求轨迹问题.doc

轨迹问题求轨迹方程的基本步骤1 建立坐标2 设点3 找等量关系4 代入并化简5 检验求轨迹的常用方法1 直译法2 代换法一 直译法例题y1: 一动点到正三角形三边的距离的平方和是常数m2 , 试求动点的轨迹方程。解: 如图建立直角坐标系 , 则 O ( 0, 0 ) , 设 D ( h , 0 ) , P ( x , y )BPEAB于E , PFOB于F , PGOA于G F则P点满足 P | | PE | 2 + | PF | 2 + | PG| 2 = m 2 DEP OB : y = x 即 x y = 0 xGO OA : y = x 即 x + y = 0A AB : x = h 即 x h = 0 | PE| = | h x | , | PF| = | | , | PG| = | | ( h x ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = m 2化简得: ( x h ) 2 + y 2 = ( m 2 h 2 ) m h 时 , 是圆心在 ( , 0 ) 的 , 半径为 的圆 ;m = h 时 , 是点 ( , 0 ) ;m 0 ) , 求动点 M的轨迹方程并说明它表示什么曲线.解：设MN切圆C于N , 则 | MN | 2 = | MO | 2 | ON | 2设M (x , y) , 则 = l 化简得 : (l 21) (x 2 + y 2 )4 l 2x + (1 + 4 l 2) = 0(1) 当l = 1时: 方程为 x = , 表示一条直线; (2) 当 l 1 时: 方程化为(x )2 + y2 = , 表示一个圆3: 一动点到直线 x = 3 的距离等于它到圆 x2 + y2 = 16 的切线长, 求动点的轨迹方程。解: 设 P ( x , y ) l : x = 3 PAl于A , PB切圆x 2 + y 2 = 16于B则 P | | PA | = | PB | OBP为 Rt | OP | 2 | OB | 2 = | PB | 2 = | PA | 2即 x 2 + y 2 4 2 = | 3x | 2 化简得 y 2 = 6 ( x )二 代换法 1: 已知两点P （ 2 ， 2 ） ， Q （0 ， 2 ）以及一条直线 l : y = x ， 设长为 的线 AB上移动, 如图. 求直线PA和QB的交点M的轨迹方程 。Y解：依题设A(t, t)，B(t + 1, t + 1)，其中t为参变量。则有QPPA：y2 = (x + 2) (t 2) XOQB：y2 = x (t 1) BA若 = t = 0，此时直线PA和BQ平行，无交点。若t 0，直线PA和QB相交，设交点M的坐标为(x, y)，由式有M t = 代入式，得 y2 = (x + 2)整理得 x 2y 2 + 2x2y + 8 = 0 当t = 2或1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标(2, 4)或(0, 4)也满足式所以，所求动点的轨迹方程是 x 2y 2 + 2x2y + 8 = 02: 椭圆的长轴为AA1 , P为椭圆上的任一点, 引 AQAP , A1QA1P , AQ和A1Q的交点为Q, 求Q点的轨迹方程 。解: 如图建立直角坐标系则可设椭圆的方程为 设 P ( x 0 , y 0 ) , Q ( x , y ) 则 AQ : y = ( x + a ) yPA1OQxAA1Q : y = ( x a ) 即 得 0 = 2 a x 0 + 2 a x , x 0 = x 以x 0 = x代入上式得 y 0 = ( x 2 a 2 ) + = 1 化简得 x = a 或 3: 给定双曲线 x 2 = 1 , 过点A ( 2 , 1 ) 的直线 l 与所给双曲线交于两点P1及P2 ,求线段 P1P2 的中点P的轨迹方程。解: 设 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) , P 1P2 的中点为 M ( x , y )(1) 若 x 1 x 2 , 则 P 1P 2 方程为 y 1 = ( x 2 ) (1)P 1 , P2 是双曲线上的点 x 12 = 1 (2 ) x 22 = 1 (3 ) x = y = (4 )则 (2 ) (3 ) 得 ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 )= 0 (5)以 (1) , (4) 代入 (5 ) 得 2 x 2 y 2 4x + y = 0为所求的轨迹方程(2) 若 x 1 = x 2 这时 x = 2 , P点的坐标为 ( 2 , 0 ) 也满足所求轨迹方程4: 自双曲线 x 2 y 2 = 1上一动点Q引直线l : x + y = 2 的垂线, 垂足为N , 求线段QN中点P的轨迹方程。解: 设P , Q , R的坐标分别为 (x , y ) , (x 0 , y 0 ) , (x 1, y 1 ) PN l , k PN = 1 . 此时有 (1) 点 P是 QN的中点 , = (2 )将 (1 )代入 (2 ) 得 (3 )将 (3 ) 代入双曲线方程 x 2 y 2 = 1 , 化简后得点 P 的轨迹方程为 2 x 2 2 y 2 2 x + 2y 1 = 0练习一1. 到两点F1 (3 , 0 ) , F2 (9, 0 ) 距离之和等于10的点的轨迹方程是 ( )(A) 16x2 + 25y2 = 400 (B) 16 (x 6 )2 + 25 (y 6 )2 = 400 (C) 16 (x 6 )2 + 25y2 = 400 (D) 4x2 + 5y2 = 202. 到定点F (2 , 0 )的距离是到定直线l : x = 2的距离的一半的点的轨迹方程是 ( )(A) 3x 2 + 4y2 20x + 12 = 0 (B) 4x2 + y2 12x + 20 = 0 (C) 3x2 + 20 y2 20x + 12 = 0 (D) x2 + 3y2 20x + 12 = 0 3. 等腰三角形ABC底边的两个端点为A (1, 2 ) , B (4 , 1 ) , 则点C的轨迹方程是 .4. 已知A(0,7) , B(0,7) , C(12,2) , 以C为一个焦点作过A , B的椭圆 , 椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 ( ) (A) y2 = 1 ( y 1) (B) y2 = 1 (C) y2 = 1 (D) x2 = 15 . 己知两圆O1 , O2 内切于A , 圆O1的半径为R , 圆O2的半径为3R , 动圆M与圆O1外切 , 且与圆O2内切 , 求动圆圆心M的轨迹方程.练习二1. 倾斜角为 的直线交椭圆 + y2 = 1于A , B两点 , 则线段AB中点的轨迹方程是 .2. 动直线y = a与抛物线y 2 = (x2) 相交于A点 , 动点B的坐标是 (0 , 3a ) , 求线段AB中点M的轨迹方程.3. 过抛物线y2 = 4x的焦点作直线 , 与抛物线交于点P , Q , 则弦PQ的中点的轨迹方程是( )(A) y 2 = 2x 4 (B) y 2 = 2x + 1 (C) y 2 = 2x 2 (D) y 2 = 2x + 24. 两定点A (2 , 1) , B ( 2 , 1 ) , 动点 P 在抛物线y = x2上移动 , 则PAB重心G的轨迹方程为 .5. 自抛物线y 2 = 2 x上任意一点P向其准线l引垂线 , 垂足为Q, 连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于点R , 求点R的轨迹方程答案：练习一 : 1: C ; 2: A; 3: 3x y 6 = 0 ( x ) ; 4: