高一下数学讲义13.pdf

對數 90cjt 第 1 頁 高一下數學講義 1 3 1 3 對數 一 對數的意義 1 定義 設a 0 且a 1 若a x b b 0 時 以符號 loga b 表示x之值 即x loga b loga b 讀作以a為底 b 的對數 其中a稱為底數 b 稱為真數 註 a x b x loga b a 0 且a 1 b 0 x R 2 若底數 a 10 稱為常用對數 也稱為布立格斯 Briggs 對數 則b 10 log記為blog 若底數 a e 稱為自然對數 也稱為納皮爾 Napier 對數 則b e log記為bln e 1 1 1 2 1 1 n 2 71828 例 1 1 試以 loga y 的符號 表示下列方程式中 x 的解 TR29 1 x 2 6 2 x 3 4 3 x 4 8 4 x 5 10 5 x 10 1 1 6log2 2 4log3 3 8log4 4 10log5 5 1log10 例 1 2 試求下列各對數之值 TBEx2 1 4 2 3 3 2 3 4 2 5 5 2 6 2 1 16log2 2 8 1 log2 3 4 2 log2 4 525log5 5 100log 1 0 6 4 25 log 5 2 例 1 3 試證明7log2是一個無理數 TBEx1 略 例 1 4 試求下列各式中 x 之值 TR50 1 3125 1 2 64 1 3 4 4 1 1 x 25 log 2 5 2 8 1 log x 2 1 3 256log 2 x 8 4 4 log 2 13 xx x 2 對數 90cjt 第 2 頁 高一下數學講義 1 3 例 1 5 若下列各式均有意義 試求 x 的範圍 TR51 1 x 2 x 1 2 3 2 x 3 x 1 1 5 log 2 x x 2 6113 log 2 12 xx x 例 1 6 設 x R 若 2 log 2 1 2 axx a 有意義 試求 a 的範圍 TR52 a 1 a 2 二 對數的性質 各式均有意義 1 NM a log M a log N a log 2 N M a log M a log N a log 3 r aM log rM a log 4 M r a log r 1 M a log 5 y a b x log b x y a log 6 b a log a b c c log log 換底公式 7 b a log c b log c a log 連鎖律 8 b a a log b 9 b a log a b log 1 10 b c alog a cblog 註 1 a a log 1 2 x aa log x 3 1loga 0 4 b c alog b c blog a b c 為正數 c 1 兩邊同取 log 證明 例 2 1 求下列各式之值 LB28 TBEx3 1 3 10 2 2 5 1 32log16log2log 888 2 1log 2 3 34 log2 6log4 對數 90cjt 第 3 頁 高一下數學講義 1 3 例 2 2 試求下列各式之值 TBex TR56 1 3 2 12 3 36 13 1 3log2 5log3 7log5 8log7 2 4log7 7 3log10 10 5log15 15 3 3log2 4 4 2 1 log3 9 例 2 3 已知2log10 a 3log10 b 試以 a b 表示72log5 LB29 a ba 1 23 提示 以 10 為底數 例 2 4 設3log2 a 7log3 b 試以 a b 表示28log42 TR63 aba ab 1 2 提示 以 2 為底數 例 2 5 下列哪些式子是正確的 TR57 B E A 2 7 3 log 2 3 log7 B 7log7 1 C 3log81 4 D 6 log 3 4 6 log 3 6 log 4 E 7log 6 7log6 三 對數方程式 對數方程式求解之原則 1 y x a log為一對一函數 2 cb aa loglog b c 3 驗算對數方程式的真數必需是正數 例 3 1 解下列方程式 TBEx5 6 1 3 2 5 1 1 log2 x 2 log2 x 2 2 3 log 2 1 x 2 1 log 2 1 x 1 對數 90cjt 第 4 頁 高一下數學講義 1 3 例 3 2 設方程式 x3log x7log 1 的兩根為 試求 之值 TR70 21 1 例 3 3 若 x 67 27 y 603 81 x y R 試求 x 3 y 4 之值 TR64 2 例 3 4 解下列方程式 TR66 69 1 2 51 2 81 3 10 100 1 取 log 1 xlog3 10 2x 1 2 x3log 16 xlog 32 3 x xlog x 100 例 3 5 解下列方程式 TR67 9 1 9 2 1 100 x x 3 log 1 3log 2log x xlog 2 1 2 3 log x 12 3 logx 2 0 2 xlog 2 2log x 3 2log x xlog1 2 4 0 對數 90cjt 第 5 頁 高一下數學講義 1 3 1 3 對數作業 年 班 號 姓名 1 求解下列各題中的實數 x TBE1 1 3log2 2 4log 3 2 3 8 1 log3 4 0 1 x 2 3 2 x 3 2 4 3 x 3 8 1 4 x 2 1 2 將下列各式改寫成 x a b 的形式 並求出 x 化簡後的值 TBE2 1 x 2 log 5 2 x 3 log 1 3 x 2 1 log 3 4 9 1 log3 x 5 25log 5 1 x 6 3 10 10000log x 7 8 1 logx 3 1 32 2 3 1 3 8 4 2 5 2 6 3 4 7 2 1 3 試證 3log10是無理數 TBE3 4 設2log10 a 3log10 b 試以 a b 表示下列各數 TBE4 1 2a b 2 1 2a 3 5 a 2 4 a a 4 1 1 12log10 2 40log10 3 8 25 log2 4 20log4 5 設3log2 a 11log3 