内如果含有 目标 则该 目标可能来 自 新生 目标或 一1 时刻小 区域 内的 目标 则 k 时 刻小区域 忱内的 目标预测存在概率可表示为 P 1 z 1 6 1 p U k i l l j j P r s x y P 一 1 J 1 I z 一 9 其中 6 1 表示k 时刻小区域V i 内产生新 目标的概率 p l Ix j 表示 目标 由小区 域 转移到小区域V t 内的转移概率 JF 一 1 J 2 0 0 2 0 4 2 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n V o 1 6 3 No 2 0 2 0 1 4 2 0 0 2 0 4 1 Iz 表示k一1 时刻小区域 内的目标后验存 在概率 这里仿照 7 式给出如下定义 6 全J 1 0 全 l 1 1 1 0 和 1 1 式分别表示新生 目标的强度函数和目 标的状态转移概率密度 对 9 式两边取极限可得 l i m P U k i 丫 I Z 1 k 一 1 I t I 0 l V i l 1 i m 三 2 f l i m I I 0 J P 一 1 J l 1 f P r s x j 把 7 1 0 和 1 1 式代入 1 2 式可得 Dk l k 一 1 g g i 6 j s D 1 I 一 1 6 x d x 6 z t f x i lx P r s x Dk z lk l x d x 1 2 1 3 4 2 更 新 根据 2 式 尼 时刻小区域V t 内被检测的目标 可能来 自V t 内真实存在的 目标 也可 能来 自杂波 这里首先定义 c 全 辜 星 蓑 则此 时 目标 区域 内被检 测到 的 目标 数 目可表 示为 Iz k l U k j V k j 1 4 其中 表示来 自杂波的观测 目标数 目 这里假设 虚警数 目服从均值为 的泊松分布 另外 当IV t I 足够小时 V内小 区域的个数趋于无穷 假设每个 小区域 V t 内的 目标存在情况相互独立 则 V内的来 自真实 目标的观测 目标 数近似服从 泊松分布 均 值为 l P U k l 1 z 1 5 从 而可 得 内被 检 测 到 的 目标 数服 从 均值 为 的泊松分布 根据 B a y e s 公式 在得到直到 k 时刻的检测 目 标的情况下 小区域V 内目标存在的后验概率可表 示为 P I Zk P l lZ k I I i n z 一f Z k 1 z l ml 1 z f Z k I 1 mlz X JF 1 Iz 1 6 而 E r d i n c 对此公式的推导较为烦琐 假设观测到的 目标 数 目与 目标分布情况相互 独立 各 目标之间观测独立 则 1 当1 z I m 0 时 f Z k I Z k I mlG 1 z 1 f m o IG 1 1 z 1 1 1 m o l Y一仇 z 1 1 L 1 e 1 一 P r D z i 1 7 I Z k l z e 1 8 其 中 1 9 I P 1 P r D J 2 0 而 E r d i n c 在其 推 导 过程 中却忽 略 了小 区域 仇对 整个 区域 内观测 目标平 均数 目的影响 缺乏严 密性 把 1 7 和 1 8 式代入 1 6 式 可得 P 1 Iz P U k 1 e 一 e tt 1 一P r D x i P t l l Z k 一 1 一P r D x i P U k i l lZ k 2 1 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n V o 1 6 3 No 2 0 2 0 1 4 2 0 0 2 0 4 其 中 一 l i m J F t 1 lz 一 P r D X t 0 2 2 2 当JZ k I m 0 时 f Z k J Z k I mI z f Z k l z k f IZ k I ml z 一 m e tz 2 3 根据全概率公式 f Z k IZ k l mlU k i 1 z f Z k I Z k I ml U k 1 1 z v k 1 Iu k 1 f Z k I Z k l ml 1 V k i 1 z 一 X 1 1u k 1 f Z k I Z k I ml 1 1 z X Pr D x i f Z k I Z k I ml u k 1 1 z 1 一P r D x i 2 4 假设每个量测来自同一的目标的概率相等 则 2 4 式中 f Z k I f mlU k i 1 v k i 1 z s 1 1 o 1 I u I k I m v k i f Z k s Z k l ly一仇 z 一 i f s I t s I z f 1Z k l m l ly一 t z 一 1 s I s IV v z 一 t m 1 e 2 5 其中 Z k s 表示量测 对量测集 的补集 来 自V一 