高考数学古典概型与几何概型精品

第2讲 古典概型与几何概型 1 基本事件的两个特点 1 任何两个基本事件是 互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 的和 2 古典概型 基本事件 1 具有以下两个特点的概率模型称为古典概型模型 简称 古典概型 有限 试验中所有可能出现的基本事件只有 个 每个基本事件出现的可能性 相等 2 古典概型的计算公式 P A A包含的基本事件个数总的基本事件个数 3 几何概型的定义 1 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 或 成比例 则这样的概率模型为几何概率模型 简称 为几何概型 长度 面积 体积 2 几何概型的特点 无限不可数 相等 试验的结果是 的 每个结果出现的可能性 3 几何概型的概率公式 P A 构成事件A的区域长度 面积或体积 区域的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 1 从长度分别为2 3 4 5的四条线段中任意取出三条 则以 这三条线段为边可以构成三角形的概率是 D A 14 B 12 C 23 D 34 C 3 在长为3m的线段AB上任取一点P 则点P与线段两 端点A B的距离都大于1m的概率是 B A 14 B 13 C 12 D 23 概率为 则阴影区域的面积为 4 盒子中有大小相同的3只白球 1只黑球 若从中随机 地摸出两只球 两只球颜色不同的概率是 5 如图15 2 1 边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒豆子它落在阴影区域内的 23 图15 2 1 83 考点1 古典概型 例1 先后随机投掷2枚正方体骰子 其中x表示第1枚骰子出现的点数 y表示第2枚骰子出现的点数 1 求点P x y 在直线y x 1上的概率 2 求点P x y 满足y2 4x的概率 计算古典概型事件的概率可分为三步 算出基本事件的总个数n 求出事件A所包含的基本事件个数m 代入公式求出概率p 互动探究 1 2010年湛江一模 甲乙两人各有四张卡片 甲的卡片分别标有数字1 2 3 4 乙的卡片分别标有数字0 1 3 5 两人各自随机抽出一张 甲抽出卡片的数字记为a 乙抽出卡片的数字记为b 游戏规则是 若a和b的积为奇数 则甲赢 否则乙赢 1 请你运用概率计算说明这个游戏是否公平 2 若已知甲抽出的数字是奇数 求甲赢的概率 解 1 将甲乙所得ab的所有可能结果列表如下 由表可知 ab的基本事件总数为16 其中 ab为奇数 记为事件A 的结果有6种 ab为偶数 记为事件B 的结果有10 种 由此可得甲赢的概率为P A 63168 考点2 几何概型 例2 两人相约6时到7时在某地见面 先到者等候另一人10分钟 如果另一人还没到 这时方可离去 试求这两人能会面的概率 解题思路 此题涉及了两个变量 应设未知数 根据条件列出不等式 转化为坐标平面内的平面区域 用几何概型求解 几何概型的关键在于构造出随机事件A所对应的几何图形 利用几何图形的度量来求随机事件的概率构造出度量区域 图15 2 3 A 互动探究 错源 没有注意顺序问题 例3 现有一批产品共有6件 其中4件为正品 2件为次 品 1 如果从中取出一件 然后放回 再取一件 求连续3次 取出的都是正品的概率 2 如果从中一次取3件 求3件都是正品的概率 误解分析 关于不放回抽样 计算基本事件个数时观察的 角度不一致 互动探究 3 一个盒子中装有标号为1 2 3 4 5的5张标签 随机地选取两张标签 根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率 1 标签的选取是无放回的 2 标签的选取是有放回的 例4 2010年惠州调研 已知关于x的二次函数f x ax2 2bx 8 1 设集合P 1 2 3 和Q 2 3 4 5 分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b 求函数y f x 在区间 2 上有零点且是减函数的概率 2 若a是从区间 1 3 任取的一个数 b是从区间 2 5 任取的一个数 求函数y f x 在区间 2 上有零点且是减函数的概率 解题思路 这个题的两问分别考查的是古典概型和几何概 型问题 又联合了一元二次方程根的分布问题 互动探究 4 集合A x 1 x 5 集合B y 2 y 6 1 若x A y B 且均为整数 求x y的概率 2 若x A y B 且均为整数