b 試以 a b 表示132log22 TBE5 ab aba 1 2 對數 90cjt 第 6 頁 高一下數學講義 1 3 6 化簡下列各式 TBE6 1 1 2 1 3 1 4 4 5 3 1 9 25 log10 70 3 log10 35 27 log10 5log10 2 2log3 3 1 log 2 1 3 3 3 6log 2 3 3 4 1 log2 5log5 8log4 3log 3 4 2log2 4 4 2 1 log3 9 4log 25 1 5 2log3 9 5 3log2 4log3 5log4 6log5 7log6 8log7 7 解下列方程式 TBE7 1 2 373 2 2 3 5 4 8 或 2 1 5 2 1 1 log3 x 4 log3 x 1 2 10010 log10 x 2 x 1 2log10 3 loglog 23 x 2 2 loglog 59 0 4 x 2 log 32logx 2 5 1 log 2 1 x 3 log 4 1 x 8 試求下列各對數之值 LB25 26 1 25log5 2 9 1 log3 3 2log2 4 32 2 log2 1 2 2 2 3 2 1 4 2 9 對數 90cjt 第 7 頁 高一下數學講義 1 3 9 試求下列各對數之值 TBex2 TR49 1 4 2 2 1 3 0 4 3 5 2 1 6 10 1 1 81log3 2 3 1 log3 3 1log3 4 125log 2 0 5 2 10 log 2 5 6 3232 log32 10 1 試證明5log3與12log3都是無理數 TBR27 TR53 略 2 試判斷243log81是否為無理數 TBR27 否 4 5 11 試求下列各式中 x 之值 TR50 1 27 1 2 25 1 3 3 1 81log x 3 4 2 x 5 log 4 3 32 log x x 2 12 若下列各式均有意義 試求 x 的範圍 TR51 4 3 1 x 2 5 x 1 1 5 log 1 2 x x 2 1 65 log 2 5 x xx 3 2 32 log 2 1 x xx x 4 5176 log 2 xx x 1 1 x 5 x 2 或 x 1 x 2 2 1 x 2 x 3 3 1 x 2 x 3 對數 90cjt 第 8 頁 高一下數學講義 1 3 13 設 x R 若 log 2 1 aaxx a 有意義 試求 a 的範圍 TR52 0 a 4 14 試求下列各式之值 LB29 1 2 2 3 3 2 1 36log 6 1 2 125log5 3 4log 2 1 15 試求下列各式之值 LB26 28 29 TBex3 1 2 2 6 11 3 2 4 1 5 2 1 36 7 log10 52log10 25 14 log10 23log10 2 3log27log 279 3 33 1 log 2 1 log 32 4 8log6 3log6 42log6 5 9 25 log 4 7 log 9 1 log 49log 2 1 16 試求下列各式之值 TBex TBR31 TR56 1 2 2 2 1 3 127 4 27 2 1 3log2 4log3 2 3logx x 9 log x 1 3 2log5 5 5log3 27 4 2log3log3 10 17 試求下列各式之值 LB29 1 2 2 12 49 1 15log3 15log5 5log3 3log5 2 9log4 27log16 16log9 2log27 對數 90cjt 第 9 頁 高一下數學講義 1 3 18 已知2log10 0 3010 3log10 0 4771 試求下列各式之值 TBEx4 1 4log10 2 5log10 3 6log10 4 3log2 5 5log3 1 0 6020 2 0 6990 3 0 7781 4 1 5850 5 0 7326 19 設2log10 a 3log10 b 試以 a b 表示下列各式 LB29 TR60 1 72log10 2 5 7log10 3 108log24 4 24log6 5 100log 75 0 1 3a 2b 2 1 2a b 3 ba ba 3 32 4 ba ba 3 5 ab2 2 20 設7log3 a 2log7 b 試以 a b 表示126log42 TR63 aba aba 1 2 21 設3log2 a 5log3 b 7log5 c 試以 a b c 表示210log14 LB30 abc abcaba 1 1 22 解下列方程式 TBex6 TBR32 33 1 1 2 1 3 1 4 5 5 216 6 7 1 2 1 log5 x 3 log5 x 2 x 4 log 3 log4 x 1 3 32 log5 x 2x 5 log 1 4 1 log2 x 4 log4 x 1 5 loglog 23 x 8 loglog 63 2 6 loglog 32 x 3 9 loglog 78 16log4 對數 90cjt 第 10 頁 高一下數學講義 1 3 23 設 a b c 為異於 1 的正數 且 abc 1 TBR33 3 試求b a log c a log c b log a b log a c log b c log之值 24 1 設方程式 x3log x4log 1 的兩根為 試求 之值 TR70 12 1 2 設 2 log x 3 log x 1 有兩實根 試求此兩根之乘積 TBR33 6 25 1 若 x 423 27 y 47 27 x y R 試求 x 1 y 1 之值 TR65 3 2 2 若 x 23 8 y 184 32 x y R 試求 x 3 y 5 之值 TR65 3 26 解下列方程式 TR66 70 1 2 2 2 3 100 3 10 1 1 2 log 2 3 3 x x 2 12 log3 x 7 log 2 9 xx 3 x x log3 100 5 x 27 解下列方程式 TR68 70 1 2 64 1 2 10 10 1 3 1 10 1 2 x x 4 log