高二数学(文)第二学期.pdf

高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 10 新课预习 根据教学大纲 以周为单位在网上以文本的形式发布 新课预习 或 阶段 小结 的内容 一中网校特聘教师根据每周教学所涉及的各知识点 重点与难点进行剖 析 并通过典型例题分析进行深入探究 学生利用此份文稿进行有针对性的预习 找出 自己存在的问题 并通过听课及时解决 从而切实提高听课效率 第二学期 第一周 课程内容 第 10 章 整式 1 1 回归分析的基本思想及其初步应用 1 2 独立性检验的基本思想及其初步应用 高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 10 教 材 封 面 教材出版社 人民教育出版社 教材版本 普通高中课程标准实验教科书 A 版 教材册次 数学选修 1 2 高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 10 1 准备知识要点 获取样本数据的方法 从样本数据中提取信息的一些统计方法 如用 样本估计总体分布及数字特征等内容 2 本阶段知识要点 1 通过对具体问题的分析 了解回归分析的必要性和回归分析的一般步骤 会求回归直线 方程 作散点图 并会运用所学习的知识对实际问题进行回归分析 掌握回归分析的实际 价值和基本思想 并会用回归分析对具体事件进行分析 2 通过对典型案例的探究 了解独立性检验的基本思想 方法和初步应用 了解实际推断 原理和假设性检验的基本思想 方法和初步应用 统计是研究如何合理的收集 整理 分析数据的学科 它可以为人们判定决策提供依据 在日常生活中 人们常常需要收集数据 根据所获得的数据提取有价值的信息 作出合理 的决策 统计案例在现实生活中的应用极为广泛 好多生产中的质量控制等都用到统计分析的有关 知识 在社会问题的研究中 利用统计分析的问题也有许多 如预测人的寿命 某个年龄 段的死亡率 军事工业中也可以用来分析炮弹的杀伤半径 射程等 刑警利用人的脚印 前臂长度等预测人的身高 也是用了统计学的有关知识 1 1 回归分析的基本思想及其初步应用 函数关系 一种确定性关 一 变量间关系的判定 相关关系 一种非确定性关系 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 相关关系是一种普通关系 函数关系是一种理想关系 正相关是指两个变量有相同的变化 趋势 负相关是指两个变量有相反的变化趋势 二 求回归直线方程 对处理相关关系时 我们常把有相关关系 不确定性关系 转化为函数关系 确定性关 系 当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时 我们所求出的函数关系 x b a y 就是回归直线方程 步骤如下 1 作出散点图 将问题所给数据在平面直角坐标系中描点 即得散点图 从散点图中可 看出样本点是否呈条状分布 进而判断两个量是否具有线性相关关系 高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 10 2 求回归系数 b a 最小二乘法 x b y a x n x y x n y x x x y y x x b i n i i i n i i n i i i n i 2 2 1 1 2 1 1 i n i i n i y n y x n x 1 1 1 1 y x 称为样本点的中心 回归直线过样本点中心 y x 3 写出回归直线方程 a x b y 线性回归方程中的截距 a和斜率 b 都是通过样本评估而来的 存在着误差 这种误差可能 导致预报结果的偏差 回归直线方程 x b a y 中的 b 表示 x 增加 1 个单位时 y 的平均变化量为 b 而 a表示 y 不随 x 的变化而变化的部分 可以利用回归直线方程 x b a y 预报 x 取某一个值时 y 的估计值 三 回归分析的基本思想 1 线性回归分析 书上例 1 说明 1 用统计方法解决问题的基本步骤 提出问题 收集数据 分析整理数据 进行预测 或决策 2 自变量 x 称为解释变量 用横坐标表示 因变量 y 称为预报变量 用纵坐标表示 3 最小二乘法得到线性回归方程 4 线性回归模型与一次函数的不同 因所有的样本点不共线 所以线性函数模型 y bx a e 只能近似地刻画 其中 y 称作预报 变量 x 称作解释变量 a 与 b 为模型的未知参数 残差变量 e 是 y 与 y bx a 之间的误 差 称为随机误差 是一个随机变量 一般假定它的均值为 0 E e 0 方差 D e 2 0 由于 y bx a e 即 Ey bx a y 的期望值是 x 的一次函数 所以在实际问题中 线性回归 模型适用的范围要比一次函数大得多 特别地 当残差变量恒等于 0 时 线性回归模型就变成一次函数模型 综上所述一次函数模型是线性回归模型的特殊形式 线性回归模型是一次函数模型的一般 形式 