等效“平摆线”在物理解题中的应用——2013高考福建省物理压轴题和2013北约自主招生压轴题的思考.pdf

2 0 1 4年 第 1 期 物理 通报 解题 思路 与技 巧 等效 平摆线 在物理解题 中的应用 2 0 1 3高考福建省 物理压 轴题和 2 0 1 3北约 自主招 生压轴题 的思考 周 华 长乐第一 中学物理组 福建 福州 3 5 0 2 0 0 收稿 日期 2 0 1 3 0 6 1 5 2 0 1 3高考刚落下帷幕 今年福建省理科综合物 理试题第 2 2 题和北约物理 自主招生第 1 2题相似 都不约而同地 考查 的是数 学 中的摆线 问题 此前 2 0 0 8江苏卷高考物理试题第 1 4题也考查 了摆线问 题 摆线问题在物理竞赛和 自主招生考试 中是一个 必备 的知识 点 只要 参 加 过 物 理 奥赛 和 自主 招 生 培 训 的 同学 就会 非 常 熟 悉 最 近 在 2 0 1 1年 第 2 8届 全 国中学生物理竞赛复赛试卷第 3 题 渐开线 和第 4 题 中 平 摆线 有考 查 过 摆 线 是 一类 十 分 重要 的 曲 线 可 以分 为平 摆线 圆摆 线 渐开 线三 大类 今年 福 建高考和北约 自主招生考查 的是平摆线 下 面就对 平 摆 线在 物理解 题 中 的应用 做一 个总结 1 平摆 线 的数 学定 义和 参数 方程 摆线 为奇 妙 的数学 曲线 之一 平摆 线定 义是 一 个 圆在一 条定 直线 上滚 动 时 圆周 上 一个定 点 的轨 迹称为平摆线 也 叫做 等时曲线 或 旋 轮线 如 历史上著名的 最速降线 就是平摆线 在 日常生活 中 自行车 马车 火车等车轮上 的任一点随车辆 的 前进 而描 绘 出美妙 的旋 轮线 如 图 1 所 示 为正 在平 直路 面 以速度 匀 速行 驶 的某 车辆 的一 只轮 子 轮子 的半 径 为 r 以轮缘 上 某 时刻 与地 面 的接触 点 A 作 为 直 角坐 标 系 的原 点 与 方 向为 z轴 建立 坐 标 系 经 时间 t 轮子 转 过 的角 此 时轮 缘 A 点 的参 数方 程 为 r 0 r s i n O y r r c o s O 其中 O B A B r 为参数 本题图中却是 2 6 m s 当时间 t 一7 s 时速度等于 3 9 9 6 3 5 m s 还 不 到 4 m s 而 此 题所 给 时 间 不 到 4 S 就达 到最 大 速度 了 计 算表 明 实际上 4 S 时速度 只有 3 9 2 6 7 3 m s 这个 图像 应该 怎 样 画 呢 笔者 借助于电子表格软件绘 出其图像如下 一一一一 f r 0 I s 图 3 速度一 时间图像 图 1 利用积分 可知 一4 4 e 一1 用几何画板 也可以作出位移一 时问图像 如图 4所示 f 0 十 1 1 l t 0 5 1 O 1 5 图 4 位移一 时问图像 2 O 1 4年 第 1 期 物理 通报 解题 思路 与技 巧 2 平摆线 的等 效性 运动 学和 动 力学原 理 对 于平 摆 线 在 物 理 学 中完 全 可 以看 作 是 圆 在 直线 上滚 动 即可将 平摆 线 的运 动 可 看成 匀 速 直线 运 动和匀 速 圆周 运 动 的合 运 动 而作 为对 应 的 渐 开线 在物 理学 中完 全可 以看 作 是 直 线 在 圃 上滚 动 即可将 渐 开 线 的运 动 可 看 成匀 速 圆周 运 动 和匀 速直 线运 动 的合运 动 根据力与运动的关系 在具体情况 中 只要对物 体运 动进 行受 力分 析 就 能 找 出对应 的匀 速 直 线 的 分运 动 的合 力 为零 做 匀 速 圆周 的分 运 动 受 到 一个 大小 恒定 而方 向不 断随 速度 变化 的 向心 力 3 平摆 线原 理在 物理 解题 中 的应用 下面就以 2 0 1 3年 高考福建 省理综第 