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雏鹰文化培训中心初中数学 讲义第一章 代数初步知识1、1 代数式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。代数式是用基本的运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子,一定要弄清一个代数式有几种运算和运算顺序。代数式不含表示关系的符号，如等号、不等号如，等都是代数式，而，等都不是代数式1、2 列代数式列代数式要注意四点： (1)代数式中出现乘号，通常写作“或者省略不写 (2)数字与字母相乘时，数字写在字母前面 (3)除法运算写成分数形式 (4)当表示和或差而后面有单位时，代数式应加括号单项式的概念：像a/2、2ab、3xy等，它们都是数与字母的积，这样的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 若干个单项式的和组成的式叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫做常数项。如一式中：最高项的次数为5，此式有3个单项式组成，则称其为：五次三项式。多项式的名称是由项数和次数决定的1、3 代数式的值理解代数式的值：1 一个代数式的值是由代数式中字母的取值而决定的所以代数式的值一般不是一个固定的数，它会随着代数式中字母取值的变化而变化因此在谈代数式的值时，必须指明在什么条件下2 代数式中字母的取值必须确保做到以下两点：使代数式有意义，使它所表示的实际数量有意义，无意义；如果式子中字母表示长方形的长，那么它必须大于03求代数式的值的一般步骤：在代数式的值的概念中，实际也指明了求代数式的值的方法即一是代入，二是计算求代数式的值时，一要弄清楚运算符号，二要注意运算顺序在计算时，要注意按代数式指明的运算进行4。求代数式的值时的注意事项：（1）代数式中的运算符号和具体数字都不能改变。（2）字母在代数式中所处的位置必须搞清楚。（3）如果字母取值是分数时，作乘方运算必须加上小括号，将来学了负数后，字母给出的值是负数也必须加上括号。第二章 有理数2、1 正数与负数与绝对值绝对值 几何意义：在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值（absolute value）如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5，又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5，所以1.5的绝对值是1.5，代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等绝对值用“|a |”表示读作“a的绝对值”如：|2|读作2的绝对值。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，,绝对值是非负数0。 特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0|3|=3 |-3|=3两个负数比较大小，绝对值大的反而小比如:若 |2(x1）3+|2y4）|=0，则x=_,y=_。（|是绝对值）答案:2(X-1)-3=0 X=5/2 2Y-4=0 Y=2 一对相反数的绝对值相等：例+2的绝对值等于2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等)绝对值的几何意义和代数意义：几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 （在数轴上表示数a的点与原点的距离一定是非负数）代数定义：|a|=a0 a=aa0 或=0， 且|x-y|=y-x，所以x0，必可找到一个自然数n，使nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。 有理数加减混合运算1.理数加减统一成加法的意义：对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。2.有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。一般情况下，有理数是这样分类的：整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数 整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。 凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数一个困难的问题有理数的边界在哪里？根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。关于无理数与有理数无法比较的说明：对于定义无限不循环小数是无理数，无理数之外为有理数。则无理数很难被证实，而每一个无理数，无论认识多少位，都有有理数对应，而位数较短的有理数，都没有无理数对应，因此有理数多。对于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数，无限不循环数为无理数。对于很多位数多的无法分辨的数没有明确归属，而认为大于特定有限位的数都是无理数的人，才能证明无理数比有理数多，但那明显是将很多很多有理数归为无理数的结果。在这个定义下，由于界限不明，无法进行比较，除非有人能有力的证明。无限不循环小数不是有理数，如：0.10100100010000100000.0.1200000012000012000000120000.等式无限不循环小数，所以不是有理数循环小数化分数的方法0.777777.有一个数循环，分母是一个9，循环数是7.化分数后是7/90.535353.有两个数循环，分母是两个9，循环数是53.化分数后是53/99我们可以在数轴上表示有理数.注意画数轴的三要素(原点,正方向,单位长度). 有理数的由来古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国九章算术中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 有理数的现代理论关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z（Z -0）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - 0，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）（p2，q1）。Z（Z -0）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。2、12 近似数与有效数字一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些),这一个数称之为近似数(approximate number)如:我国的人口无法计算准确数目，但是可以说出一个近似数.比如说我国人口有13亿,13亿就是一个近似数. 近似数 1近似数的四则计算 1加法和减法 在通常情况下，近似数相加减，精确度最低的一个已知数精确到哪一位，和或者差也至多只能精确到这一位。 例如，一个同学去年体重30.4千克，今年体重比去年增加了3.18千克。求今年体重时要把这两个近似数加起来。因为30.4只精确到十分位，比3.18的精确度（精确到百分位）低，所以加得的和最多也只能精确到十分位。 为了容易看出计算结果的可靠程度，我们在竖式中每一个加数末尾添上一个“？”，用来表示被截去的数字。 30.4？ 3.18 33.5？ 可以看到，因为第一个加数从百分位起的数就不能确定，所以加得的和从百分位起数字也不能确定。 近似数的加减一般可按下列法则进行：（1）确定计算结果能精确到哪一个数位。（2）把已知数中超过这个数位的尾数“四舍五入”到这个数位的下一位。（3）进行计算，并且把算得的数的末一位“四舍五入”。 例1 求近似数2.37与5.4258的和。 先把5.4258“四舍五入”到千分位，得5.426，再做加法。 2.37 5.426 =7.796 把7.796“四舍五入”到百分位，得7.80。 例2 求近似数0.075与0.001263的差。 先把0.001263“四舍五入”到万分位。 0.075 0.0013 =0.0737 把0.0737“四舍五入”到千分位，得0.074。 例3 求近似数25.3、0.4126、2.726的和。 25.3 +0.41 2.73 =28.44 把28.44“四舍五入”到十分位，得28.4。 2乘法和除法 在通常情况下，近似