数学文化的探究教学案例设计_数列的递推公式.pdf

忍 一8 获学救李 2 009年第2期 数学文化的探究教学案例设计 一数 列的递推公式 3 2 5 014 浙江省温州中学 李芳马玉斌 321004 浙江师范大学教师教育学院张维忠 浙江师范大学与浙江省丽水市的两所中学 合作开展一年的校本教研培训活动 培训形式除 了专家讲学外 大量的是 同课异构 式的教研活 动 20 08年3月1 4 一 1 5 日在浙江省丽水中学 丽 水学院附中就高一年级的高中新课程必修5第2 章 数列的递推公式 数列复习课第1课 进行了 4节公开课教学 同一内容分别由浙江省丽水中 学 温州中学与丽水学院附中的教师执教 其中 温州中学执教的李芳老师的教学设计是在温州 中学特级教师马玉斌老师以及浙江师范大学张 维忠教授等专家指导下完成的 而且她又是唯一 有机会就同一内容讲授2次的执教老师 下面给 出的是李芳老师前后两次上课的教学实录与我 们的思考 1 初次上课的教学设计 1 1 回顾 回顾一 复习等差数列 等比数列的定义式 递推公式 及通项公式 为后面由递推公式推导 通项公式做铺垫 回顾二 必修5中2 1的例2 谢宾斯基三角 形 l 介绍数学的历史与文化 上世纪初 波兰的数学家谢宾斯基想要找到 一个图形 当它的面积无限减小时 它的周长却 无限增大 用几何画板进行迭代演示 2 数一数 将上述迭代过程逐一展示 如图l 让学生 数数在每个图形中浅色三角形的个数依次为多 少 引出该等比数列的递推式及通项公式 3 再数一数 每个 图形中浅色 深色三角形的总个数依次 为多少 学生容易得 出前三项为1 4 1 3 图 1 1 2探究 探究一 第4项是多少 从特殊到一般 引出 递推公式 方法一 几何方法 从第二个图像起 每一个 图像可以看成由前 一个图像的3份缩影 加上中间 1 个深色三角形 如图2 因此b 3b 一 1 1 n 2 方法二 代数方法 从前三项的数值 1 4 1 3中可以猜想 b 3b 一 l 1 2 b4 3b3 1 3 x 13 1 40 方法三 代数方法 bZ一bl 3 b3一bZ 9 b4一b3 27 猜想b 一b 一 l 3 一 2 b4 b3 33 13 27 40 方法四 几何方法 从第二个 图像起 每一个图像是在前一个图 200 9年第2期 救学救学 忍 一9 像的基础上 将每个浅色三角形的中位线构成的 三角形变为深色 这样如图3所示的圈内1个三 角形就变为4个三角形 增加了3个三角形 图3 在第 一1个 图形中 浅色三角形的个数为 3 一2 所以6 6 一 1 3 一2 x3 即b b 一i 3 一 1 n 2 归纳 当我们面对一个较为复杂的数列时 若很难一眼看清其全貌的话 可以先寻找出其递 推关系 这就是本堂课的复习重点一数列的递 推公式 递进 然而 我们得到该数列的递推公式便 满足了吗 请间 它的第5项是几 第6项是几 学生轻松回答 那么 第100项是几呢 学生一时 语塞 随即提笔思考 探究二 第10 0 项是多少 引出求通项公式 的方法 方法一的引导 教师让学生观察递推公式 b 3bn 1 n 2 Lb 一 在递推式b 3b 一 1 2 中 若去1 就是等比数列 若改3为1 则是等差数列 是否 可构造以 3为公比的等比数列呢 如何把常数1 进行分配呢 假设等式左边分得 则右边就得 30 所以有 令 m一3 一 饥 贝 一 委 一 一 一 一 产 一2 一 r 1 1 二 裙纵 妥卜为以b l 妥为首项 3为公比的等比 L 一 ZJ 一 2 一 一 一一 一 数列 b 6 告 一 告 3介一 3n一1 小结 这可谓 殊途 同归 同一个数列有两 个不同的递推公式 两个不同的递推公式推出同 一个通项公式 虽分别用了 累加澎 和 构造法 但却都是化归为等差或等比数列的有关概念来 解决 探究三 试由递推公式 6 b 一 1 3 一 二 2 提问 由 值b 的关系 此问题 bZ bl 3 1 b3 bZ 32 如何得b3与初始 b 1 b 4 Lb 