2 2题 和 2 0 1 3 年北约 自主招生第 1 2 题为例 讲解等效平摆线 在 物理 解题 中的应用 例 l l 2 0 1 3 年高 考福 建卷 第 2 2 题 如 图 2 a 空 问存 在一 范 围 足够 大 的 垂 直 于 x O y平 面 向外 的 匀 强磁 场 磁感 应 强 度 为 B 让 质 量 为 I T l 电荷量 为 q q 0 的粒子 从坐 标原 点 0沿 O y平 面 以不 同 的初速 度 和方 向入射 到 该 磁 场 中 不 计 重 力 和粒 子 间的影 响 1 若粒 子 以初速 度 7J 沿 Y轴 正 向入射 恰 好 能 经过 3 5 轴 的 A n O 点 求 7 J 的大小 2 己知 一粒 子 的初 速 度大小 为 v v 为 使该粒子能经过 A n 0 点 其入射角 粒子初速 度 与 轴正 向的夹 角 有几 个 并 求 出对 应 的 s i n 0 值 3 如 图 2 b 若 在此 空 间再加 入沿 y轴 正 向 大小 为 E的匀 强 电场 一 粒子从 0点 以初 速度 沿 Y轴正向发射 研究表明 粒子在 x O y平面内做周期 性 运 动 且 在 任 一时 刻 粒 子速 度 的 z分量 与 其 所在 位置 的 Y坐 标成 正 比 比例 系数 与 场 强 大小 E 无关 求 该粒 子运 动过程 中的最 大速度 值 6 4 bJ 图 2 标 准答案 给 出的原 解如 下 1 带电粒子以速率 在匀强磁场 B中做匀速 圆周 运 动 半 径为 R 有 q v B 簧 1 当粒子沿 Y轴正向入射 转过半个圆周至A点 该圆 周半 径 为 R 有 R 一 号 2 将式 2 代 入式 1 得 7 J1 一磐 3 一 2 如 图 3 O和 A 两 点处 于 同一 圆周 上 且 圆 心 在 一 号的 直 线 上 半 径 为 R 当 给 定 一 个 初 速 率 时 有 2 个 人射 角 分 别在 第 1 2象 限 有 s i n0 4 由式 1 4 解得 s i n 0 5 2 J I l 图 3 3 粒 子在 运 动过 程 中仅 电 场 力做 功 因 而 在 轨道的最高点处速率最大 用 Y 表示其 Y坐标 由 2 0 1 4年 第 1期 物理 通报 解题 思路 与技 巧 动能 定理 有 q E 一 1舢 2 1 m 6 由题 知 有 k y 7 若 E一0时 粒子 以初 速度 沿 Y轴正 向入射 有 q v B m 一 k R o 9 由式 6 9 解得 一 其实第 3 问中 粒子的运动轨迹就是摆线 命 题人为了降低难度 给出了 研究表明 粒子在 x O y 平面内做周期性运动 且在任一时刻 粒子速度 的 X 分量 与其所在位置的Y坐标成正 比 比例系数与 场 强 大小 E无 关 这 一 条件 希 望 引 导学 生 能 得 出 正确结 论 其实 根据牛顿经典力学 中力与运动 的关系可 知 只要物 体 的受 力情况 和 初始情 况 确定 其 以后 的 任一状态都是可以预知的 所以这些条件是多余 的 是否正确还有待商榷 下面笔者用平摆线的等效性 运 动学 和 动力 学原 理解 决第 3 问 解 因为初 始 时 z 轴 方 向 的速度 为零 可 等效 为 一 个沿 z轴 的匀速 运动 和 沿 一 z轴 的匀 速运 动 设其速度大小均为 z 且恰好可使 B E q 即 E 一百 初始时 把沿 一 轴的速度 与 合成 在原 点 0处带电粒子受力和运动分析如图 4 因为沿 X 轴 的匀 速运 动 的 速 度 口 产 生 的 洛伦 兹 力 与 电场 力 E q抵消 带电粒子的受力等效成只受一个洛伦兹力 台 B作用 这个力提供向心力使粒子沿 图中虚线 的 圆做 匀 速 圆周 运 动 因此 粒 子 的 运 动可 看 成 一 个 以 速度 大小 为 合 的顺 时针 匀 速 圆周 运 动 和 一个 以速 度大小为 z 的沿 轴的匀速直线运动的合成 