解联立二元一次方程.doc

出版:教育署課程發展處校本課程(中學)組 數學科出版日期: 1999年8月 教育署版權為香港教育署課程發展處所有；歡迎作教育及研究等非牟利用途，但請列明出處。編撰發展期間，或有疏漏之處，歡迎同工提出寶貴意見。135cd1f2372a0279bfa9add5097191049c.pdf解聯立二元一次方程A.二元一次方程例一上年度美國職業籃球芝加哥公牛隊的米高佐敦及柏賓在一場比賽中兩人為球隊共取得60分。設米高佐敦得分為 x，而柏賓得分為 y，則x 和y 的關係可用下列方程來表示：x + y = 60而方程 x + y = 60 稱為二元一次方程。元：未知數/變量/變數次：未知數最高的次數二元一次方程：只有兩個變量而且每項的最高次都是一次的方程一些二元一次方程的例子：例二圖中是一個長為x cm及闊為y cm的長方形。x cmy cm若長較闊多4 cm，則x 和y的關係可用下列方程來表示：x - y = 4例三把溫度由攝氏度數(C)轉換成為華氏度數(F)的方程是例四若港元(HKD)以 y 表示；而美金(USD)以 x 表示，則港元與美金的關係是y = 7.74 x或y = 7.74x一些不是二元一次方程的例子：xy641.直角三角形三邊的關係 元：次：r2.圓面積(A)與半徑(r) 元：次：zyx3.三角形三內角和 = 180 元：次：xy4.長方形面積 = 24 xy = 24元：次：zxy5.長方體體積 = 72 xyz = 72元：次：練習：完成下表方程元次是否二元一次方程1234567B.二元一次方程的解參考例一的方程 x + y = 60 ，若米高佐敦得40分，則柏賓得20分亦即是x = 40，y = 20。x = 40，y = 20 稱為方程 x + y = 60 的解。除了這個解之外，還可以有其他的解，如 x = 20，y = 40。所以一條二元一次方程有無限多個解。試寫出方程 x + y = 60另一些的解1.2.3.4.思考題：1. 是否為方程的其中一個解？2. 是否為方程的其中一個解？參考例二的方程 x - y = 4，試寫出方程的一些解1.2.3.4.思考題：1. 是否為方程的其中一個解？2. 是否為方程的其中一個解？C.二元一次方程的圖像及繪畫程序x + y = 60 的解亦可用序偶形式寫出，即是 (40, 20)，(20, 40)，( , ) 和 ( , ) 等，可用這些序偶來繪畫該方程的圖像。利用例一的方程 x + y = 60來認識二元一次方程的圖像及其繪畫的程序。步驟一先把二元一次方程變換至以 y 為主項。x + y = 60y = - x + 60步驟二列表求出符合/滿足二元一次方程的序偶x0102030405060y60500方格紙在附頁步驟三在方格紙上畫出及填寫(a)x - 軸和刻度(b)y - 軸和刻度(c)原點O (0, 0)步驟四把符合方程的序偶以符號“”標明在方格紙上。註：觀察在方格紙所標出的點，可否用直線聯結起？步驟五利用直尺把各點聯結。註：二元一次方程的圖像應該是一條直線。步驟六在圖像旁寫上該圖像的方程。註：直線上每一點，即是每一個序偶都符合/滿足方程 x + y = 60 ，亦即是米高佐敦及柏賓為球隊共取得60分。從閱讀圖中的直線可知(a)若 x = 25，則 y = 。(b)若米高佐敦取得35分，則柏賓取得 分。(c)若 y = 25，則 x = 。(d)若柏賓取得15分，則米高佐敦取得 分。考慮例二的方程 x - y = 4步驟一(變換方程以y 為主項)x - y = 4 y = 步驟二x681012y28步驟三至六 (方格紙在附頁)註：直線上每一點，即是每一個序偶都符合/滿足方程 x - y = 4 ，亦即是長方形的長較闊多4 cm。從閱讀圖中的直線可知(a)若 x = 5，則 y = 。(b)若長方形的長為9 cm，則闊為 cm。(c)若 y = 7，則 x = 。(d)若長方形的闊為3 cm，則長為 cm。