第六节 行列式按行(列)展开.pdf

线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 张 奎张 奎 中国劳动关系学院中国劳动关系学院 Email zhangkui6 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 第一章第一章 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 第六节行列式按行 列 展开第六节行列式按行 列 展开 一 余子式与代数余子式一 余子式与代数余子式 二 行列式按行 列 展开法则二 行列式按行 列 展开法则 三 小结思考题三 小结思考题 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 例如例如 3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa 3331 2321 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 一 余子式与代数余子式一 余子式与代数余子式一 余子式与代数余子式一 余子式与代数余子式 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 在阶行列式中 把元素所在的第行和第 列划去后 留下来的阶行列式叫做元素 的 在阶行列式中 把元素所在的第行和第 列划去后 留下来的阶行列式叫做元素 的余子式余子式 记作 记作 n ij a ij 1 n ij a M ij 记 记 ij ji ij MA 1叫做元素的叫做元素的代数余子式代数余子式 ij a 例如例如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 343231 141211 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA 23 M 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444341 343331 242321 12 aaa aaa aaa M 12 21 12 1MA 12 M 333231 232221 131211 44 aaa aaa aaa M 1 4444 44 44 MMA 个代数余子式 对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别 个代数余子式 对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 引理引理一个阶行列式 如果其中第行所有 元素除外都为零 那末这行列式等于与它 的代数余子式的乘积 即 一个阶行列式 如果其中第行所有 元素除外都为零 那末这行列式等于与它 的代数余子式的乘积 即 ijij AaD n i ij a ij a 44434241 33 24232221 14131211 000 aaaa a aaaa aaaa D 1 444241 242221 141211 33 33 aaa aaa aaa a 例如例如 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 证证 当位于第一行第一列时当位于第一行第一列时 ij a nnnn n aaa aaa a D L MMM L L 21 22221 11 00 即有即有 1111M aD 又又 11 11 11 1MA 11 M 从而从而 1111A aD 在证一般情形在证一般情形 此时此时 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式第一章行列式第一章行列式 nnnjn ij nj aaa a aaa D LL MMM LL MMM LL 1 1111 00 1 2 1行对调第行第行行依次与第的第把行对调第行第行行依次与第的第把 iiiD 得得 nnnjn nijii ij i aaa aaa a D LL MMM LL MMM LL 1 1 11 1 1 00 1 ij a ij a 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 1 2 1 对调 列第列第列列依次与第的第再把 对调 列第列第列列依次与第的第再把 jjjD 得得 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a D LL MMM LL MMM LL 1 11 1 1 11 00 11 ij a 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a LL MMM LL MMM LL 1 11 1 1 2 00 1 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a LL MMM LL MMM LL 1 11 1 1 00 1 ij a ij a 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 nnnjn ij nj aaa a aaa D LL MMM LL MMM LL 1 1111 00 中的余子式 中的余子式 ij M 在余子式仍然是 中的在行列式元素 在余子式仍然是 中的在行列式元素 ij nnjnnj nijiji ij ij a aaa aaa a a LL MMM LL MMM LL 1 11 1 1 00 ij a ij a 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 故得故得 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a D LL MMM LL MMM LL 1 11 1 1 00 1 1 ijij ji Ma 于是有于是有 nnjnnj nijiji ij aaa aaa a LL MMM LL MMM LL 1 11 1 1 00 ijijM a ij a ij a 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 定理 定理 行列式等于它的任一行 列 的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和 即 行列式等于它的任一行 列 的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和 即 ininiiii AaAaAaD L 2211 ni 2 1L 证证 nnnn inii n aaa aaa aaa D L LLLL LLLL LLLL L 21 21 11211 000000 二 行列式按行 列 展开法则二 行列式按行 列 展开法则二 行列式按行 列 展开法则二 行列式按行 列 展开法则 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 nnnn i n aaa a aaa L LLLL L LLLL L 21 1 11211 00 nnnn i n aaa a aaa L LLLL L LLLL L 21 2 11211 00 nnnn in n aaa a aaa L LLLL L LLLL L L 21 11211 00 ininiiii AaAaAa L 2211 ni 2 1L 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 例例例例1 1 3351 1102 4315 2113 D 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 解解解解D 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 055 1111 115 1 33 055 026 115 55 26 1 31 50 28 40 12 rr 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 证证证证用数学归纳法用数学归纳法 21 2 11 xx D Q 12 xx 12 ji ji xx 式成立 时 当 式成立 时 当12 n 例例例例 2 2 证明范德蒙德证明范德蒙德 Vandermonde 行列式行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx D L MMM L L L 1 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 阶范德蒙德行列式成立 对于假设 阶范德蒙德行列式成立 对于假设 11 n 0 0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx D n n n nn nn n n L MMMM L L L 就有 提出 因子列展开 并把每列的公按第 就有 提出 因子列展开 并把每列的公按第 1 1 xxi 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 2 11312j jin inn xxxxxxxxD L 1 j jin i xx 22 3 2 2 32 11312 111 n n nn n n xxx xxx xxxxxx L MMM L L L n 1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 1 形式形式 按升幂排列 幂指数成等差数列按升幂排列 幂指数成等差数列 2 结果结果 可为正可为负可为零可为正可为负可为零 3 共共n n 1 2项的乘积项的乘积 对于范德蒙行列式 我们的任务就是利用它计 算行列式 因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果 对于范德蒙行列式 我们的任务就是利用它计 算行列式 因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果 你能识别出范德蒙行列式吗 你能识别出范德蒙行列式吗 你会用范德蒙行列式的结果做题吗 你会用范德蒙行列式的结果做题吗 关于范德蒙行列式注意以下三点关于范德蒙行列式注意以下三点 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 如 如 642718 16914 4312 1111 D 34 14 13 24 23 21 12 1111 4321 4 3 2 1 4 3 2 1 2222 3333 aaaa aaaa aaaa D 641641 27931 1111 8421 D12 又如 又如 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 3333 2222 4 3 2 1 4 3 2 1 4321 1111 aaaa aaaa aaaa D 3333 2222 1 2 3 4 1 2 3 4 1234 1111 aaaa aaaa aaaa 1 2 3 12 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 推论推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 ji AaAaAa jninjiji 0 2211 L 1 1 1 111 11 nnn jnj ini n jnjnjj aa aa aa aa AaAa L MM L MM L MM L L 证证行展开 有按第把行列式行展开 有按第把行列式jaD ij det 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 1 1 1 111 11 nnn ini ini n jninji aa aa aa aa AaAa L MM L MM L MM L L 可得换成把可得换成把 1 nkaa ikjk L 行第行第 j 行第行第 i 时当时当ji 0 2211 jiAaAaAa jninjiji L 同理同理 0 2211 jiAaAaAa njnijiji L 相同相同 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 0 1 ji jiD DAa ij n k kjki 当 当 当 当 0 1 ji jiD DAa ij n k jkik 当 当 当 当 0 1 ji ji ij 当 当 其中 当 当 其中 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 例 例 例 计算行列式例 计算行列式 277 010 353 D 解解解解 27 01 3 D 27 按第一行展开 得按第一行展开 得 27 00 5 77 10 3 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 05320 04140 01320 25271 02135 D例 例 例 计算行列式例 计算行列式 解解解解 05320 04140 01320 25271 02135 D 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 660