区域的真实 目标或杂波 这里E r d i n仍然 忽略 了小区域 仇对整个区域 V内观测 目标平均数 目的影响 同理可得 f Z k I l mlU k i 1 v k i 1 z f Z k l U k i 1 v k i 1 z f 1 Z k l ml U k i 1 v k i 1 z f Z k lV v i Z 1 2 6 把 2 3 和 2 4 式代入 1 6 式 可得 P U k i 1 l z 1 f Z k lZ kl 1 f z Im f Z k s c lv 一 z s 1 m f z k lv一 z t in e t t t 1 P r D P U k i 1 I z 2 7 又 由于 1 V i 2 8 I 一 0 所以 当 V i I 0 时 把 2 2 和 2 8 式代入 2 7 式 可得 n 一 P 1 I z l i l z t l Im 二 竺 l i m 1 P r D 二 f Z k lZk JF r z t 盟 V i l l o I l 1 P r D t P rD x i 名 I t 监 D k lk 1f Z k lZ 1 P r D D k lk 1f z l s z 一 1 P r D 8 1 了P r D x i D k lk 物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n Vo 1 6 3 No 2 0 2 0 1 4 2 0 0 2 0 4 式 中 f z I z 中的Z 可 以来 自 目标 也可 以来 自杂 波 根 据 目标 观 测 独 立 假 设 它等 于 f z IZ k s z 而E r d in c 对它们的等价性进 行了推导 但是推导过程中限定 z 的来源 不符合 全概率公式 根据全概率公式 f z l z c z P 量测来自虚警 f z I t P 量 测 来自 t i c P U k i 1 Iz 一 P r D t i i 二 坚 3 0 入 P U k i 1 一 P r D X t 当 lV i I 0 时 把 1 5 式代入 3 0 式可得 I船 s p li m 塑 1 P r D k k 1 d 3 1 式中 再把 f 3 1 1 式代入 f 2 9 1 式可得 l i m 盟 1 一 7 一D 一 s 1 c 7 P r D 7 D H k 一 1 d y 可以看出 1 3 和 3 2 式即为P H D滤波的预测方程和更新方程 5 P HD滤波的 目标漏检问题 根据 2 1 式 当没有目标被检测到 即m 0 时 时刻小区域V t 内的目标存在概率可表示为 P U k i 1 Iz 1 一P r D x i P U k i 1 I z 一 而根据 目标存在的物理 空间意义 k时刻区域 V i 内没有 目标被检测到时 有两种情况 一是 内不存 标 其概率可用 目标预测不存在概率表示为 P u k 0 Jz 1 一JF u k 1 Iz 一 二是 忱内存在 目标 但是没有被检测到 其概率可用 目标预测存在概率和检测概率表示为 P U k i 1 V k i 0 I z 1 一P r D x i P U k i 1 l z 从而可得此时区域 内的目标存在概率为 P Iz 筹 鬟 秀 1 一 一JF r D t P 1 Iz 1 一P 1 fz 一 1 一P r D x i P U k i 1 f 一 一 1 一Pr D X i P 1 I 一 1 一P r D zC i P U k i 1 l z 2 0 0 2 0 4 5 3 2 3 3 在 目 3 4 3 5 3 6 物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n V o 1 6 3 No 2 0 2 0 1 4 2 0 0 2 0 4 比较 3 3 和 3 6 式可知 P U k i 1 I z P u k i I IZ k 所以当没有 目标被检测到时 P HD滤波存在 目标漏检 问题 6 结 论 本文在 E r d i n c 对随机集的物理空间假设的基 础上 对 P H D滤波进行了系统的推导 对推导过程 中的假设条件进行了说 明 可以发现 在推导过程 中仅用到Ba y e s 公式和全概率 公式 易于理解 为 深入理解 P HD滤波 的算法本质 改进算法 的缺点 从而更好地解决多目标跟踪问题提供了理论基础 参考文献 1 Ga n L X i o n g B 2 0 1 2 Ac t a P h y s S i n 6 1 2 1 0 5 0 4 i n C h i n e s e 甘露 熊波 2 0 1 2物理学报 6 1 2 1 0 5 0 4 2 Z h a n g Z T Z h a n g J S 2 0 1 0 C h i n P h y s B 1 9 1 0 4 6 0 1 3 1 wu x F