高考数学第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理教师用书文.docx

第六节正弦定理和余弦定理考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(2)abcsinAsinBsinC；(3)sinA，sinB，sinCcosA；cosB；cosC解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sinAsinB()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或135.()(4)在ABC中，.()解析(1)正确ABabsinAsinB(2)错误由cosA0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，BA.(4)正确利用a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不能确定C由正弦定理，得sinA，sinB，sinC，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cosC0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cosA，则b()A. B C2 D3D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选D.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，a1，b，则B_. 【导学号：66482172】或由正弦定理，代入可求得sinB，故B或B.5在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_.【导学号：66482173】2由题意及余弦定理得cosA，解得c2，所以SbcsinA42sin602. 利用正、余弦定理解三角形在ABC中，BAC，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长解设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3. 6分又由正弦定理得sinB，由题设知0B，所以cosB. 9分在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD. 12分规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练1(1)(2017郑州模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(bc)(sinBsinC)(ac)sinA，则角B的大小为()A30B45C60D120(2)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b_.(1)A(2)(1)由正弦定理及(bc)(sinBsinC)(ac)sinA得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cosB，cosB，B30.(2)在ABC中，cosA，cosC，sinA，sinC，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC.又，b.判断三角形的形状(1)(2017东北三省四市二联)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acosAbcosB，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2016安徽安庆二模)设角A，B，C是ABC的三个内角，则“ABC”是“ABC是钝角三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(1)D(2)A(1)因为acosAbcosB，由正弦定理得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由ABC，ABC，可得C，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立故选A.规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosBsinC，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形B法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2aca2b2ab.与三角形面积有关的问题(2015全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sinAsinC(1)若ab，求cosB；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22ac. 2分又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cosB. 5分(2)由(1)知b22ac. 7分因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca. 9分所以ABC的面积为1. 12分规律方法三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，即2cosCsin(AB)sinC，3分故2sinCcosCsinC可得cosC，所以C. 5分(2)由已知得absinC.又C，所以ab6. 9分由已知及余弦定理得a2b22abcosC7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5. 12分思想与方法1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2判定三角形的形状，主要