数学教学中的哲学内涵与人文意境.pdf

数学教学 中的哲学 内涵与人文意境 清华大学数学系 1 0 o 0 8 4 韩云瑞 西 安 通 信 学 院 7 1 0 1 0 6 杨 东升 序 言 从古希腊时代开始 数学与哲学 美学就结下不解 之缘 著名数学史家克莱因指出 实用的 科学的 美 学的和哲学的因素 共同促进了数学的形成 在判定 数学的价值方面 美的满足与实用的 科学的标准并驾 齐驱 1 恩格斯指出 数学中的转折点是笛卡尔的变数 有了变数 辩证法就进入了数学 l 2 J 作为人类文明的 重要成果 微积分的原理和方法包含丰富的辩证思想 在教学过程中阐明微积分中的辩证思想和方法 不仅 能够帮助学生从更高 更深的角度理解掌握微积分的 原理和方法 而且能够提高运用微积分的方法 的自觉 性 并且有助于培养创造能力 数学美感是数学文化的重要组成部分 数学美包 括数学的简约 清晰和井然有序 数学的对称 数学的 和谐 以及数学的奇异之美 数学之美不仅是可供欣赏 的艺术 也是启迪数学情趣 启发创造思维的工具 在 微积分中 数学之美更加多彩多姿 数学是抽象的 并且看起来往往是枯燥的 但是许 多概念和原理都能体现某种人文意境 这种意境可以 丰富数学的内涵 激发学生的兴趣 使得抽象枯燥的数 学概念变得生动活泼 平易近人 一 微积分 中的辩证思想 辩证法的核心是对立统一 即处在统一中的两个 相对立的事物的相互矛盾 相互转化 微积分的原理和 方法处处包含辩证思想 在教学中揭示各种概念之间 的辩证关系 是提高教学水平的有效途径之一 1 有限和无限的辩证关系 无限和有限是相反的概念 但 是无限的概念是借助有限表述的 两个概念之间的桥 梁是极限 2 函数的局部性质和全局性质是两个相 反的概念 在一定条件下 局部性质可以转化为全局性 质 3 演绎推理与归纳的辩证关系 数学不承认直 观感觉和归纳得到的结论 但是基于直观观察的归纳 推理是数学创造的重要途径 张景中先生指出 在某些 情形 归纳推理也可以证明定理 是演绎推理证明了 归纳推理的有效性 l 6 J 4 极限是因变量随 自变量 的变化趋势 但是极限概念必须用常量和不等式表述 颠倒变量的因果关系才能够使极限概念具有可观测 性 4 J 5 微积分主要研究非线性 非多项式的函数 但是用线性函数和多项式近似地表示 函数是研究函数 中学数学研究 编辑委员会 名誉主编 钟集 顾问 以姓氏笔画为序 王林全 张谋成 柳柏濂 主编 吴康 编委 以姓氏笔画为序 孙道椿 吕伟泉 何小亚 陈焯荣 陈奇斌 林长好 林少杰 姚静 章绍辉 黄志达 维普资讯 2 0 0 6年第 8期 中学数学研究 的重要方法 6 数学是精确的科学 数学模型要精 确 但是在建立模型时必须放弃对于绝对精确的追求 忽略次要因素 虽然偏离现实 但是能够简化问题 得 到与现实非常近似的结果 3 J 7 数学脱离现实而进 入抽象的最高层次 最抽象的东西 是解决现实问题最 有力的武器 这一悖论已经被广泛接受 l 8 数学 的体系结构和证明必须符合逻辑 但是数学的创造发 明是非常不合逻辑的 1 l J 下面就其中几个方面进行一些具体的分析 1 从有限到无限 以欧几里得几何为核心的古 希腊数学 具有封闭 静止和有限的特点 古希腊的哲 学家和数学家排斥 甚至惧怕无限 由于没有变化的观 点和科学极限的理论 有限和无限之间有道不可逾越 的鸿沟 有人利用这道鸿沟制造了一些数学悖论 这些 悖论曾在数学界与哲学界引起恐慌 其中有个关于龟 兔赛跑的著名悖论 兔子永远不能追上乌龟 因为每当 兔子追赶到乌龟原先的位置时 乌龟已前进到新的位 置 而且这个过程是无限的 在任何有限时间中 