线性代数答案.pdf

第一章习题解答第一章习题解答 习题习题 1 1 1 计算下列行列式 1 ab ba 1326 189 2 381 141 102 解 1 4 117468117 1326 189 2222 baba ab ba 2 381 141 102 4 01328 1 1 4 10 1 1 1813 4 2 2 求解方程0 94 32 111 2 x x 解 320650 94 32 111 2 2 xxxx x x或 3 解线性方程组 3273 1342 273 321 321 321 xxx xxx xxx 解 54 273 341 732 196 273 342 731 1 DD 80 333 112 221 38 233 312 721 32 DD 所以 49 20 98 19 98 27 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x 习题习题 1 2 1 求解下列各题 1 求 241356 的逆序数 2 选择i与j 使由 1 至 9 的排列 91274i56j为排列 3 排列 nn aaaa 121 的逆序数为k 求 121 aaaa nn 的逆序数 解 1 312 241356 2 因为此 9 级排列中缺 3 与 8 若选 8 3 ji则 1311222311 912743568 所以排列 912743568 为奇排列 故要使排列 91274i56j为偶排列 应使 3 8 ji 3 由排列 nn aaaa 121 与排列 121 aaaa nn 的结构可知 从n个元素 nn aaaa 121 中任取两个 ji aa 它们不在排列 nn aaaa 121 中构成逆序 就在排列 121 aaaa nn 中构 成逆序 从而排列 nn aaaa 121 与 121 aaaa nn 的逆序数之和为 2 1 2 nn Cn 故排列 121 aaaa nn 的逆序数为k nn 2 1 2 用行列式定义计算 1 5 4 3 2 1 2 000 10000 0200 0010 n n 解 解法同 P8例 1 5 由行列式的定义可得 1 12054321 1 5 4 3 2 1 54321 2 1 1 21 1 000 10000 0200 0010 1 123 nnn n n nn 3 写出四阶行列式中含有因子 2311a a的项 解 44322311 aaaa 42342311 aaaa 习题习题 1 3 1 已知1 111 203 zyx 利用行列式的性质求下列行列式 1 222 23333 zyx zyx zyx 2 314 203 111 zyx 解 1 222 23333 zyx zyx zyx 212 111 2032 222 203 zyxzyx 2 314 203 111 zyx 111 203 111 zyx 1 111 203 zyx 2 证明 yxz xzy zyx ba bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax 33 证明 bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax bzaybyaxaz byaxbxazay bxazbzayax bzaybyaxbx byaxbxazbz bxazbzayby aybyaxz axbxazy azbzayx a bzaybyaxx byaxbxazz bxazbzayy b bzaybyx byaxbxz bxazbzy b ybyaxz xbxazy zbzayx a 2 bzayyx byaxxz bxazzy b ybyaxz xbxazy zbzayx a 22 r2 3r1 r3 r1 r3 r2 r1 r3 c1提取公因子 a c3 bc1 第 1 个行列式 yxz xzy zyx ba zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a 3333 3 计算下列行列式 1 efcfbf decdbd aeacab 2 642718 16614 4312 1111 3 1111 1111 1111 1111 x x x x 4 43210 76543 76543 76543 11111 44444 33333 22222 解 1 将第一行提出公因子 a 第二行提出公因子 d 第三行提出公因子 f 得 原式 abcdef c e badf c e ecb adf ecb ecb ecb adf rr rr 4 02 20 020 200 13 12 2 将二 三 四行分别减去第一行 得 原式 114 42120 610 321 63267 1553 321 1 632607 15503 3201 1111 1 7 3 1 3 221 rr rr 3 解法 1 原式 111 1110 1110 1110 1111 1111 1111 1111 1111 11110 11110 11110 x x x x x x x x x x x 第一个行列式的第二 三 四行分别减去第一行 第二个行列式按第一列展开 原式 111 111 111 000 00 00 1111 x x x x x xx xx x xx x x x x xx xx