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华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿 第五册 学 院 专 业 班 级 学 号 姓 名 任课教师 第十三次作业 一 填空题 1 已知二维随机变量 的联合概率分布为 0 1 0 1 2 0 1 0 15 0 25 0 2 0 15 0 15 则 max 2 sin EEEE max D 2 设随机变量 321 相互独立 1 6 0 U 2 4 0 N 3 3 E 则 32 321 E 12 32 321 D 46 3 已知 4 0 2 2 NX 则 2 3 XE 1 16 4 设 2 1 6 0 10 NYNX 且X与Y相互独立 则 3 YXD 7 4 二 选择题 05 15 025 02 1 36 0 1 设 N 10 4 0 N 下列说法正确的是 B A 5 0 N B 0 E C 5 D D 3 D 2 设 321 XXX相互独立同服从参数3 的泊松分布 令 3 1 321 XXXY 则 2 YE C A 1 B 9 C 10 D 6 3 设 PX 且 1 2 1 XXE 则 A A 1 B 2 C 3 D 0 三 计算题 1 设二维随机变量 的联合概率密度函数为 其他0 20 20 8 1 yxyx yxp 求 EEE 解 EyyxxxyxyxxpE D 6 7 d d 8 1 dd 2 0 2 0 3 4 d d 8 1 dd 2 0 2 0 yyxxyxyxyxxypE D 2 二维随机变量 服从以点 0 1 1 0 1 1 为顶点的三角形区域上的均 匀分布 试求 E和 D 解 2 0 x yG p x y x yG 11 01 4 2 3 y Edyxy dx 11 22 01 11 2 6 y Edyxydx 22 11161 6918 DEE 3 有10个人同乘一辆长途汽车 沿途有20个车站 每到一个车站时 如果没 有人下车 则不停车 设每位乘客在各站下车是等可能的 且各乘客是否下车是 相互独立的 求停车次数的数学期望 解 设 1 0 i i i 第 站有人下车 第 站没人下车 则PP i 0 10 个人在第 i 站都不下车 10 20 1 1 从而 10 20 1 11 1 i P 于是 10 20 1 11 1 1 0 0 iii PPE 长途汽车停车次数 2021 L 故 10 2021 20 19 120 EEEEL 第十四次作业 一 填空题 1 已知9 4 DD 则当12 D时 当4 0 时 D 2 设4 0 36 25 xy YDXD 则 YXD 85 3 设二维随机变量 5 0 4 1 4 1 N 则 cov 二 选择题 12 1 8 17 2 1 已知随机变量X与Y独立同分布 记YXU YXV 则U与V必 D A 独立 B 不独立 C 相关 D 不相关 2 设随机变量 与 的方差存在且不等于0 则 DDD 是 与 C A 独立的充要条件 B 独立的充分条件 但不是必要条件 C 不相关的充要条件 D 不相关的充分条件 但不是必要条件 3 对于任意两个随机变量X和Y 若 E XYE XE Y 则 B A D XYD XD Y B D XYD XD Y C X和Y独立 D X和Y不独立 三 计算题 1 已知二维随机变量 的联合概率分布为 0 1 2 3 1 3 0 8 3 8 3 0 8 1 0 0 8 1 1 求 2 与 是否独立 说明理由 解 1 边际分布 1 3 Pi 3 4 1 4 0 1 2 3 Pj 1 8 3 8 3 8 1 8 于是 313 13 442 E 13313 0123 88882 E 再由联合分布得 3319 1 11 23 3 8884 E 从而 93 3 cov 0 42 2 故0 2 由于 3 1 0 32 PP 而 1 0 0P 故 不独立 2 设二维随机变量 的联合概率密度函数为 ac 试证 XY 证明 XY DYDXac YXac dcYDbaXD dcYbaX cov cov 4 设两个随机变量 5 0 9 4 4 2 DDEE 求 323 22 E 解 68 3 cov 2 3 3 2 3 323 22 22 22 EDEEED EEE E 第十四次作业 一 选择题 1 设随机变量 密度函数为 p x 则31 的密度函数 py 为 A A 11 33 y p B 1 3 3 y p C 1 3 1 3 py D 1 3 3 y p 2 设随机变量 和 相互独立 其分布函数分别为 xF 与 yF 则 max 的分布函数 zF 等于 B A max zFzF B zFzF C 2 1 zFzF D zFzFzFzF 二 填空 已知 1 0 N 3 1 则 的概率密度为 y 2 2 6 e 2 3 y y 三 计算题 1 已知随机变量 2 0 U 求 2 的概率密度 解 00 0 00 0 2 y yyFyF y yyyP yPyF 故 00 0 2 1 y yypyp y yp 其他0 40 4 1 y y 2 设随机变量X的概率分布为 X 1 2 3 n P 2 1 2 2 1 3 2 1 n 2 1 求 2 sin XY 的概率分布 解 由于 341 20 141 2 sin kx kx kx x L 2 1 k 故随机变量Y的可能取值为 1 0 1 随机变量Y的 1 14 1 k kXPYP 1 4 14 15 2 1 2 1 1 8 1 2 1 k k 1 2 0 k kXPYP 1 2 2 3 1 1 2 1 1 4 1 2 1 k k 1 34 1 k kXPYP 1 4 34 15 8 1 2 1 1 2 1 2 1 k k 于是随机变量Y的分布律为 Y 1 0 1 P 15 2 3 1 15 8 3 设 1 0 U 求 ln 的分布 解 对应于 ln 2 lnln xfexy xx 由于 x xexf x 1 ln2 2 ln 当 1 0 x 时 0 其他 密度函数中非零部分对应的 x y落在区域 D 中 利用卷积公式 当1z 时 1 0 1 z xz pzedxee 当01z 时 0 1 z z xz pzedxe 当0z 时 0pz 故 1 1 1 01 0 0 z z eez pzez z 00 0e1 x x xF x 所以 00 0 e1 2 2 y y yFyF y 从而 00 0 e2 e1 00 0 e1 11 11 22 2 2 2 z z z z zFzF zz z 00 0 e2 e1 e4 2 z z zp zzz 8 某厂生产一种化工产品 这种产品每月的市场需求量 单位 吨 服从 5 0 上的均匀分布 这种产品生产出来后 在市场上每售出1吨可获利6万元 如果 产量大于需求量 则每多生产1吨要亏损4万元 如果产量小于需求量 则不亏 损 但只有生产出来的那一部分产品能获利 问 为了使每月的平均利润达到最 大 这种产品的月产量 a 应该定为多少吨 这时 平均每月利润是多少元 解 因为 5 0 U 所以 的概率密度为 其他0 5051 x x 设月产量为 a 50 a 每月的利润为 则 f 时当 时当 aa aaa 6 410 46 该厂平均每月利润为 E xx