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第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 1 第第 6 6 章章 习题习题参考答案参考答案 6 6 1 1 思考题思考题 答案暂略 6 6 2 2 练习题练习题 6 2 1 设有界序列 3 4 0 2 3 5 nx 试求它的变换 X z 并确定其收敛域 解 223 53243X zzzzz 0z z时的序列 f n 2 收敛域为5 00 z时的序列 f n 3 收敛域为25 0 z时的序列 f n 解 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 3 2 1 2 n n n n n n u n un u nun 6 2 3 设 x n的有理z变换X z 包含一个极点z 1 2 已知x1 1 4 x n 是绝对可求和 的 而x2 n 1 8 x n 不是绝对可求和的 试确定序列x n 是左边 右边还是双边的 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 2 6 2 4 设离散序列x n 1 5 3 试求该序列的z变换 并确定其收敛域 解 6 2 5 设序列 1 nn x nu nunN 已知该序列 z 变换的收敛域 ROC 满足 1 z 2 试确定系数 和整数 N 应满足的条件 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 3 6 2 6 求序列x n n 0 95 n 6 的 变换 并画出 变换的零 极点图 解 6 2 7 有一序列y n 它与另两个序列x1 n 和x2 n 存在以下关系 12 3 1 y nx nxn 其中 1 1 2 n x nu n 2 1 3 n x nu n 试利用 变换的性质求出y n 的 变换Y z 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 4 6 2 8 求下列序列的z变换 画出零 极点图并指出收敛域 1 5 n 2 5 n 3 1 nu n 4 1 1 3 2 n u n 5 1 1 3 3 n un 6 1 3 4 n un 7 1 2 1 4 n nu nu n 8 2 1 2 3 n u n 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 5 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 6 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 7 6 2 9 求下列序列的z变换 画出零 极点图并指出收敛域 1 1 4 5 2 n u nu n 2 1 2 n n 3 1 2 n n 4 2 4 cos 1 64 n un 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 8 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 9 6 2 10 试用下面要求的方法 求出各 变换对应的序列 x n 1 部分分式展开法 X z 1 2 1 1 5 2 1 2 x n 是绝对可求和的 2 部分分式展开法 X z 3 1 4 1 8 1 x n 是绝对可求和的 3 长除法 X z 1 1 2 1 1 1 2 1 x n 为右边序列 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 10 6 2 11 求出 0 25 0 5 z X z zz 的全部逆变换 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 11 6 2 12 设序列x n 为右边序列 其 变换为 X z 1 1 1 2 1 1 1 1 将X z 表示成 1的多项式之比的形式 经部分分式展开求x n 2 将X z 表示成 的多项式之比的形式 经部分分式展开求x n 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 12 6 2 13 有一左边序列x n 其 变换为 X z 1 1 1 2 1 1 1 1 将X z 写成 的多项式之比的形式 2 将X z 部分分式展开 其中每一项都含 1 中结果的一个极点 3 求出该序列x n 解 6 2 14 一右边序列x n 的 变换已知为 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 13 X z 3z 10 z 7 5z 2 4z 1 1 z 10 5z 7 z 3 试求出n 1 3 用长除法求x 0 x 1 和x 2 的值 2 ROC为 z 1 2 b X z 1 1 1 1 4 2 1 2 d X z z 1 1 2 1 1 2z 1 z 1 2 f X z z 1 1 2 1 1 2z 1 2 z 1 2 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 15 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 16 6 2 17 