4b 一3b 一 n 2 推得数列 b 的通项公式 给学生一些思考时间 部分学生均只能由已 知条件求出第3项为1 3 第4项为4 0 则猜想就是 前面的数列 b 教师则引导从b 二3纵一 l 1 n 2 开始出发 是否可再构造等比数列 即 令b b t b b n 一 1 则 从而 诱导出利用 累加澎 来解决 bZ bi 3 1 b3 bZ 32 b b 一 i 3 一1 a 或 l 3 累加得 r l少 e s 由 b bi 31 32 教师小结以上解法 3n一1 十了 一几 一 二 Z 其一 用了累加法 此法早在等差数列中由 定义式推导通项公式就曾用过 类似的还有累乘 法 其二 用了等比数列求和公式 方法二的引导 教师再让学生观察递推公式 即为探究二中的两个递推公式 当然此数列就是 前面的数列 bn 1 3 巩固思考 已知数列 a 满足 a l 1 a 1 a la 二 试写出该数列的前三项 并归纳它的通项 公式 意图 l 让学生再次经历特殊到一般的归 纳过程 培养合情推理的能力 2 从归纳的结果 中发现通项的分母为等差数列的通式 从而为严 格论证开启思路 1 4归 纳小结 当我们研究一个较为复杂的数列时 若不能 马上得出它的通项公式 可以先通过其特殊项或 忍 一1 0 救学救学 2009年第2期 其蕴含的几何背景来发现它的递推公式 然后利 用累加法 累乘法 构造法等 将递推公式化归 为等差数列 等比数列的有关问题 从而最终求 出数列的通项公式 特殊项 几何背景 发现口 递推公式 化归为等差数 列 等比数列 通项公式 1 5课外作业 1 若数P j a 满足a l 1 则 a a介 l 二了下a山 l乙个1 探 究一不变 探究二改进 提出问题 即数列的第10 0项 是多少 引出求通项公式的方法 一开始 教师先不引导 而是给学生一定的 思考时间 教师的行为改变了 学生的反映也随即发 生了变化 不久 学生甲在其草稿纸上写下 2 在三角形纸片内有 个点 连同三角形的 顶点共 n 十3 个点 以这 n 十3 个点作为小三 角形的顶点 设三角形纸片最多可以剪成嘶 个 小三角形 如 al 3 aZ 5 试写出数列 甄 的通项公式 3 试说明谢宾斯基三角形的面积与周长的 变化特征 2 改进后上课的教学设计 以上是第一天在丽水中学上课的课堂实录 课堂上学生探究的效果不理想 前段与后段较好 中间探究部分还不能很好地引起大多数学生的 共鸣 在当天的评课专题研讨会上专家与丽水中 学的数学老师给出了许多建设性的改进意见 李 芳老师将案例作了修改 第二天在丽水学院附中 授课 教学效果甚好 以下是第二天在丽水学院附中上课的课堂 实录 为了便于前后对照 下面标题的序号与前 面初次上课的教学设计标题序号相同 内容相同 部分将略去 2 1 回顾 改进 知识直接性复习引入改为问题背景式 引入 如 写出下列数列的一个通项公式 1 1 3 5 7 2 1 4 16 64 学生回答 1 a Zn一1 2 6 4 一 老师提问 你是怎么求出来的 纵 bl 31 32 1 3 1 32 教师小结以上解法 3 n一l 十3 Q n 九一 l J 一1 一一 9 其一 其二同初次上课的教学设计 其三 从学生探究的结果纵 3几一1 2 出发 引导其表达式中是否蕴藏着等比数列 等比数 列的本质是什么 3几 从而化归为 1 二 只 3 等形式有什么启示 乙 Zb 1 3 n b n Zbn 2 3 几 bn l一 b 叠 一 告 3 2石 3几 等形式 进而发 一 1 现数夕u土 少 i 几 百 了 tZ白 几 一 2吞 n 于 纵 十 一 b 等均应为等比数列 为另一递推公 式构造等比数列推导通项公式创造条件 探究三改进 寻找递推公式中的几何背景 先给学生充分的思考时间 学生 甲 我求得 了b 3 1 3 b4 4 0 所以我 猜测就是前面的数列 即纵 二 有一定的局限性 3 九 一1 2 当然这 二 二 b 二1 字生回答 囚为 a l 一a 二2厂子二 4 O几 由等差 