由模型近似所引起的误差 5 残差变量 e 的主要来源 忽略地某些因素的影响 观测误差 6 线性相关关系强弱的描述 用相关系数 r 来衡量 画出散点图 高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 10 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 y n y x n x y x n y x y y x x y y x x r i n i i n i i i n i i n i i n i i i n i 当 r 0 时 表明两个变量正相关 r 1 线性相关性越强 散点图 一条直线 当 r0 75 时 认为两个变量有很强的线性相关关系 7 效应 观测值减去总的平均值 总偏差平方和 2 1 y y i n i 表示总的效应 残差 a x b y y y e i i i i i 残差平方和 2 1 i i n i y y 代表了随机误差的效应 回归平方和 总偏差平方和 残差平方和 2 1 y y i n i 表示解释变量的效应 偏差平方和分解公式 总的偏差平方和 回归平方和 残差平方和 推导过程 2 1 2 1 y y y y y y i i i n i i n i 2 1 2 1 2 1 i i i n i i n i i i n i y y y y y y y y 而 1 i i i n i y y y y 1 i i i n i x b a y x b x b 1 x x b x b a y x x b i i i n i 1 x x b y y x x b i i i n i 0 2 1 1 x x b y y x x b i n i i i n i 解释 总偏差平方和 2 1 y y i n i 刻画了预报变量 y 的变化程度 回归平方和 2 1 y y i n i 刻画估计量 x b a y 的变化程度 估计量由解释变量 x 决定 回归平方和刻画了预报变量的变化中由解释变量通过线性回归模型所引起的哪一部分变 化程度 而残差平方和 2 1 i i n i y y 刻画了残差变量变化的程度 高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 10 平方和分解公式解释为 预报变量 y 的变化程度可以分解为由解释变量 x 引起的变化程 度与残差变量 e 的变化程度之和 y bx a e 8 相关指数 R 2 用来刻画回归的效果 模型的拟合效果 由平方和分解公式 2 1 2 1 2 1 i i n i i n i i n i y y y y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y y y y y y y y i n i i i n i i n i i n i 意味着 在线性回归模型中 预报变量 y 的 1 个单位的变化 需要由解释变量 x 贡献 由残差变量贡献 因此 在线性回归模型中 预报变量 y 的变化中的 100 2 1 2 1 y y y y i n i i n i 是由解释变量 x 引 起的 由 移项得 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 R y y y y y y y y i n i i i n i i n i i n i 上式说明了在线性回归模型中相关指数与平方和分解公式之间的关系 R 2 的值越大 说明残差平方和越小 也就是模型的拟合效果越好 在线性回归模型中 R 2 表示解释变量 x 对预报变量 y 变化的贡献率 R 2 1 表示回归的效果越好 R 2 1 表示解释变量和预报变量的线性相关性 强 作用 若某组数据可采取几种不同回归方程进行回归分析 则可以通过比较 R 2 的值来做出 选择 即选择 R 2 大的模型作为这组数据的模型 9 残差分析 一种回归诊断的方法 残差变量是一个不能被观测的量 即在实际问题中无法得到残差变量的观测量 因此 不 能希望通过某种方法获取残差变量 e 的值以提高预报变量 y 的估计精度 但都能估 计预报变量观测值中所包含的残差变量 这种估计对于查找样本数据中的错误和模型的评 价极为有用 一种回归诊断的方法 最简单的残差分析是观测残差图 具体步骤如下 计算残差 i i i y y e 画残差图 纵坐标为残差 横坐标通常可以是观测样本编号 自变量 x 或因变量的预测 值 分析残差图 高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 10 找异常值 若有两个样本点的残差比较大 需要确认在采集样本点的过程中是否有人为 的错误 若数据采集有错误 必须予以纠正 然后再重新利用线性回归模型拟合数据 若 数据采集没有错误 则需要寻找其他原因 另外 残差点比较均匀的落在水平的带状区域 中 说明选取的模型比较合适 带状区域宽度越窄 说明模型拟合精度越高 回归方程的 预报精度越高 10 预报时需要注意的问题 