g q t 一 0 1 g 例 4 且 合一 何 一 很显然当匀速 圆周运动到最 高点时 合与 z 同向 速度达最大值 大小为 一 合 一 百E 詈 m 一 2 十 合 一 百 十 I百 十 例 2 2 0 1 3 北 约 自主招 生第 1 2题 如 图 5所 示 在一竖直平面 内有水平匀强磁场 磁感应强度 B 的方 向垂 直该 竖 直 平 面朝 里 竖 直平 面 中 n b两 点 在 同一水 平线 上 两点相 距 Z 带 电荷量 q 0 质 量 为 i 的质点 P 以初速度 从 n对准 b射出 略去 空气阻力 不考虑 P与地面接触的可能性 设定 q i 和 B 均 为不 可改 取 的给定量 1 若无论 l 取什么值 均可使 P经 直线运动 通过 b点 试问 应取什么值 2 若 为第 1 问可取值之外的任意值 则 l 取 哪些值 可使 P 必定会 经 曲线 运动通 过 b点 3 对每一个满足第 2 问要求的 z 值 计算各 种可 能 的曲线运 动 对应 的 P 从 a 到 b所 经过 的时 间 4 对每一个满足第 2 问要求的 z 值 试问 P 能否从 a静止释放后也可以通过 b点 若能 再求 P 在 n而 后 运 动 过 程 中 可 达 到 的最 大 运 动 速 率 X X X a 一 6 一 z B 图 5 6 5 2 0 1 4年 第 1期 物理 通报 解题 思路 与技 巧 解析 1 当质点从 a匀速直线运动到b时满足 条 件 即 mg q vo B 得 出速度 一 且为 正 电荷 2 这 一 问就 是 典 型 的平 摆 线 运 动 可将 初 速 度 等效成 为 和 的合 成 初 始 时 和 共 线 取 正号 时与 同 向 取负 号时 与 反 向 可 写 成 一 其初始 时 的受力 分析 和运 动分 析如 图 6 a 只画 出 取正 号时 圆周 运动 若 取 负 号 时 圆周 轨迹在 下 方 不影 响解 题 所 以下面 就 以取 正 号 分 析 所 以质 点 的运 动可 看 成一 个 以速度 大 小 为 的匀 速 圆周 运 动和一 个 的匀速 直线 运动 的合成 圆周运 动 的周期 与速 度 无关 T 2 rim 一 当粒 子第 次 回到直线 n 6上 时 恰好 到 达 b点 z w o nt n 一 一 1 2 3 B B a B 一一一 一一一一一一一一 b 0 B b 图 6 3 由 2 易知 a到 b的时 间为 T 一 一 1 2 3 4 解 决此 问与 上 面 的方 法 一 样 只需 要 把 初 速度为零等效一个沿 方向的 和与 方 向相反 一 66一 的 一 质 点 的运动 等效 为一个 沿 方 向的速度 大 小 为 口 的匀速 直线 运动 和 以速 度 大小 为 的匀 速 圆周运 动 的合成 如 图 6 b 所 示 圆周 运 动 的周 期 与速度 无 关 仍 为 T 害 当粒 子第 z 次 回到直线 n 6上 时 恰 好到达 b点 z W o n丁 一 一 1 2 3 所 以可 以通过 b点 当匀 速 圆周 运 动 到最 低 点 时 两 分速 度 方 向相 同 速度最 大 即 2 一 在 1 7世纪 大批卓越的物理学家 数学家 如伽 利略 帕斯卡 托里拆利 笛卡儿 费尔马 伍任 瓦里 斯 惠更 斯 约翰 伯努 里 莱 布 尼 兹 牛顿 等 等 热 心 于研究 这一 曲线 的 性 质 所 以各 大考 试 中 出现 试 题是历史发展的必然 在平时的教学中我们教师不 要 忘记物 理学 史 对一 些 历 史 上 重 要 的研 究 方 法 和 思维还是很有必要 向学生介绍 让学生领略大师们 是如何去研究复杂运动的 在分析物体做复杂运动时 如能揭示出其运动 的数学原 理 和客观 背 景 能够 将 物 体 运 动规 律 的 本 质表现出来 物理情景就会更为明朗 也会使抽象 的 数 学变 得有 生活 意义 参 考 文 献