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线性代数模拟题答案 线性代数模拟题答案 一 填空题 每小题 4 分 共 40 分 一 填空题 每小题 4 分 共 40 分 1 行列式 22 22 11 11 00 00 00 00 dc ba dc ba 12211221 dcdcbaba 2 已知 2424 1236 AB 1632 816 则AB 3 设矩阵 的秩为2 则 123 123 23 k k k k 2 4 设 A B均为 3 阶方阵 2 1AB 则 1 2A B 4 5 已知 ABBA 其中 则 120 210 002 B A 10 50 0 510 002 6 设 010 100 001 A 1 BP AP 其中为三阶可逆阵 则P 12 BA 11 0 1 1 0 0 0 2 7 设向量组 2 5 4 0 0 0 2 1 1 2 1 321 t的秩为2 则t 3 8 若向量组 1 1 1 1 1 1 321 线性相关 则 2或1 9 已知矩阵相似 则x 100 00 002 10 100 002 yB x A与 0 y 1 1 10 设3阶矩阵A的特征值1 2 2 1 4AE 3 二 单项选择题 每小题二 单项选择题 每小题 3 分分 共共 30 分 分 1 设 i j A是行列式A的元素 1 2 i j ai jn 的代数余子式 当ji 时下列各式 中错误的是 C A ininiiii AaAaAaA 2211 B 1122 jjjjnjnj Aa Aa Aa A C 1122ijijinjn Aa Aa Aa A D jninjiji AaAaAa 2211 0 2 若齐次线性方程组 20 30 23 xyz axz xz 0 存在非零解 则系数 D a A B C 1 D 1 2 2 3 以下不是n阶矩阵A可逆的充分必要条件的为 B A R An B 方程组0 Ax有解 C A是一些初等矩阵的乘积 D A的列向量组线性无关 4 设为 阶矩阵 且BA n0 AB 0 B 则必有 C A B 222 BABA 0A C 0A D 0B 5 已知A为对称矩阵 为可逆矩阵 则 A 必为对称矩阵 P A B T PAP 1 PAP C D PAP APA 6 向量组线性无关的充分条件是 D m 21 A 均不为零向量 m 21 B 中任意两个向量的分量不成比例 m 21 C 中有一部分向量线性无关 m 21 D 中任意一个向量均不能由其余 m 21 1 m个向量线性表示 2 7 已知矩阵 伴随矩阵 且有非零解 则 B 22 22 22 a a a A0 A0 x A A B C 2 a4 a2 a或4 a D 2 a且 4 a 8 设n阶矩阵A与B等价 则必有 B A 当时 B 当0 A0 B0 A时 0 B C 当时 0 aaAaB D 当 0 aaA时 aB 9 设 是非齐次线性方程组bxAE 的两个不同的解 则以下选项中一 定是A对应特征值 的特征向量为 C A B C D 10 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的 C A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 非充分 非必要条件 三 5 分 计算阶行列式 n 12 12 12 1 1 1 n n n n aaa aaa D aaa 解 解 把各列元素同时加到第一列 并提取第1列的公因子 得 2 2 11 2 1100 11110 1 1 1 11101 n nn n nii ii n aa aa Daa aa 1 n i i a 四 7 分 已知矩阵A的伴随阵 且 1 1 1 8 Adiag 11 3 ABABAE 求B 解 解 3 AA 而 8 A 故2 A 1 111 1 1 1 1 1 8 4 22 2 2 AAdiagdiag A 3 11 3 3 3 AE BAEAE BAEABE 1 1 1 1 3 2 2 2 EAdiag 得 11 1 2 2 2 3 EAdiag 11 3 6 6 6 1 BEAdiag 五 9 分 设 11 010 11 A 1 1 a b 已知方程组Axb 存在两个不同的解 求 a 求方程组Axb 的通解 解解 由存在两个不同的解 得Axb 3r Ar A b 0 31 2 3 2 2 2 1321 222 xbxxxaxxxxf 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1 特征值之积为12 1 求的值 ba 2 求一个正交变换 化二次型为标准形 并写出对应的正交矩阵P yPx 解 1 二次型f 的矩阵为 设A 的特征值为 20 020 0 b ba A 321 由题 设有 1 2 2 321 a 1224 20 020 0 2 321 ba b ba 解得 2 1 ba 2 由0 3 2 202 020 201 2 EA得A 的特征值为 3 2 321 当2 21 时 0 2 xEA 的系数矩阵 000 000 201 402 000 20 1 2EA对应方程02 31 xx 得线性无关的特征向量 0 1 0 1 0 2 21 当3 3 时 的系数矩阵 0 3 xEA 000 010 102 102 050 204 3EA对应方程组 0 02 2 31 x xx 5 得线性无关的特征向量 2 0 1 3 由于 321 已经是正交向量组 单位化得 5