新课程背景下变式教学案例在高三数学复习中的应用.pdf

4 中学数学研究2 0 1 4 年第1 1 期 新课程背景下变式教学案例在高三数学复习中的应用 河南省沈丘县教育局教研室 4 6 6 3 0 0 苏明亮 新课程的课堂教学提倡教与学互动 变式教学 恰好是教与学互动的一种很好的形式 变式教学主 要是指对例题 习题进行变通推广 让学生能在不同 角度 不同层次 不同情形 不同背景下重新认识的 一种教学模式 在数学教学中 恰当合理的变式能营 造一种生动活泼 宽松自由的氛围 能开拓学生视 野 激发学生的思维 有助于培养学生的探索精神与 创新意识 尤其是高三复习阶段 在复习时间少 内 容多的情况下 如果能合理恰当地运用变式教学 把 互相关联的知识通过变式教学案例融合在一起 既 能提高学生分析问题 解决问题的能力 又能节省复 习时间 提高复习效率 概括地讲 变式可分为知识变式 概念定义 定 理公式法则变式 题目变式 多题一解 方法交 式 一题多解 等类别 现就新课程背景下变式 教学案例在高三数学复习中的应用 作具体的介绍 一 知识变式 1 概念定义变式 从学生能力发展的要求来看 形成数学概念 或定义 揭示其内涵与外延 比数学概念 或定 义 本身更重要 在复习概念 或定义 的教学过程 中 利用此类变武案例引导学生积极参与概念 或 定义 的形成过程 可加速加深学生对概念的理解 巩固所学知识 提高学习的兴趣和积极性 从而培养 学生阅读理解 观察与分析 抽象与概括等能力以及 自学能力 案例1在复习集合的运算教学中 可作 即时 定义 的变式问题 变式1 0 6 年四川 非空集合G 关于运算 满足 1 对任意n 6 G 都有口o6 G 2 存 在eEG 使得对一切口 G 都有口 e e 口 口 则称G 关于运算 为 融洽集 现给出下列集合 和运算 G 非负整数 o 为整数的加法 G 偶数 O 为整数的乘法 爹G 平面向量 o 为平面向量的加法 D G 二次三项式 为 多项式的加法 D G 虚数 o 为复数的乘法 其中G 关于运算 为 融洽集 的是 写出所有 融洽集 的序号 解 结合题设定义 逐一判断 可知 正确 变式2 0 9 年北京 设A 是整数集的一个非空 子集 对于 EA 如果矗一1 隹A 且后 1 譬A 那么 五是A 的一个 孤立元 给定S 1 2 3 4 5 6 7 8 由S 的3 个元素构成的所有集合中 不含 孤立 元 的集合共有个 解 依题意可知 孤立元 必须是没有与后相 邻的元素 因而无 孤立元 是指在集合中有与后相 邻的元素 因此 符合题意的集合是 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8 共6 个 变式3 1 1 年广东 设J s 是整数集Z 的非空子 集 如果V 口 6 S 有口6 S 则称 s 关于数的乘法 是封闭的 若丁 y 是z 的两个不相交的非空子集 丁 uy Z 且V 口 6 c r 有0 6 c r V 石 y z y 有戈弘 y 则下列结论恒成立的是 A r y 中至少有一个关于乘法是封闭的 B r y 中至多有一个关于乘法是封闭昀 C r y 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D r y 中每一个关于乘法都是封闭的 解 取r zl 石E 一 O 且戈EZ y zI 菇 0 且菇 z 可得r 关于乘法不封 闭 y 关于乘法封闭 排除D 又取r 奇数 y 偶数 可得丁 y 关于乘法均封闭 故排除B c 故 选A 变式4 0 7 年广东 s 是至少含有两个元素的 集合 在s 上定义了一个二元运算 即对任意 的口 6 s 对于有序元素对 口 6 在s 中有唯一确 定的元素 半6 与之对应 若对任意的n 6 S 有 口木 6 木口 6 则对任意的口 6Es 下列等式中不 恒成立的是 A o 木6 丰o 口 B 口木 6 术口 爿c 口水6 口 C 6 木 6 木6 6 D 口木6 6 宰 I c6 6 解 对任意的口 6 S 有凸术 6 I 口 6 所以 o 木 6 木口 I c 口木6 6 木 木6 口 可见B 成立 在c 选项中 将口j c 6 木o 6 中的p 换成6 即得6 木 6 水6 6 成立 故c 正确 在D 选项中 令 口木6 c 则c I c 6 I c 6 成立 故D 正确 只有A 选项不能恒成立 万方数据 2 0 1 4 年第l l 期 中学数学研究 5 