线性代数期末试卷及答案(2005A).pdf

1 南京工业大学南京工业大学线性代数线性代数课程考试试卷 课程考试试卷 A A A A 江浦 浦江 2005 2006 学年第 1 学期 所在系 院 班 级学号姓名 题 分 一二三四五六七八 总 分 一 一 填空题填空题 每空 3 分 共 15 分 1 若n阶 方 阵 A 满 足0 2 EAA E为 单 位 阵 则A的 逆 矩 阵 1 A 2 设矩阵B是由矩阵A划去某一列所得 则秩 B 秩 A 3 若1 111 320 zyx 则 222 431 111zyx 4 若向量 0 1 1 2 k 与 1 1 0 k 正交 则 k 5 已知三阶矩阵A的特征值为 2 1 1 设 2 23 AAB 则B的三个特征值为 二 二 单项选择题单项选择题 每题3分 共15分 1 齐次线性方程组0 xA的一个基础解系为 123 212 131 100 010 001 则A的秩为 5 ARA4 ARB3 ARC2 ARD 2 设有m个n维向量 nm 则 2 A必线性相关 B必线性无关 C不一定 D无法确定 3 设A为n阶方阵 则下列方阵中为对称矩阵的是 AAA BCAC C为任意n阶方阵 CAA DAA B B为任意n阶方阵 4 设A与B均为n阶方阵 若A与B相似 则下面论断错误的是 A存在M 且0M 并有AMMB B A与B有相同的特征值 BEAEC D A与B均可对角化 5 若向量组 321 线性无关 向量组 421 线性相关 则 A 4 必不可由 321 线性表示 B 4 必可由 321 线性表示 C 2 必不可由 431 线性表示 D 2 必可由 431 线性表示 三 12 分 求n阶行列式 1 1000 00220 00011 1321 nn nn 3 四 12 分 设 410 011 103 A 且有关系式 AX A 2X 求矩阵 X 五 12 分 求向量组 1234 1 1 0 1 2 0 1 3 0 2 1 1 0 1 1 1 5 6 1 3 9 的秩和它的一个极大线性无关组 并把其余向量表示为所求的极大线性无关组 的线性组合 4 六 16 分 已知二次型 222 12312323 4332f x xxxxxx x 1 写出二次型f的矩阵A 2 用正交变换把二次型f化为标准形 并写出相应的正交矩阵 3 判别二次型的正定性 5 七 1 江浦学生做江浦学生做 12分 问a为何值时 线性方程组 7739 2232 32 15 4321 421 4321 4321 xxxx xxx axxxx xxxx 无解 有解 有解时求其通解 2 浦江学生做浦江学生做 12 分 判别非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1234 51 233 381 9377 xxxx xxxx xxxx xxxx 是否有解 若有解 求其通解 6 八 1 江浦学生做江浦学生做 6 分 设A是 3 阶矩阵 321 是 3 维向量 若向量组 321 线 性无 关 且 3211 22 A 3212 22 A 3213 22 A 1 求矩阵A的特征值 2 设EAB 2 其中E是 3 阶单位矩阵 A是A的伴随矩阵 求B的行列 式B的值 2 浦江学生做浦江学生做 6 分 假如 321 是某齐次线性方程组0AX 的 一个基础解系 问 213213 2 是不是齐次线性方程组0AX 基础解 系 为什么 7 南京工业大学南京工业大学线性代数线性代数课程考试试卷 课程考试试卷 A A A A 解答 解答 江浦 浦江 2005 2006 学年第 1 学期 一 1 AE 2 3 2 4 1 k 5 4 6 12 二 1 D 2 A 3 C 4 D 5 B 三 第n 3 2 列加到第1列 1 1000 00220 00010 132 2 1 nn nn nn D 4 4 4 4 100 220 1 2 00 1 n n n 4 4 4 4 2 1 1 1 n n 4 4 4 4 四 12 分 解 2 AE XA 3 3 3 3 1 2 3 211301 2211103 111014 522 4323 223 XAEA 五 12 分 解 8 12345 1200612006 1021101102 0111300011 1311900000 6 6 6 6 秩为3 8 8 8 8 极大线性无关组为 134 10101010 2135134 2 62 12121212 六 16分 解 1 400 031 013 A 4 4 4 4 2 2 4 2 AE 得特征值 2 4 4 7 7 7 7 对于 2 得特征向量 1 0 0 1 1 2 1 1 2 p 单位特征向量为 1 232 3 0000000011 40110011 000 0110011000 10 0 1 01 x x x 当时 解方程 此方程组的基础解系为这是一组正交向量组 23 0 1 1 0 2 0 1 2 pp 将特征向量单位化得10101010 9 取正交变换 1 2 3 010 11 0 22 11 0 22 y XPYy y 则 222 123 244fyyy 12121212 3 因为特征值都大于 0 所以二次型是正定二次型16161616 七 江浦学生江浦学生 12 解 1511115111 0722107221 0724400003 01448800000 aa A b a 6 6 6 6 1 当3a 时 方程组无解 8 8 8 8 2 当3a 时 有无穷多组解 10101010 通解为 12 13313 777 424 777 010 001 Xkk 12121212 七 浦江学生浦江学生 12 分 解 1511115111 0722407224 0724400000 01448800000 A b 6 6 6 6 ArAr b b b b 24 方程组有无穷多解 9 9 9 9 10 通解为 12 13313 777 424 777 010 001 Xkk 12121212 八 江浦学生江浦学生 6 分 1 123123 122 212 221 A 2 2 2 2 2 1 5 EA A的特征值为 1 1 5 2 2 2 2 2 5 AA 的特征值为 B 的特征值为 11 11 1 11 11 1121 B 2 2 2 2 八 浦江学生浦江学生 6 分 解 是2 2 2 2 1 由