回归方程只适用于我们所研究的样本的总体 建立的回归方程一般都有时间性 样本取值的范围会影响回归方程的适应范围 不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值 2 回归分析的基本思想 通过散点图直观地了解两个变量的关系 然后通过最小二乘法 建立回归模型 最后通过分析相关指数 随机误差等评价模型的好坏 如果模型比较好地 刻画了两个变量的关系 对自变量的某个值 就可以通过模型预测相应因变量的值 3 非线性问题 在大量的实际问题中 研究的两个变量不一定都呈线性相关关系 它们之间可能呈指数关 系或对数关系等非线性关系 在某些情况下可以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两 个变量之间的关系 书上例 2 说明 1 确定变量 2 画散点图 其目的是确定回归模型的形式 其方法和确定拟合这些数据的函数模型一样 通过已有的函数图象形状的知识确定回归模 型的形式 3 分析回归模型的类型 对原始数据进行相应的变换 把非线性问题转化成线性问题 变换的目的 使变换后数据散点分布在一条直线的周围 以便借助线性回归模型解决问题 4 分析拟合效果 借助相关指数 R 2 5 小结 注意体会统计方法的特点 处理数据有不同的统计方法 回归模型 统计学 关心的是寻求最有效的数据处理方法 书上例 2 的数据与回归线性曲线是吻合得相当好的 这表明确定性关系 如公式 函数关 系等 和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟 由于有实验误差 测量误差等存在 变量之间的确定性关系往往通过相关关系表现出来 反过来 在有些问题中 可以通过研 究相关关系来深入了解变量变化的内在规律 从而找到它们的确定性关系 研究非线性回归问题时 我们先画出已知数据的散点图 然后把它与学过的各种函数 幂 指 对 二次函数等 图象作比较 挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数 然 后 采用适当的变量置换 把问题化为线性回归分析问题 使其得到解决 4 比较拟合效果的基本步骤 高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 10 对于给定的样本点 x1 y1 x2 y2 xn yn 两个含有未知参数的模型 y 2 1 b x g a x f y 和 其中 a 和 b 都是未知参数 可以按以下步骤来比较它们的 拟合效果 1 分别建立对应于两个模型的回归方程 y 2 1 b x g a x f y 与 其中 b a与 分 别是 a 和 b 的估计值 2 分别计算两个回归方程的残差平方和 与 n 1 i 2 1 1 i i y y Q n 1 i 2 2 2 i i y y Q y y y y 3 2 1 2 1 2 1 的好 的效果不如 反之 的好 的效果比 则 若 10 828 时 有 99 9 的把握认为 X 与 Y 有关系 2 当 k 7 8 9 时 有 99 5 的把握认为 X 与 Y 有关系 3 当 k 3 841 时 有 95 的把握认为 X 与 Y 有关系 4 当 k 2 706 时 认为没有充分的证据显示 X 与 Y 有关系 高二数学 文 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 10 题型一 求回归直线方程 例 1 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y 万元 有如下统计数据 x 2 3 4 5 6 y 2 2 3 8 5 5 6 5 7 0 若 y 对 x 呈线性相关关系 试求 1 回归直线方程 2 估计使用年限为 10 年时 维修 费用为多少 解 1 i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2 2 3 8 5 5 6 5 7 0 xiyi 4 4 11 4 22 32 5 42 0 xi 2 4 9 16 25 36 3 112 90 5 4 5 1 2 5 1 i i i i i y x x y x 08 0 4 23 1 5 23 1 4 5 90 5 4 5 3 112 5 5 2 2 2 5 1 5 1 x b y a x x y x y x b i i i i i 回归直线方程为 a x b y 1 23x 0 08 2 当 x 10 时 y 1 23 10 0 08 12 38 万元 估计当使用 10 年时维修费用为 12 38 万元 题型二 线性回归分析 例 2 10 名同学在高一 x 和高二 y 的数学成绩如下表 x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72 1 y 与 x 是否具有相关关系 2 如果 y 与 x 具有相关关系 求回归直线方程 解 1 作相关性检验 高二数学 文 第二