xx xx x x x xx xx 0 00 11 00 0 0 0 0 111 00 0 0 423 1 x xx x xx 解法 2 将行列式的第二 三 四列分别加到第一列 并提取公因子 x 得 原式 1111 1111 1111 1111 x x x x 21 31 41 cc cc cc 100 100 100 1000 x x x x 4 3 34 2 1 xxx 4 将第一行乘以 3 加到第四行 然后再将第四行调至第二行 得 22222 33333 44444 11111 34567 34567 34567 34567 73 63 53 43 74 64 54 75 65 76 原式 288 4 计算n阶行列式 1 n D a a 1 1 其中主对角线上元素都是 a 未写出元素是 0 2 n D xaa axa aax 3 11111 11111 11111 11111 4 1001 0101 0011 321 n 解 1 按第一列展开得 1 1 111 1 2 122 000001 00000 1 00000 00 00 1 1 00 1 n n n nnn n nnnn a aa Da aa a a a a a aaaa 2 将各列都加到第一列 得 xaanx axanx aaanx Dn 1 1 1 xa ax aa anx 1 1 1 1 1 1 00 00 1 1 n axanx ax ax aa anx 3 各行分别减去第一行 得 1 2 2000 0200 0020 1111 11111 11111 11111 11111 n 4 将各列分别加到第一列 得 123 1100 1010 1001 n 2 1 1000 0100 0010 32 2 1 nn n nn 习题习题 1 4 1 用克拉默法则解方程组 01123 2532 242 5 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 略 2 问 取何值时 齐次线性方程组 0 1 0 3 2 042 1 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零解 解 因方程组有非零解 所以其系数行列式 0 111 132 421 即 065 23 解得 320 易验证 当320 时 方程组有非零解 3 求一个二次多项式 xf使1 1 f 9 1 f 3 2 f 解 设二次多项式cbxaxxf 2 由条件知 324 9 1 cbx cba cba 又 6 124 111 111 D 6 123 119 111 1 D 30 134 191 111 2 D 18 324 911 111 D 所以3 5 1 321 D D c D D b D D a 故所求二次多项式为35 2 xxxf 总习题 一 总习题 一 1 填空题 解 1 由行列式定义知 含 x4的项仅为主对角线 4 个元素之积 故 x4的系数为 2 含 x3 的项仅为含元素 12334421 aaaa的项 故 x3的系数为 1 2134 1 1 1 1 1 2 此行列式为范德蒙行列式 故 原式 15 14 15 13 13 14 2 3 略 4 4 5 45 1111 6789 1 11121314 21222324 A 43 32 21 11 1 1 61 1 1 0 11 1 1 1 21 1 1 1 cc cc cc 5 此行列式的转置为范德蒙行列式 故 原式 x a1 x a2 x a3 a3 a1 a3 a2 a2 a1 所以 D x 0 的全部根为a1 a2 a3 2 计算行列式 解 1 0 0 0 0 xyz xzy yzx zyx 01 01 01 1 xy xz yz zyx zyx zyxxy zxyxz zyyzx zyx zyxxy zxyxz zyyzx zyx zyx 0 0 0 1 zyxyxxy xyz yzx zyx zyxyxxy zyxyxz yzx zyxrrcc 0 0 0 3223 zyxzyxzyxzyx xyz yzx zyxzyx 2 0 0 00 1 00 0 0 00 00 00 00 33 22 1 4 14 4 33 22 1 44 33 22 11 ab ba b b a ab ba a ab ab ba ba 按第一列展开 1 41413232 33 22 41 31 33 22 41 bbaabbaa ab ba bb ab ba aa 3 n n a a a D 111 111 111 2 1 其中0 21 n aaa n n a a a a 1111 01111 01111 01111 1 2 1 11 22 11 1110111 1 1110111 1 4 10111111 1111111 nn n aa aa aa a 最后一列 由性质 得 第一个行列式 各行都减第 n 行 第二个行列式按第 n 列展开得 1 2 1 1 12112212 000 000 000 1111 1 nnn n nnnnn a a Da D a a aaa a aaaD 21221121 nnnnnn Daaaaaaaaa 1 2 221121 nnnnnnnn Daaaaaaaaa 1 12221121 aaaaaaaaaa nnnn n i i n a aaa 1 21