D.聯立二元一次方程在例子一中，已知米高佐敦和柏賓共得60分，即是 x + y = 60 。若米高佐敦的得分是柏賓得分的2倍，則可得出另外一條方程： x = 2y 現在把 x = 2y 繪畫在例一的方格紙上。步驟一x = 2y y =步驟二x020304060y步驟三至六 (方格紙在附頁)直線 x = 2y 上每一點的序偶都是代表米高佐敦得分是柏賓的2倍。從所繪畫的圖像可見，而兩直線相交於一點。這點的序偶 (40, 20) 是同時符合/滿足方程x + y = 60 和 x = 2y 。而 x + y = 60 和 x = 2y 稱為聯立二元一次方程，通常寫為 。符合聯立二元一次方程的序偶稱為聯立方程的公共解，而求公共解的過程稱為解聯立方程。考慮例子二，已知長方形的長較闊多4 cm。若長方形的周界是18 cm則這個關係可用下列方程表達。若要求出長方形的長和闊，即x 和y 的數值，則要解聯立方程把這個方程的圖像繪畫在例二的方格紙上。步驟一y =步驟二xy步驟三至六 (方格紙在附頁)直線上每一點的序偶代表長方形的長和闊使到周界是18 cm。從所繪畫的圖像可見，而兩直線相交於一點，這點的序偶是 ( , )，表示：以上所做的是透過繪畫聯立方程的圖像，從而找出方程圖像交點來求聯立方程的解這個方法稱為圖解法。雖然利用圖解法可以求出聯立方程的解，但是比較費時且並不是十分準確。故利用代數計算的方法，更快及準確地解聯立方程。代數的方法主要有兩種：代入消元法和加減消元法。兩種方法的主要目的是把兩條聯立的二元一次方程演變成為一條一元一次方程。代入消元法：步驟一先把兩條二元一次方程編號成 (1) 式和 (2) 式。步驟二把其中的一條方程作主項變換，然後再編號成為 (3) 式。步驟三把 (3) 式代入沒有作主項變換的另一條方程。註：代入後應得出一條一元一次方程式。步驟四解得出的一元一次方程。步驟五把得出的解代入 (3) 式，從中得出另一個未知數的值。步驟六寫出聯立方程的解。利用例一步驟一 x + y = 60 (1) x = 2y (2)步驟二方程 (2) 已是以 x 作為主項，所以不需要作主項變換 x = 2y(3)步驟三把 (3) 代入 (1) 得2y + y = 60步驟四2y + y = 603y = 60y = 20步驟五把 y = 20 代入 (3) 得 x = 40步驟六聯立方程的解練習題：1. 解2. 解3. 解4. 解試用代入消元法解聯立方程可會發覺運算是十分煩複？故此引入另外一個方法：加減消元法。加減消元法：步驟一先把兩條二元一次方程編號成 (1) 式和 (2) 式。步驟二將一條或兩條方程(有需要時)乘上合適的數字使到兩條方程的x (或y)的係數除了正負外都相等。步驟三把兩條方程加或減起上來，從而消去其中一個未知數。註：將兩條方程加或減後應得出一條一元一次方程式。步驟四解得出的一元一次方程。步驟五把得出的解代入(1)式或(2)式，從中得出另一個未知數的值。步驟六寫出聯立方程的解。例子步驟一 4x - 3y = 11 (1) 8x + 9y = 67 (2)步驟二從觀察所得，若把 (1)3然後和 (2) 式的左右邊分別相加，則 y 這個未知數會被消去。3(4x - 3y) = 31112x - 9y = 33(3)步驟三(2) + (3)8x + 12x = 67 + 33步驟四20x = 100x = 5步驟五把 x = 5 代入(1)得4(5) - 3y = 11y = 3步驟六聯立方程的解練習題：1. 解2. 解3. 解4. 解5. 上年度美國職業籃球芝加哥公牛隊的米高佐敦及柏賓在一場比賽中兩人為球隊共取得55分。若米高佐敦得分的3 倍較柏賓得分的2倍多55分，求米高佐敦和柏賓各自為球隊取得的分數。例一方格紙60555045403530252015105051015202530354045505560例二方格紙2101234補充練習題：設長方形的長為 x