最小公倍数.doc

学科：数学教学内容：最小公倍数呈现目标【知识要点归纳】1.公倍数和最小公倍数的意义（1）公倍数的意义。几个数公有倍数，叫做这几个数的公倍数。如：12、24、36、48都是4和6的公倍数。（2）最小公倍数的意义。几个数的公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如：4和6的最小公倍数是12。2.求两个数的最小公倍数的方法（1）通常用短除法来求两个数的最小公倍数。如：除到商是互质数为止，再把所有的除数和商乘起来，得到：18和30的最小公倍数是2 33 590。（2）求两个数最小公倍数的两种特殊情况。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，如：12和6的最小公倍数是12。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。如：4和5的最小公倍数是45=20。3.求三个数的最小公倍数的方法（1）先用三个数的公有质因数去除，当三个数公有的质因数都找尽以后，再用任何两个数的公有质因数去除，把不能整除的那个数移下来，写在商的位置上，一直除到最后的三个商每两个数都是互质数一两两互质为止。再把所有的除数和商都乘起来。（2）两两互质。三个数中每两个数都是互质数，这三个数叫做两两互质，如：3、4和5三个数中，3和4、4和5、3和5都是互质数，这三个数就叫做两两互质。注意：像3、5和6中，有两个数（3和6）有公约数3，就不能说是两两互质。4.最大公约数、最小公倍数的比较（1）比较求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法。项目求两个数的最大公约数求两个数的最小公倍数相同点用短除的形式分解质因数直到两个商是互质数为止同左不同点把所有的除数连乘起来把所有的除数和商连乘起来（2）比较求三个数的最大公约数和最小公倍数的方法项目最大公约数最小公倍数从选用的除数看公约数公约数除到什么时候为止公约数只有1两两互质怎样计算结果除数连乘起来除数和商连乘起来名师点拨【典型范例剖析】例1 一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次分组每组5人也余下2人，第三次分组每组6人还是余下2人。问最少有多少名小朋友做游戏？分析：根据题意，要求最少有多少名小朋友做游戏，就是在求出4、5、6这三个数的最小公倍数后，再加上2。4、5和6的最小公倍数是 225360。602=62(名)答：最少有62名小朋友在做游戏。例2 一个数被3除余1，被6除余4，被8除余6。这个数最小是几？分析：根据题意，所求的这个数不能被3、6和8整除，但如果把这个数增加2，就能被3、6和8同时整除。现在要求这个数最小是几，就是求3、6和8的最小公倍数，再减去2。3、6和8的最小公倍数是321424。24-2=22答：这个数最小是22。【解题技巧指点】1.用短除法求几个数的最大公约数和最小公倍数时容易混淆。为了便于区分，可以简单地归纳为：最大公约数乘半边，最小公倍数乘半圈。2.在求几个数的最大公约数时，要注意每次选用的除数必须都是这几个数公有的约数；在求几个数的最小公倍数时，尤其要注意：一定要先把三个数的公约数找尽后，才能再找两个数的公约数。3.在求几个数的最小公倍数的计算过程中，要善于运用所学的运算定律去简便运算，这样可以提高计算的正确率和速度。4.求最大公约数和最小公倍数的两种特例不要混淆，请熟记下表内容。两数关系最大公约数最小公倍数互质数1是这两个数的乘积倍数是较小数是较大数既不互质又不成倍数除数连乘除数和商连乘5.正确判断是求已知几个数的最大公约数还是求最小公倍数是应用题的解题关键。技巧是：如果所求的数能够整除几个已知同类数，是求最大公约数的问题；如果所求数必须能同时被已知几个同类数整除，是求最小公倍数问题。如：用某数去除23、32结果都余2，问这个数最大是多少？(求最大公约数问题)某班同学如果每8人一组，或是每12人一组，结果差3人，求某班学生最少有多少人？(求最小公倍数问题)【课本难题解答】练习十五第21题分析：设这两个数是A、B，分三种情况考虑：（1）A和 B互质，则为4、9；（2）A是B的倍数关系，则可为1和36、2和36、4和36、6和36、9和36、18和36；（3）一般情况，当A、B有公约数6时，为12和18，当有公约数3时为9和12。解：可分为4和9、1和36、2和36、3和36、4和36、6和36、9和36、12和36、18和36、12和 18、9和12共11 组。练习十五第22题分析：从已知条件知道所求的数一定是8和12的公倍数，而又小于30，所以可以先求出8和12的最小公倍数，得出24，小于30，所以24就是所求的数。解：8和12的最小公倍数为24小于30，所以这个数是24。练习十五第 23题分析：小于50的3和5的公倍数有15、30和45。而3和5的最小公倍数是15。因为3015=2，4515=3，这就是说，3和5的公倍数都是它们的最小公倍数的倍数。解：3和5在 50以内的公倍数有15、30和45，它们是3和5的最小公倍数15的倍数。练习十五第24题分析：1路和3路再次同时发车时，所经过的时间必须既是3分的倍数，又是5分的倍数，求出它们的最小公倍数得15。所以至少再过15分才能使1路和3路汽车再次同时发车。解：3和5的最小公倍数为15，所以至少再过15分才能使两路汽车再次同时发车。