针对下列离散 LTI 系统的系统函数 H z 试判断系统的稳定性和应果性 1 1 4 3 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 z 1 2 2 1 2z 3 16 3 z 1 z 4 3 1 2 2 2 3 3 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 17 6 2 18 设某离散LTI系统的单位样值响应 h n为 0 00 n an h n n 系统输入为 101 0 nN x n other 1 用卷积和方法求系统输出 y n 2 用 变换法求系统输出 y n 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 18 6 2 19 求下列序列的单边z变换 并标出收敛域 1 x1 n 1 4 5 2 x2 n 3 2 3 x3 n 1 2 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 19 6 2 20 针对如下离散系统的差分方程 已知输入序列x n 和初始条件y 1 试用单边 变 换求系统的零输入响应和零状态响应 1 y n 3y n 1 x n x n 1 2 y 1 1 2 y n 1 2y n 1 x n 1 2x n 1 x n y 1 0 3 y n 1 2y n 1 x n 1 2x n 1 x n y 1 1 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 20 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 21 6 2 21 序列 nx的自相关序列定义为 k xx knxkxn 试利用 nx的 z 变换 求出 n xx 的 z 变换 解 6 2 22 已知离散因果序列 x n的 z 变换为 5 0 1 1 2 zz zz zX 试用 z 变换的初值 和终值性质确定离散序列 x n的初值 0 x和终值 x 解 直接求出 6 2 23 某系统由差分方程 y n 1 2y n 1 1 4y n 2 x n 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 22 描述 1 试求系统的系统函数 2 若系统输入序列x n 1 2 u n 试求系统的输出序列y n 解 6 2 24 下面给出 4 个因果离散系统的系统函数 H z 是分别判断它们的稳定性 1 2 2 823 z zz 2 2 24 21 z zz 3 12 12 8 1 252 zz zz 4 1 12 1 1 z zz 解 根据极点分布直接判定 6 2 25 设一因果离散LTI系统由差分方程 y n y n 1 y n 2 x n 1 描述 1 求该系统的系统函数 H z 画出H z 的零 极点图 并指出收敛域 2 求系统的单位样值响应 h n 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 23 3 判断系统是否稳定 若系统不稳定 试确定一个满足该差分方程的稳定 非因果 单位样值响应 解 6 2 26 某离散LTI系统由差分方程 y n 10 3 y n y n 1 x n 描述 试求系统的单位样值响应 h n 并确定系统的稳定性 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 24 6 2 27 某离散LTI系统 其输入x n 和输出y n 满足下列差分方程 y n 1 2y n x n 1 若y 1 2 求系统的零输入响应 2 若x n 1 4 u n 求系统的零状态响应 3 当x n 1 4 u n 和y 1 2时 求 0时的系统的输出 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 25 6 2 28 设一离散 LTI 系统的差分方程是 1 kxkyky 试求其逆系统 1 zH 解 6 2 29 试计算三点滑动平均 MA 滤波器 1 1 1 3 y nx nx nx n 的幅度响应 和相位响应 解 因为系统的单位样值响应 h n为 1 1 1 3 3 3 h n 由此得到三点滑动平均滤波器的频率响应为 11 112cos 33 jjj H eee 它的幅度响应和相位响应分别为 1 12cos 3 j H e 和 0023 23 为负实数 相位角为时当 度 为正实数 相位角为时 当 0 3 2 cos 21 3 2 00 3 2 cos 21 3 2 0 3 2 cos 21 下图是三点滑动平均滤波器频率响应 j H e 的幅度和相位图 显然从图中可以看出 该 MA 滤波器平滑了输入序列 另外 由于 j H e 是频率 的偶函数 是频率 的奇 函数 故只需画出频率响应 0 部分 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 26 题图 6 2 29 三点 MA 滤波器的幅度和相位响应 6 6 3 3 综合题综合题 6 3 1 一个 变换为X z 的离散时间序列x n 满足如下 4 个条件 1 x n 是实的右边序列 2 X z 有两个极点 其中一个极点已知为z 1 2 3 3 X z 在原点有二阶零点 4 X 1 8 3 试求序列x n 的 z 变换X z 并给出它的收敛域 解 