不可 能完成无限个过程 于是兔子永远不能追上乌龟 J 今天 凡学过级数的学生都可解释这件事情 尽管可以 人为地将兔子追赶乌龟的过程分成无限多步 但是完 成这无限多步所需时间是有限的 2 从局部到全局 函数的局部性质和全局性质 是不同的性质 但是在一定条件下 前者可以转化为后 者 区分两者 掌握由局部向全局转化的条件 是微积 分的重要内容 例如 函数 厂 在一点 的连续性是局部性质 只反映当 一 时的某种趋势 不包含 在点 o 以外其它点的任何信息 但函数的一致连续性是一种 在某个区间上的 全局性质 若f 在 a b 处处连 续 则局部性质就转化为一致连续的全局性质 又如 厂 0 是函数 厂 在点 o 的一种局部 性质 只包含很少的信息 如果在某个区间 上处处有 厂 0 那么局部性质就转化为函数在这个区间上 的全局性质 微分中值定理在这里起到关键作用 3 极限是因变量随自变量变化的趋势 是动态过 程 但极限概念的表述方式是静态的 用常量表述 且在其表述中颠倒了变量间的因果关系 通常 数列极限l i ma A的所谓 直观定义 是 n 当 n无限增大时 a 无限趋向于常数A 这种表述使人们脑子里出现一幅诗意的图画 孤 帆远影碧空尽 惟见长江天际流 但是我们不能断定帆 船是否真正驶往大海 也不知道帆船与大海之间还有 多少路程 因此依据直觉的表述既说不清 又靠不住 关于直觉的失败 还可参考以下两例 j 例 1 水果商贩出售一批桃和梨 桃 5 元2只 梨5 元 3只 商贩为算账简单 便按 l 0 元 5 只水果的方式出 售 他认为买卖双方都不吃亏 但在结账时 商贩发现 自己亏了钱 显然 商贩的直觉错了 例 2 某公 司招 聘 新职 员 甲种 岗位底 薪 是 l o o o 元 月 每月加薪 2 0 0元 乙种 岗位底 薪是 6 o o 元 月 每半月加薪 6 0元 两种岗位都是每半月 发一次薪 多数人根据直觉选择了甲种岗位 但实际情 况是 到了第 2 2 个月 乙种岗位的薪水就超过了甲种 岗位 由于这个答案与直觉不符 我们将两种岗位的薪 水以半月为单位列表说明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 2 2 田 5 0 o 5 0 o 6 0 0 6 0 0 7 0 0 7 0 o 8 0 0 8 0 0 9 1 5 0 o 1 5 0 o 乙 3 0 0 3 印 4 4 8 0 5 4 0 6 0 0 6 6 0 7 加 7 1 5 0 o 1 5 6 0 为什么在许多情景直觉靠不住 一个原因是人有 限的直觉能力与客观事物无限的变化之间的矛盾 靠 直觉表述概念带来的另一个问题 是结论的不可观测 性 任何一个概念 只有能够被观测到 检测到 才能 够对于这个概念进行运算 才能够应用 现在回到数列极限l i m a A的严格定义 n 如果对于任意给定的正数 e 都能找到正整数 只要自然数 n满足n N 就有 I a 一A I 则称 A 是数列 a 的极限 数列极限的这个定义 不是跟踪变量 a 而是以 点 A为中心 任意画一个开区间 A一 A 总存在 一 个正整数 当 n超过 时 a 就会进入这个区间 并且一旦进入 永远不再离开 于是我们看到一种无限 追求和 义无反顾 的精神 7 1 这种由因变量反求 自变 量的方法 体现了用常量描述变量的变化趋势和 以静 制动 的辩证思想 极限保号性是极限的一个重要性质 设 l i m a A B 曰 于是在这里我们体会到一种 超越精神 在趋向于 维普资讯 2 中学数学研究 2 0 0 6 年第 8 期 A的过程中 n 能够超越任何一个比A小的 