Wa n g Y N L i u W T Z h u Z Y 2 0 1 1 C Ph ys B 20 0 6 92 01 4 4 S h e n g Z C h e n J Q X u R H 2 0 1 2 A c t a P h y s S i n 6 1 0 6 9 3 0 1 i n C h i n e s e f 盛峥 陈加清 徐如海 2 0 1 2物理学报 6 1 0 6 9 3 0 1 5 5 6 7 Bi J Gu a n W Qi L T 2 0 1 2 Ch i n Ph y s B 2 1 0 6 8 9 0 1 L e n g H Z S o n g J Q 2 0 1 3 Ch i n Ph y s B 2 2 0 3 0 5 0 5 Ka ng J Li Y B Li n Y Xi e H 2 0 1 3 Sy s t Eng El e c t ron 3 5 1 6 2 0 i n C h i n e s e 康健 李一兵 林云 谢红 2 0 1 3 系统工程与 电子技术 3 5 1 6 2 0 1 Rua n Y W i l l e t t P 2 00 4 I EEE Tr a 8 Ae ro s p El e c t r o n s t 40 1 3 3 7 Hu Z H F e n g J C 2 0 1 1 A c t a P h y s S i n 6 0 0 7 0 5 0 5 i n C h i n e s e 胡志辉 冯久超 2 0 1 1物理学报 6 0 0 7 0 5 0 5 1 M a hl e r R 2 0 03 I EEE Tr an s A e ro s p El e c t r o n Sy s t 39 1 1 5 2 Li n Z P Z h o u Y Y An W 2 0 1 2 J I n f r a r e d Mi l l i m Wa v e s 3 1 4 7 5 i n C h i n e s e 林再平 周一宇 安玮 2 0 1 2 红外与毫米波学报 3 1 4 7 5 1 Li u Z X Xi e W X W a ng P Yu Y 2 01 3 Sc i Ch i na F 56 1 02 3 0 2 Li a n F Ha n C Z Li u W F Li u J Yua n X H 2 01 2 S c i 翻Ia F 55 5 0 1 Lj W L J i a Y M Du J P Zh an g J 2 01 4 Si g na l Pr o c e s s 94 4 8 Zho u X L Li Y F He B W 2 0 1 4 Si g na l Pr o c e s s 94 6 5 0 Er d i n c O W i l l e t t P Ba r Sha l o m Y 2 0 0 6 Si g nal and Da t a Pr o c e s s i n g o f S ma l l T a r g e t s 2 0 0 6 Ki s s i mme e FL Re pu bl i c A p r i l 1 8 2 0 2 0 0 6 pp6 2 3 6 1 9 Er d i nc O W i l l e t t P Ba r S ha l o m Y 2 0 0 9 I EEE Tr an s Si gna l Pr o c e s s 57 4 2 32 D e r i v a t i on of t he pr obabi l i t y h ypo t he s i s de ns i t y fil t e r vi a t he phys i c a l s pac e a ppr oa c h车 Z h a i Da i L i a n g t L e i Hu Mi n L i Ha i Ni n g L i J i o n g S h a o L e i S c h o o l o f A i r a n d Mi s s i l e De f e n s e Ai r F o r c e E n g i n e e r i n g U n i v e r s i t y X i a n 7 1 0 0 5 1 C h i n a R e c e i v e d 1 5 Ma y 2 0 1 4 r e v i s e d ma n u s c r i p t r e c e i v e d 5 J u n e 2 0 1 4 A bs t r a c t I n o r d e r t o we l l u n d e r s t a n d t he p r o b a b i l i t y h y p o t h e s i s d e n s i t y a c c o r d i n g t o t h e p h y s i c