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 frequency in pi units H exp jw 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 1 2 3 4 frequency in pi units arg H exp jw 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 27 6 3 2 已知某离散线LTI系统可用如下一对差分方程描述 112 1 1 423 y ny nw nw nx n 55 1 2 2 1 43 y ny nw nw nx n 其中 x n为输入序列 y n为输出序列 w n为中间变量 试求 1 该系统的系统函数 H z和单位样值响应 h n 2 以 x n和 y n为变量的输入 输出差分方程 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 28 6 3 3 针对题图6 3 1所示的离散系统 1 试求其频率响应函数 2 粗略绘制出其幅频特性和相频特性 图6 3 2 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 29 6 3 4 设有两个数字滤波器的单位冲激序列 1 k h ku k 和 2 k h kau k 如果 它们的串联和并联传输函数分别是 zHC和 zHP 试问 zHC和 zHP之间有何关 系 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 30 6 3 5 已知一因果离散线性系统的差分方程为 0 2 1 0 24 2 1 y ny ny nf nf n 1 求系统的传输函数 zH 2 画出零 极点图 并说明其收敛域以及系统的稳定性 3 求出系统的单位样值响应 h n 4 当系统输入 f nu n 时 求系统的零状态响应 zs yn 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 31 6 3 6 设离散时间系统如题图 6 3 2 所示 试问 k 值为何值时可以使系统稳定 题图 6 3 2 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 32 6 3 7 用计算机对测量数据 x n进行平均处理 具体步骤为 每接收一个数据 计算机 自动将这一次数据和前三次收到的数据进行平均 试给出这一运算过程的频率响应 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 33 6 3 8 离散因果系统如题图6 3 3所示 题图6 3 3 1 求系统函数 H z 2 绘制系统的零 极点图 3 p取何值时 系统是稳定的 4 若1p 当输入 2 3 n x nu n 时 计算零状态响应 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 34 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 35 6 3 9 一个有理分布的实序列 x n 其z变换已知为 X z 1 证明 X zXz 2 证明 若0zz 是 X z的一个零点 则 0 zz 也是 X z的零点 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 36 6 3 10 设离散系统的差分方程如下式所示 311 121 483 y ny ny nx nx n 1 求系统函数和单位样值响应 2 画出系统函数的零 极点图 3 画出系统的幅频特性 4 画出系统的结构框图 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 37 6 3 11 设 12 x nx nxn 如果需要直接从卷积运算 12 x nxn 中分离出信号 1 x n和 2 xn显然是困难的 但是 借助某种线性滤波方法则易于分离出两个相加信号 题图 6 3 4 给出了所谓的同态滤波解卷积的原理框图 其中各模块的作用如下 1 算子 D 表示对 x n取 z 变换 取对数和逆 z 变换 得到包含 1 x n和 2 xn信 息的相加形式 2 L 为线性滤波器 可以将两个相加项分离 提取出所需的信号 3 1 D 是算子 D 的逆运算 也即取 z 变换 取指数和逆 z 变换 至此 可从 12 x nx nxn 中按需要分离出 1 x n和 2 xn 从而完成解卷积过程 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 38 试写出以上各步运算的表达式 题图 6 3 4 6 3 12 令 LPF hn是离散时间低通滤波器的单位样值响应 它的频率响应为 LPF H 试 证 明 系 统 1 n LPF h nhn 是 一 个 高 通 滤 波 器 其 频 率 响 应 为 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 39 LPF HH 6 3 13 针对由差分方程建模的LTI系统 利用反馈的概念 可以实现系统的另一种建模方 法 1 考虑题图 6 3 5 a 给出的非递归离散时间LTI滤波器 通过反馈 可以实现一个递 归滤波器 