目标 教学实践表明 对于抽象 枯燥的数学概念赋予这 样的具有人文内涵的解释 这种看起来与数学毫不相 干的解释能够使人体会到一种寓意贴切 饶有兴致的 人文意境 这个意境有时可以起到画龙点睛的效果 二 辩证思想产 生的方法论 揭示微积分中的辩证思想不仅是为了解释微积分 的内容 也更深刻地理解和掌握微积分的方法 1 繁简 难易 一般与特殊的关系及处理方法 在数学问题中 繁 与 简 难 和 易 是相反的概 念 但是借助于一定的方法 繁 可以转化为 简 难 可以转化为 易 一般与特殊的关系也如此 笛卡尔创造了一套寻求真理的方法 其第二条原 则是 把大问题分解为一些小难点 第三条是 由简到 繁 笛卡尔的方法论对数学产生了深刻影响 当人们面对一个难题或者复杂问题时 总是设法 通过转化和分解的手段化解难点 降低难度和简化问 题 当人们试图解决比较一般性的问题时 往往先要考 虑一个特殊情形的问题 在解决特殊问题的过程中发 现规律 积累经验 这就是辩证法的运用 这是进行数 学研究的一个非常基本的方法 在微积分的定理证明 和问题中 这是一个经常被用到的方法 例如 连续函数的零点定理是介值定理的特殊情 形 在证明过程中 我们先证明零点定理 然后借助于 一 个简单的技巧将介值定理的证明转化为零点定理的 推论 又例如 对于微分中值定理 先证明最简单的罗 尔定理 然后借助于辅助函数的方法将更为一般 更难 的拉格朗13 定理和柯西定理转化为罗尔定理的问题 再如 在格林公式 高斯公式和斯托克斯公式的证明过 程中 首先考虑一种简单的区域 然后将一般的区域分 解成简单的区域 从而达到先易后难 先特殊后一般 化繁为简的目的 2 函数的近似表示 微积分主要研究非线性和 非多项式的函数 但用线性函数和多项式近似地表示 函数 并由此获得函数的信息 是微积分的重要思想 函数微分是将曲线 面 变成直线 平面 的技巧 泰勒公式是将函数变成多项式的技巧 另外 用三角函 数多项式近似地表示周期函数也是微积分的重要方 法 但是在所有近似表示中 有两个问题需要注意 第 一 微分和泰勒多项式的逼近效果是局部的 傅里叶级 数 部分和对于函数的逼近效果是整体的 第二 近似 表示的精确程度和计算的复杂度是相矛盾的 如果想 获得更高的精度 就要在计算方面付出更多的代价 这 就是函数近似表示中的辩证法 就是微积分 中有关函 数近似表示的全部内容 3 返璞归真 追求 自然 张景 中先生有一句著 名的话 从学生头脑中找概念 5 J 在数学教学过程中 不管是概念的引入方式 还是定理证明的思路 应当尽 量 自然 尽量与学生已有的经验衔接 抽象化和形式化是纯数学的重要特征 但数学教 学应避免对两者的过度追求 试举两例 1 关于数列极限保号性 教材中有两种表述方 式 若 l i m 0 A 0 则存在 自 然数 v 当 n N n 时 恒有 0 0 设l i m 0 A l i m b B 若 A 日 则存在自然数 v 当 n N时 恒有 n b 有人喜欢用后者表述前者 认为更具一般性 可以 推出前者 但两个命题是等价的 更加重要的是 前者 更加简约 而且更加确切地反映了极限的本质 在许多 情形 简约的 平易的表述方式能够更加科学 清楚地 表述数学概念的实质 2 考察二元函数微分概念的如下表述方式 定义 假设二元函数 厂 Y 在点 0 Y o 存在两 个偏导数 和 如果当 一0 A y一0时有f x 0 y 0 y 一f X O Y o i x A x o 2 A y 则称 I厂 Y 在点 粕 Y 0 可微 分 并且称 和 的线性函数 A y为 厂 Y 在点 0 Y 0 的微分 J 