练习十五思考题分析：2100个棱长1厘米的立方体堆成的长方体体积是2100立方厘米，它的底面积为 210010=210(平方厘米)。而210= 2537，再根据长和宽都大于高而且必须是整厘米，得到长是35=15(厘米)，宽是2714(厘米)。解：210010=210=1415，长和宽是15厘米和14厘米。练习十六第6题分析：根据题意，第一问是求8和10的最小公倍数，第二问是求比8和10的最小公倍数多3的数。解：8和10的最小公倍数是40。(答案：40块，43块)练习十七第11题分析：根据条件，植树的人数是3、4、6和8这四个数的公倍数。先求出这四个数的最小公倍数24。又知道植树人数在30和50之间，所以24的2倍，即48是植树的人数。3、4、6和8的最小公倍数是 2322=2424248(人)(答案：48人)练习十七思考题分析：30和45的最小公倍数是90，则至少间隔90米又有一根电线杆不必移动。解：再隔90米又有一根电线杆不必移动，即第四根电线杆不必移动。能力拓展【发散思维导训】导1 A、B两数的最大公约数是12，最小公倍数是72，且A、B不是倍数关系，求A、B。分析：两个数的最小公倍数是最大公约数的倍数，7212=6，而6是两个最后商的积，623=16，当最后商是1，6时，A、B为倍数关系，故最后商2、3。解：7212623，12224，12336，A、B为24、36。导2 暑假期间王老师每4天来学校一次，李老师每8天来学校一次，张老师每6天来学校一次。如果7月15日他们三人同一天返校，下一次三人同一天返校是几月几日？解：因为4、8、6的最小公倍数为24，15+24-31=8，所以下一次三人同一天返校是八月八日。训1 一个数，除以4余2，除5余1，这个数除以20余几？训2 已知甲、乙两数的最大公约数是bc，最小公倍数abbcd，如果甲数是abc，那么乙数是多少？训3 有一个数，被5除时余4，被6除时余1，被7除时余3，这个数最小是几？【作业优化设计】1.填空。（1）a和b都是自然数，如果a除以b商5没有余数，那么a和b的最大公约数是( )最小公倍数是（ ）。(2)如果a和b是互质的自然数，那么a和b的最大公约数是( )。最小公倍数是( )。(3)三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是( )、( )、( )。（4）一个自然数被5、6和7除都余1，在1000以内这样的数是( )、( )和( )。（5）100以内能同时被3和7整除的最大奇数是( )，最大偶数是( )。（6）一个数的最大约数是a，它的最小倍数是( )。（7）一个数的最小倍数是30，它有( )个约数。（8）72有约数 3，又是5的倍数，共有( )种填法。（9）所有偶数的最大公约数是( )，所有奇数的最大公约数是( )。（10）A、B的最大公约数是18，A、B的公约数是( )。2.判断。(对的打“”，错的打“”)（1）几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个。( )（2）两个不同的自然数的最大公约数一定比最小公倍数小。( )（3）如果三个自然数两两互质，它们的最大公约数是1，最小公倍数就是三个数的乘积。( )（4）如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数。( )（5）一个数的约数必定小于它的倍数。( )（6）a和b互质，a、b没有公约数。( )3.判断并改错。28和42的最小公倍数是142384，30和45的最小公倍数是31054504.选择题。(1)96是16与12的( )。公倍数最小公倍数公约数(2)几个质数的连乘的积是( )。合数质数最大公约数最小公倍数(3)甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是( )。15甲乙甲乙(4)a=225，b=235，另么a、b的最小公倍数是( )。6003006010(5)a、b是互质数，a、b( )。都是质数都是合数无法判断(6)按约数的个数，可以将自然数分成( )。2类3类很多类(7)a是质数，a( )。一定不能被2整除只有2个约数只有公约数1(8)12是24和36的( )。约数质因数最大公约数(9)一个数的最大约数( )它的最小倍数。=(10)a、b、c、d都是质数，甲=aab，乙=ac，丙=acd，那么甲、乙、丙的最小公倍数是( )。abcdaabcdaabbcd5.直接说出下列各组数的最小公倍数。(1)18和36的最小公倍数是( )。(2)45和135的最小公倍数是( )。(3)8、18和72的最小公倍数是( )。(4)48、16和 24的最小公倍数是( )。6.用短除法求下列各组数的最小公倍数。(1)36和54(2)21和56(3)35和42(4)15、16和18(5)28、35和207.应用题。(1)两个数的最大公约数是20，最小公倍数是240，已知这两个数中的一个数是60，另一个数是多少？(2)长方形砖长42厘米，宽26厘米，用这样的砖铺成一块正方形的地，至少需要多少块砖？(3)有两个自然数，它们的最大公约数是12，最小公倍数是360，求这两个数。快乐大本营下式中“数学俱乐部”分别代表哪些数字？参考答案1.（1）b a （2）1 ab （3）2 3 7 （4）211 421 841 （5）63 84 （6）a （7）6 （8）3 （9）2 1 （10）1 2 32.（1） （2） （3） （4） （5） （6）3.（1） （2）改正：3 30 45 5 10 15 2 33523=904.（1） （2