为此 考虑题图 6 3 5 b 的结构 其中 H z是题图 6 3 5 a 系统的系统函数 试求该反馈系统的系统函数 并求出关于整个系统输入和输出的差分方程 2 若设题图 6 3 5 b 中的 H z是一个递归LTI系统的系统函数 即 1 N i i i N i i i o c z H z d z 试问 如何确定系数K 1 N cc和 0 N dd的值 使得闭环系统函数为 0 0 N i i i N i i i b z Q z a z 其中 i a和 i b都是已给定的系数 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 40 题图 6 3 5 a 题图 6 3 5 b 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 41 6 3 14 某离散LTI系统 其输入x n 和输出y n 满足下列差分方程 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 42 y n 1 5 2y n y n 1 x n 3 说明系统可能稳定 也可能不稳定 可能因果 也可能非应果 4 给出系统的零 极点图 求三种可能的系统单位冲激响应 并证明其中每一个都满 足系统的差分方程 解 6 3 15 已知离散 LTI 系统的差分方程为 1 6 5 1 nxnynyny 试根据该系统差分方程的零 极点分布确定其单位样值响应的几种可能情况 并证明每种情 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 43 况都满足上述差分方程 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 44 6 3 16 考虑如下输入输出方程描述的两个移动平均系统 1 2 1 1 nxnxny 1 和 1 2 1 2 nxnxny 2 显见 式 1 对输入信号序列求平均 式 2 则对其进行差分运算 试求出 1 两个系统的单位样值响应 2 两个系统的频率响应 3 试画出两个系统的幅度响应图 4 试解释两个系统的滤波作用 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 45 6 3 17 考虑设计一个离散时间逆系统 用于消除信息数据在信道中传输时由多径效应引起 的失真 现设一个二径传播信道的系统模型是 1 y nx nax n 要求 1 设计能从 y n中恢复 x n的因果逆系统 2 检验该逆系统是否稳定 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 46 6 3 18 试设计一个系统 使其输出 y n是 1 1n nnM 各点输入之平均 1 给出描述系统输出 ny与输入 nx之间关系的系统差分方程 2 求系统的系统函数 zH 3 绘出3 M时的系统零 极点图 4 当3 M时 用加法器 乘法器和延迟器给出系统的框图 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 47 6 3 19 设离散 LTI 系统 S 的单位样值响应为h n 取其 变换为H z 已知系统满足以下 条件 1 单位样值响应h n 是实的右边序列 2 lim 1 z H z 3 z 有两个零点 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 48 4 z 的极点中有一个位于 z 3 4圆上的一个非实数位置 试判断系统的应果性和稳定性 解 6 3 20 针对下列三个离散因果 LTI 系统的系统函数 H1 z 1 1 1 1 4 2 1 2 3 1 1 9 2 H2 z 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 H3 z 1 1 1 1 2 2 1 1 1 4 2 1 试针对每个系统的系统函数画出直接型框图实现 2 试针对每个系统的系统函数画出两个二阶系统级联的方框图 其中每个二阶子系统 应该都是直接型实现 3 对每个系统函数 判断是否都存在可由四个实系数相乘的一阶系统级联的框图实现 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 49 6 3 21 考虑下面两个序列 x1 n 1 2 n 1 u n 1 和 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 50 x2 n 1 4 n u n 设序列x1 n 的单边和双边 变换分别为 1 Xz和 1 d Xz 序列x2 n 的单边和双边 变换分别 为 2 Xz和 2 d Xz 1 根据双边 z 变换的定义和卷积定理 求出g n x1 n x2 n 2 根据单边 z 变换的定义和卷积定理 求出g n x1 n x2 n 3 解释 1 和 2 的结果为何不同 解 第六章 z 变换 第 6 章 习题参考答案 51 6 3 22 设输入序列s n 作用于一离散 LTI 系统 其输出序列为x n 该系统由差分方程 x n s n 8 s n 8 建模 式中0 a 1 1 求系统函数 1 X z H z S z 画出零 极点图并指出收敛域 2 若希望用另一个离散 LTI 系统从输出x n 中恢复出输入s n 求系统函数 2 Y z Hz X z 以便有y n s n 试求H2