与许多教科书中关于微分的更抽象化的表述比 较 此定义丝毫不失科学性和一般性 但因放弃了对抽 象化和形式化的过度追求 使微分概念比较平易 且使 整个微分的概念体系变得更加简约清晰 4 发展直觉思维能力 此处直觉 非指人的感官 的感觉 视觉 听觉 触觉 味觉和嗅觉 而是克莱因的 经验 感官和粗略猜想的结合 浓缩的经验 在 数学上 直觉能力可解释为一种判断力和洞察力 也是 学生的水平的一种反映 未经严格的推理证明 未经仔 细的计算 就能对于问题结论和解题思路作出初步的 正确的判断 这就是直觉能力 直觉能力来源于知识的 积累 理解深入 见多识广 以及正反两方面的经验 直觉不能最终证明结论是否正确 但是直觉能力 维普资讯 2 0 0 6 年第 8 期 中学数学研究 3 与高解题能力和创造能力有密切的关系 由直觉能力 可以从一个侧面判断一名学生的数学能力 例如 某个极限问题是不是不定式 当 一 时 无穷大量 x p P 0 l n 与a x 1 是什么关系 rl 在瑕积分l 扩 1 一 口 l n x d x 中 l n 对于瑕点0 和1 J 0 各有什么影响 下列两个命题是否正确 若 l i m厂 则 l i m f f 若 l i m f 则 l i m厂 事实证明 基本功扎实的学生已形成了一定的直 觉能力 能够对问题作出正确的判断 然后设法寻找依 据进行证明 基本功差的学生 则缺乏这种直觉能力 三 在欣赏数学美中提高兴趣 启发创新意识 数学美是一种超 自然的美 理性之美 数学美包括 简约之美 对称之美 和谐之美与奇异之美等 数学的 美感不仅是供欣赏的艺术 更是启发创造能力的途径 梭罗说 最美的必然 以数学形式来表达 毕达 哥拉斯宣称地球是球形的 因为他认为球形是立体中 最美的形状 数学 包括体系结构 概念表述和分析证明的过 程 都应当是简约 清晰和井然有序的 追求数学的简 约之美 与培养数学能力的教学 目标是一致的 数学的对称之美在微积分中体现得淋漓尽致 例 如 一元函数与多元函数的对称 连续变量与离散变量 的对称 微分与积分的对称 无穷积分与瑕级分的对称 以及反常积分与级数的对称等等 根据瑕积分与无穷 积分的对称性 可以得到关于瑕积分的概念和所有的 收敛判别法 根据微分与积分的对称 由微分法可以得 到求原函数的各种技巧等 在微积分中 数学的奇异之美往往可以激发学生 的学习兴趣和创造意识 所谓奇异 是指那些有悖于直 觉 直观与经验 的现象和规律 对于初学者来说 微 积分充满了奇异之美 例如 处处间断的函数 仅在整 数点连续 其它都是第二类间断点的函数 厂 o 0 但是在 的任意邻域中都不单调的函数 二元 函数极限中的种种奇异现象 条件收敛的级数改变求 和次序居然能够收敛于任意实数等 由于教学计划的约束 在非数学专业的微积分教 学中 一般回避这些问题 但这没有妨碍学生的好奇心 和钻研精神 至少对于部分学生 数学的奇异之美可使 他们增长学数学的兴趣 在钻研和思考中提高水平 结束语 教育数学的一个重要原则 是让数 学适合于教 育 为了达到这样 的目的 我们应当运用教育数学 的思想 认真地审视现有的数学知识的体系结构与表 述方式 从数学方面对于有关的内容进行深入研究 以 更加科学 更加简约和更加平易的方式向学生传授那 些最值得传授的知识 揭示数学中的哲学内涵 发掘数 学教学 中的人文意境 对于数学教学是一件很有意义 因而值得探讨的工作 参考文献 1 克莱 因 西方文化 中的数学 张祖 贵译 上海 复 旦大 学 出版社 2 0 0 5 2 李心灿 微积分的创立者及其先驱 北京 高等教育出版 社 2 0 0 2 3 M 克莱因 数学与知识的探求