等比数列的通项公式得出数列 l 是等 差数列 数列 2 是等比数列 这样就复习了前面的知识 为后面的探究作 好铺垫 2 2探究 学生乙 我根据式子的特征 将一个b n移到 等号左边 得 b 1 一 b 3 b 一b 一 则 纵 十l一 b n 为以 3为公比的等比数列 教师小结 其一 对于乙的解法 教师先给予充分肯定 再提出思考 你怎么想到从等号右侧移一个b n 到 左侧呢 一般情况下 如何解决呢 引出利用待 定系数法构造等比数列的方法 见初次上课的教 学设计 其二 前面的递推式我们均能从几何背景找 到它们的解释 对于此递推公式 仍能从谢宾斯 基三角形中得到验证吗 如图4 4个图1中的图案 3 的缩影去除3 个图1中的图案 2 的缩影即可得 图1中的图案 4 即有b n 4b 一3b 一 n 2 同时 辅 200 9年第2期 救学救学乡11 以几何画板的动画演示 结果更加形象 引起学 生极大的兴趣 图 4 3 讨论与反思 惜通高中数学课程标准 实验 指出 数学 是人类文化的重要组成部分 数学课程应适当反 映数学的历史 应用和发展趋势 数学对推动社 会发展的作用 数学的社会需求 社会发展对数 学发展的推动作用 数学科学的思想体系 数学 的美学价值 数学家的科学精神 l l 而 数列的递 推公式 是高中新 旧教材均有的代数内容 看 起来比较简单 即 了解递推公式是给出数列的 一种方法并能根据递推公式写出数列的前几项 但笔者给出的教学设计却是 源于 教材 高于教 材 谢宾斯基三角形原本是新教科书中的一个 例题 文献l z 1中2 1的例2 只给出了数列前面 几项 笔者的教学设计结合文献 s 第1 0章内容 作了深度挖掘 从谢宾斯基三角形出发 引导学 生探究数列的递推公式 由于有先前一节课的 经验 第二次改进后的教学设计留给学生的探究 梯度恰当 加上数学历史与文化的渗透 学生的 参与度很高 真正实现 了师生互动 数形结合的 思想以及数学的本质 模式建构等都得到了充分 体现 进一步 通过使用数学教学软件 几 何画橱 现场制作谢宾斯基三角形 并演示其中的变化 b 二1 寻找递推公式 a 十1一a 2 二 书 立 4 b n 二 J 一 户 产 一 下 1 一 一 b n 吞 一 1 3 一 n 2 b 1 4b 一3乙 一l n 2 等的几何背景 学生从谢宾斯基三角形的一系 列变化中观察出了数列中项数的变化及其各种 关系 具体讲 从探究图中浅色三角形个数的计 数间题 自然过渡到对图中浅色 深色三角形总 个数的计数问题探究 这种从不同视角去引导 学生观察分析谢宾斯基三角形的变化 并从中探 究数列的递推公式和通项公式 传递自然 连贯 贴切 气氛融洽 师生精神状态 良好 突显了学 生的主体地位 参考文献 l 中华人民共和国教育部制 普通高中数 学课程标准 实验 人 民教育出版社 200 3 z 人民教育出版社 课程教材研究所 中 学数学课程教材研究开发中心 普通高中课程 标准实验教科书 数学A版必修5 人民教育出 版社 200 6 31张维忠 文化视野中的数学与数学教育 人民教育出版社 200 5 上接 第冬2页 二 二 1 二 解对数有一点好处 这是敌人来犯的概率为妥的 一 一 一 一 一 一 一 2 特殊情形 如为博褒姐一笑 天天无端燃烽火 烽 火台传送的信息就不是1了 当然 归根结底 对数函数是一种增长比较缓慢 的函数 当x c o 比任何的幂函数的增长都慢 施 最后一个问题是有关函数的文化背景 通常都是介绍函数概念发展的历史过程 学生 听得似懂非懂 张 函数的文化现象非常丰富 例如 事物普 遍联系的哲学观点 指数爆炸与 复 杂性 的数量 指标 同一种数据的两种不同解释等等 详见 中 学数学教学参考 高中版 200 7年第1期 这里 值得一提的是 函数 一词的翻译 英文f u n c ti o n 一词 译为函数 始于1859年 意为 凡此变数中 函彼变数 则此为彼之函数 首见于清代数学家 李善兰 1 8 11 一188 2 与英国人伟列亚 力合