案例3在复习函数的教学中 为了使学生对 定义域 值域等易混淆问题能正确区分可作如下变 式 变式1 以戈 m x 2 8 戈 4 的定义域为R 求m 的取值范围 解 由题意眦2 8 戈 4 0 在尺上恒成立 m 0 且 0 得巩 4 即m 的取值范围是 4 1 变式2若八戈 l 0 9 3 m 石2 8 戈 4 的定义 域为R 求m 的取值范围 解 由题意眦2 8 戈 4 0 在R 上恒成立 m 0 且 4 即m 的取值范围是 4 1 变式3 以戈 l 0 9 3 m 戈2 8 茹 4 的值域为 R 求m 的取值范围 解 令f 僦2 8 戈 4 则要求t 能取到所有大 于0 的实数 所以当m O 时 t 能取到所有大于0 的 实数 当m 0 时 m 0 且 0 卸 严 一 m n y m n 一1 6 O 所以1 和9 是 2 一 m n y m n 1 6 0 的两个根 解得m n 5 当 y m 时 笫 生 o z 尺 也符合题意 即m n 5 2 定理公式法则变式 数学能力的发展和形成 有赖于掌握定理 公式 和法则去进行推理论证和演算 在复习定理 公式和 法则的教学过程中 利用此类变式案例可明确定理 公式和法则的条件 结论 适用范围 注意事项等关 键之处 进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和 正确演算能力 案例3在复习等差数列前n 项和公式的教学 中 须注意对公式的灵活运用 可作如下变式问题 变式1 设s T 分别是等差数列 n 6 的前n 项和 已硅 裂 测彘 o l l 瓦2 解 由 o 是等差数列 可得口 口 口加 同理得6 s 6 6 所以i 专 兰竺 竺 塑 竺 一竺 竺垫一 兰 一兰丝一 6 s 6 s6 6 兰竺坠 坠 2 2 荃兰Q 一堡1 4 2 0 2 7 8 变式2设s 咒分别是等差数列 n 6 的前n 项和 已硅 糍 测毒 解 由 口 是等差数列 可得2 0 n 口 同 9 n l 9 理彻 6 l 6 9 所以毒 糕 赤 厂 一曼一至兰竺 一旦竺 一死一4 9 2 3 4 变式3设J s L 分别是等差数列 n 6 的前n 项和 已硅 矬 捌毒 解 依题意 设S 是玎 2 诧 1 瓦 玉器 4 n 一 2 后 0 当n 2 时 5 一1 后 n 一1 2 乃一1 贝0 口 S 一 s 一l 4 I n 一后 n 1 时 S 1 3 i 0 1 所以以 4 五凡一 2 同理可得6 8 n 一6 缸所以嚣 一垫墨二墨一堕 一4 8 南一6 五一4 2 变式4设S Z 分别是等差数列 口 6 的前几项和 已硅 等 贝 J 使得静为整数的 n j D 正整数n 的个数有 个 黔 毒 鬻 若岩 兽 篆岩等 等小晶懈疋 一l 2 n 一1 3 乃 l n 1 争为整数的正整数n 只有1 2 3 5 1 1 共5 个 D 二 题目变式 多题一解 题目变式包括条件的探究 增加 减少或变更 条件 结论的探究 结论是否唯一 数与形的探 究 引申探究 命题是否可以推广 等 在解题学习 课或试卷讲评课的教学过程中 利用此类变式案例 万方数据 6 中学数学研究2 0 1 4 年第1 l 期 可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法 培养学生 运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力 探究创新的能力以及灵活多交的思维能力 案例4在复习函数的教学中 对2 0 1 2 年山东 高考题作如下针对性的变式教学 1 题目 1 2 年山东文1 2 设函数火石 二 再 g 戈 一z 2 6 茗 若y 八戈 的图像与 g 戈 的 图像有且仅有两个不同的公共点A 茄 y 8 戈2 y 则下列判断正确的是 A x 1 z 2 0 y l 扎 0 昱 戈1 戈2 O y l 娩 0 G 戈l 菇2 O D 石l 戈2 0 y l 2 0 解法l 在同一坐标系中分别画出两个函数的 图像 要想满足条件 则有如图l 即A 第三象限 为两曲线的交点 B 第一象限 为两曲线的切点 作 出点A 关于原点的对称点C 则C 点坐标为 一茗 一y 1 由图像知一x 1 y 2 即髫1 x 2 0 y l 2 0 故选曰 绠 1 j I I 啊 6N i 卜 天 X 1 2 图1图2 解法2 考虑把图像变得更直观 可将两曲线之 一变成直线 令火戈 g 戈 可得与 一菇 6 