概率论与数理统计习题册 第五章 答案.pdf

第五章 大数定律和中心极限定理 85 系别 系别 班级 班级 姓名 姓名 学号 学号 作业 14 大数定律 中心极限定理 I 作业 14 大数定律 中心极限定理 I 一 设随机变量序列一 设随机变量序列 12 n XXX 是相互独立的 对于每一个固定的 是相互独立的 对于每一个固定的n n X 的分布律为 的分布律为 21 2 21 202 2122 nn n nnn X 概率 试证随机变量序列 概率 试证随机变量序列 12 n XXX 服从大数定律 证 由于 服从大数定律 证 由于 21 2 21 2 20 12 220 nnnnn n E X 22 21 222 21 2 20 12 2 21 nnnnn nn D XE X 根据切比雪夫大数定理可知 随机变量序列 根据切比雪夫大数定理可知 随机变量序列 12 n XXX 服从大数定律 二 设随机变量序列 服从大数定律 二 设随机变量序列 12 n XXX 是独立同分布且 是独立同分布且 k E X 2 0 1 2 k D Xk 1 2 1 n nk k YkX n n 试证随机变量序列 试证随机变量序列 n Y依概率收敛 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P116 例 5 三 设 随 机 变 量 依概率收敛 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P116 例 5 三 设 随 机 变 量 12100 XXX 独 立 同 分 布 独 立 同 分 布 16 kk E XD X 求 求 1 PX 解 由已知条件 解 由已知条件 100 1 1 100 i i E XEX 100 1 1164 10010025 i i E XEX 再 由中心极限定理 得 再 由中心极限定理 得 11 1 2 1 X PXP D XD XD X 5 2 10 9876 2 四 据以往经验 某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布 现随 机地取 16 只 设它们的寿命是相互独立的 求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率 解 设 16 只元件的寿命分别为 四 据以往经验 某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布 现随 机地取 16 只 设它们的寿命是相互独立的 求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率 解 设 16 只元件的寿命分别为 k V 1 2 16k 记 记 16 1k k VV 且 且 100 k E V 10000 k D V 由独立同分布中心极限定理 随机变量 由独立同分布中心极限定理 随机变量 第五章 大数定律和中心极限定理 86 16 1 1600 1600 40016 100 k k V V Z 近似服从正态分布 近似服从正态分布 1 0 N 则 则 1600192016001600 1920 10 8 400400400 VV P VPP 1 0 8 0 2119 即寿命总和大于 1920 小时的概率为 0 2119 五 一部件包括 10 部分 每部分的长度是一个随机变量 它们相互独立 且 服从同一分布 其数学期望为 2 即寿命总和大于 1920 小时的概率为 0 2119 五 一部件包括 10 部分 每部分的长度是一个随机变量 它们相互独立 且 服从同一分布 其数学期望为 2mm 均方差为 0 05 均方差为 0 05mm 规定总长度为 规定总长度为 200 1 mm 时产品合格 试求产品合格的概率 解 设 时产品合格 试求产品合格的概率 解 设 k V为每个部件长度 为每个部件长度 10 1 k k VV 由独立同分布中心极限定理 随机变量 由独立同分布中心极限定理 随机变量 10 1 20 0 0510 k k V Z 近似地服从正态分布 近似地服从正态分布 1 0 N 则 则 200 12020200 120 200 1200 1 0 05100 05100 0510 V PVP 2500 11 414 50 X P 1 1 414 0 0793 则总重量超过 2510kg 的概率为 0 0793 则总重量超过 2510kg 的概率为 0 0793 第五章 大数定律和中心极限定理 87 系别 系别 班级 班级 姓名 姓名 学号 学号 作业 15 大数定律 中心极限定理 II 作业 15 大数定律 中心极限定理 II 一 计算器在进行加法时 将每个加数舍入最靠近它的整数 设所有舍入误差 是独立的且在 一 计算器在进行加法时 将每个加数舍入最靠近它的整数 设所有舍入误差 是独立的且在 0 5 0 5 上服从均匀分布 1 若将 1500 个数相加 