数学实验教程_实验9(级数).doc

实验9 级数 - 59 -实验9 级数实验目的1理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数2理解Fourier级数的概念，并将函数展开成Fourier级数实验准备1数项级数、幂级数的收敛性判断；2幂级数的展开、级数求和；3Fourier级数的概念、展开方法；实验内容1函数的幂级数展开2收敛级数的和3Fourier级数展开软件命令表9-1 Matlab级数操作命令函数名称调用格式说 明symssyms 变量名1，变量名2,定义符号变量symsym(x,)定义符号变量taylortaylor()幂级数展开symsumsymsum(s,v,a,b)级数求和subssubs(s,old,new)替换求值plotplot(x1,y1,options,x2,y2,options,)绘制散点图实验示例【例9.1】级数观察观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。1. ； 2. 。【步骤】：Step1：计算部分和； Step2：描点观察。 【程序】：clearclcclffor n=1:100 for k=1:n p1(k)=1/k; p2(k)=(-1)k/k; end s1(n)=sum(p1); s2(n)=sum(p2);endplot(s1)plot(s2)syms i;symsum(1/i,i,1,inf)symsum(-1)i/i,i,1,inf)【输出】：图 9-1 部分和序列收敛性观察级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于ln2。【例9.2】调和级数实验欧拉常数记，研究C(n)的极限值是否存在。【程序】：%图形观察h(1)=1;for i=2:105 h(i)=h(i-1)+double(1/i); c(i)=h(i)-log(i);endplot(c) % 求极限syms k nlimit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf) 【例9.3】函数的幂级数展开将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。1；2；3。【步骤】：Step1：利用函数 taylor(f,n,v,a)将函数f(x)在指定点处展开；Step2：利用函数subs(s)求出近似值。【输出】：略。【例9.4】级数求和求下列幂级数的和函数。1（积分）； 2 （微分）；3（积分）。【步骤】：Step1：定义通项 f(n)；Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求级数的和。【程序】：clearclcsyms n x;f1=x(2*n-1)/(2*n-1);s1=symsum(f1,n,1,inf);f2=xn/(n*(n+1);s2=symsum(f2,n,1,inf);f3=n*(n+1)*xn;s3=symsum(f3,n,1,inf);【输出】：s1 =1/2*log(1+x)/(1-x)s2 =1-(x-1)/x*log(1-x)s3 =-2*x/(x-1)3【例9.5】Fourier级数展开及其和函数的逼近设是以为周期，振幅为1的方波函数，它在上的表达式为试将展开成Fourier级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近的情形。【原理】：以为周期的函数的Fourier级数为，其中 ，。【步骤】：Step1：求出f(x)的Fourier系数； 由于函数f(x)为奇函数，由Fourier系数的公式知道，an=0，因此它的Fourier级数只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数Step2：绘制逼近图形【程序】：参见Exm09Demo05.m。【输出】：如下图。图9-2 Fourier级数逼近实验练习1求下列级数的和：（1）（提示：微分，）； （2）（提示：积分，）；（3）（提示：考虑幂级数，）。2求