设y 与 y 2 一菇 6 不妨设菇1 菇2 结合图2 知I 戈1 h p o 一菇 o y 去 一士 一y 1 即 y 2 O 1 y 2 O B 石l 石2 0 y 1 y 2 0 C 戈1 菇2 0 D 戈l z 2 0 1 托 0 变式2 1 2 年山东理1 2 设函数八舅 g 戈 8 石2 如 口 6 霆 G o 若 灭x 的图 像与y g 菇 图像有且仅有两个不同的公共点 A 石 y 口 菇 则下列判断正确的是 A 当8 O 时 菇 髫2 O B 当口 O y 1 y 2 0 时 z I 戈2 0 l y 2 0 时 菇l 戈2 0 l y 2 0 1 变式3设函数八z 二 g z 口石2 h 口 丑 6 尺 口 0 若y 火z 的图像与 g 戈 图像 有且仅有两个不同的公共点A 戈 y B 戈 y 则下列判断正确的是 A 当n 0 时 菇l 光2 0 日 当o 0 时 z 1 戈2 0 C 当口 0 时 算1 戈2 0 y 1 儿 0 时 菇l 戈2 0 l y 2 0 三 方法变式 一题多解 对于解题方法而言 当从某角度难以入手时 换 一个角度试试常常会有意外的收获 观察角度的灵 活多变 各种不同思路 不同方法的分析比较 是形 成创新能力 创新意识的源泉 在习题课或试卷讲评 课的教学过程中 通过有意识地精选那些可用多种 思路来完成的典型题 利用方法变式可使学生准确 把握解题的入手点 转折点和警戒点 培养学生灵活 运用数形结合 分类讨论 函数与方程 化9 I 与转化 等数学思想以及换元法 配方法 待定系数法等数学 方法去分析问题和解决问题的能力 加强复习的针 对性和实效性 提高复习效率 案例5 1 3 年重庆理1 0 在平面上 A B 上 A B 2 ID 曰lI ID B 2I 1 A P A 8 l A 曰2 ID P 1工 则l 葫I 取值范围是 州o 譬 Rf 焦巫1 2 2 o c 譬厕 解法1 依题意得点B 曰 在以D 为圆心的单位圆 上 点P 在以D 为圆心半径为 1 的圆内 如图3 考虑两种 二 极端情况 1 点P 与D 重合 时 很容易得出ID Al 拉 引譬 翩 一 魂 巡 少灌j 图3 排除A B 选项 2 点P 在小圆圆周上 取小圆与菇 万方数据 2 0 1 4 年第1 l 期 中学数学研究 7 轴一个交点 此时I 赢I 年 由于I 本I 寻 取轴一个交点 此时I 伽I 等 由于ID PI 取 不到等号 由此判断选D 解法2 由题意知 四边形 A B l 曰2 P 为以B 1 日2 为直径的圆 内接矩形 以P 为原点 朋 所 在的直线为戈轴建立直角坐标 系 如图4 设曰 0 曰 0 6 0 c d 则由已知得 二 文 p P 吻l 茗 A 6 由l 面J I 匾I 图4 1 得 口一c 2 d 2 1 c 2 6 一d 2 1 即d 2 1 一 口 c 2 c 2 l 一 6 卅2 又由l 商I 丢 得o c 2 d 2 把 式代入 式得o 2 一 口一c 2 6 一d 2 亦即o 2 一I 赢I 2 则 I 葫lz 2 故有譬 I 蔬I 厄 叶叶 二 结束语 数学是训练思维的体操 在高三数 学复习教学过程中 运用变式教学案例可培养学生 思维的严谨性 灵活性 深刻性 敏捷性 发散性和独 创性 使学生举一反三 融会贯通 从而更好地挖掘 学生的潜能 提高学生的综合素质 作为高三教师 要加强对变式教学的研究 把握高考的风向 运用各 种方法设计变式教学案例 尤其是深入研究教材和 高考试题 精心设计课本习题和高考题的变式案例 做到未雨绸缪才能使考生决胜变幻莫测的高考考 场 参考文献 1 苏明亮 例谈高考中集合的创新题型 J 中学数学研 究 2 0 1 4 3 由平面规划类比到空间规划 江苏省灌云高级中学 2 2 2 2 0 0 孙红 推理与证明是数学的基本思维过程 也是人们 学习和生活中经常使用的思维方式 因此高中新课 程增加了 推理与证明 内容的教学要求 并把注重 提高学生的数学思维能力作为高中数学课程的基本 理念之一 也是高中数学教学的基本目标之一 对于 有关三元变量的取值范围问题 本文独辟蹊径 从平 面中的线性规划的相关知识类比到空间的平面规 划 从几何角度直观地思考问题 使有关三元变量的 取值范围问题得到顺利解决 1 问题提出 2 0 1 1 年全国高中数学联合竞赛一试 B 卷 的 第9 题为 已知实数戈 y z 满足菇 y 二 菇 彳 1 菇2 y 2 z 2 3 求实数石的取值范围 这是一道构