问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少 2 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0 90 解 设有 上服从均匀分布 1 若将 1500 个数相加 问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少 2 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0 90 解 设有n个数相加 个数相加 i X分别为每个数的舍入误差 记分别为每个数的舍入误差 记 1 n i i XX 0 i E X 1 12 i D X 由定理一知 随机变量由定理一知 随机变量 16 1 0 12 i k Xn Z n 近似地服从正态分布近似地服从正态分布 1 0 N 1 所求概率 1 所求概率 15 1515 P XPX 1515 5 55 55 5 X P 1515 5 55 5 15 210 8198 5 5 则绝对值超过 15 的概率为 0 1802 2 所求概率 则绝对值超过 15 的概率为 0 1802 2 所求概率 1010 1 12 12 12 X P XP nnn 1 0 6711 0 6711 0 7486 第五章 大数定律和中心极限定理 88 三 某车间有同型车床 200 台 假设每台开动的概率为 0 7 且开关是相互独 立的 设每台的耗电量为 15kW 试问最少需耗多少电力 才能以 95 的把握满足该车 间生产 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P117 例 8 四 某保险公司多年的统计资料表明 在索赔户中被盗索赔户占 20 以 三 某车间有同型车床 200 台 假设每台开动的概率为 0 7 且开关是相互独 立的 设每台的耗电量为 15kW 试问最少需耗多少电力 才能以 95 的把握满足该车 间生产 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P117 例 8 四 某保险公司多年的统计资料表明 在索赔户中被盗索赔户占 20 以X表示 在随机抽查的 100 个索赔户因盗窃而向保险公司索赔的户数 1 写出 表示 在随机抽查的 100 个索赔户因盗窃而向保险公司索赔的户数 1 写出X的概率分布 2 求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值 解 1 根据已知条件 的概率分布 2 求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值 解 1 根据已知条件 100 0 2 XB 故 故 100 0 20 8 kkk n P XkC 2 由拉普拉斯中心极限定理得 2 由拉普拉斯中心极限定理得 14100 0 2100 0 230100 0 2 1430 100 0 2 0 8100 0 2 0 8100 0 2 0 8 X PXP 100 0 2 1 52 5 2 5 1 5 0 927 100 0 2 0 8 X P 五 某打靶场根据以往经验 得 10 分的概率为 0 4 得 9 分的概率为 0 3 得 8 分的概率为 0 2 得 7 分和 6 分的概率都为 0 05 现射击 500 次 1 求总分多于 4500 分的概率 2 总分介于 4400 到 4500 分之间的概率 解 1 记 五 某打靶场根据以往经验 得 10 分的概率为 0 4 得 9 分的概率为 0 3 得 8 分的概率为 0 2 得 7 分和 6 分的概率都为 0 05 现射击 500 次 1 求总分多于 4500 分的概率 2 总分介于 4400 到 4500 分之间的概率 解 1 记 i X为第为第i次打靶所得分 则次打靶所得分 则 i X的分布律为 的分布律为 05 005 02 03 04 0 678910 p Xi 10 0 49 0 38 0 27 0 056 0 05 i E X 95 8 22 iii D XE XEX 225 1 设总分为 设总分为X 则 则 225 1500 95 8500 NX 即 即 5 612 4475 NX 因此 因此 5 612 44754500 1 4500 1 4500 XPXP 1 1 01 10 84130 1587 2 2 45004400 XP 5 612 44754400 5 612 44754500 03 3 01 1 1 01 1 3 03 0 84 第五章 大数定律和中心极限定理 89 系别 系别 班级 班级 姓名 姓名 学号 学号 第五章 单元练习 第五章 单元练习 一 填空题 3 5 15 分 一 填空题 3 5 15 分 1 设随机变量1 设随机变量X的数学期望的数学期望 E X 方差 方差 2 D X 则由切比雪夫不等式 有 则由切比雪夫不等式 有 3 PX 2 设随机变量 2 设随机变量X和和Y的数学期望分别为 2 和 2 方差分别为 1 和 4 而相关系 数为 0 5 则根据切比雪夫不等式 的数学期望分别为 2 和 2 方差分别为 1 和 4 而相关系 数为 0 5 则根据切比雪夫不等式 6 PXY 3 在天平上重复称量一质量为 3 在天平上重复称量一质量为a的物品 假设各次称量结果相互独立且同服从 正 态 分 布 的物品 假设各次称量结果相互独立且同服从 正 态 分 布 2 0 2 N a 若 以 若 以 n X表 示 次 称 量 结 果 的 算 术 平 均 值 则 为 使表 示 次 称 量 结 果 的 算 术 平 均 值 则 为 使 0 1 0 95 n PXa 的的n的最小值应不小于自然数 的最小值应不小于自然数 4 4 设 随 机 变 量设 随 机 变 量X在在 3 1 上 均 匀 分 布 若 由 契 比 雪 夫 不 等 式 有上 均 匀 分 布 若 由 契 比 雪 夫 不 等 式 有 2 1 3 PX 有 A 有 A 1 1 lim 1 n k n k PX n B B 1 1 lim 0 n k n k PX n D A B C 都不正确 D A B C 都不正确 4 设随机变量设随机变量 12 n XXX 相互独立 相互独立 12nn SXXX 则根据列维 林 德伯格中心极限定理 当 则根据列维 林 德伯格中心极限定理 当n充分大时充分大时 n S近似服从正态分布 只要近似服从正态分布 只要 12 n XXX A 有相同期望和方差 B 服从同一离散型分布 C 服从同一指数分布 D 服从同一连续型分布 A 有相同期望和方差 B 服从同一离散型分布 C 服从同一指数分布 D 服从同一连续型分布 5 下列命题正确的是 A 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律 B 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律 C 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律 D 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律 下列命题正确的是 A 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律 B 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律 C 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律 D 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律 三 计算题 5 11 55 分 三 计算题 5 11 55 分 1 如果认为男婴儿出生率为1 如果认为男婴儿出生率为 22 43 某地区有 7000 名产妇 试估计她们的生育情 况 解 令 某地区有 7000 名产妇 试估计她们的生育情 况 解 令 1 0 i i X i 第 名产妇生男孩 第 名产妇生男孩 第 名产妇生女第 名产妇生女孩孩 1 2 7000i 显然 显然 12 n XXX 服从同一分布 由贝努力大数定理得服从同一分布 由贝努力大数定理得 1 22 43 n i P i X n 由于 由于 7000n 比较大 所以该地区大约有比较大 所以该地区大约有 22 70003581 43 名男婴出生 2 若每次射击击中目标的概率为 0 1 不断地对靶连续进行射击 求在 500 次 射击中 击中目标的次数在区间 名男婴出生 2 若每次射击击中目标的概率为 0 1 不断地对靶连续进行射击 求在 500 次 射击中 击中目标的次数在区间 49 55 内的概率 解 设 内的概率 解 设X表示 500 独立射击中击中目标的次数 则表示 500 独立射击中击中目标的次数 则 500 0 1 XB 那么由中心极 限定理得所求概率 那么由中心极 限定理得所求概率 49500 0 1500 0 155500 0 1 4955 500 0 1 0 9500 0 1 0 9500 0 1 0 9 X PXP 第五章 大数定律和中心极限定理 92 从而 500 0 99 250 m 即5002 33 250536 841m 因此 每个剧院应设有 537 个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于 1 每个剧院应设有 537 个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于 1 四 综合题 1 15 15 分 四 综合题 1 15 15 分 假设某单位交换台有假设某单位交换台有n部分机 部分机 k条外线 每部分机呼叫外线的概率为条外线 每部分机呼叫外线的概率为p 利用 中心极限定理 解下列问题 1 设 利用 中