刚体力学习题讲稿.pdf

质点质点质点质点质点质点质点质点刚体刚体刚体刚体刚体刚体刚体刚体变换变换变换变换变换变换变换变换 匀加速运动公式匀加速运动公式匀加速运动公式匀加速运动公式 1 t 00t vvat 1 vf t vr 2011 3 15 1 惯性量惯性量惯性量惯性量惯性量惯性量惯性量惯性量 2 0 2 1 tt 2 2 0 2 2 0 1 2 xv tat 22 0 2 t vvax xf t vfx ddrr t ar n av m 2 ii i Jm r 质点质点质点质点质点质点质点质点刚体刚体刚体刚体刚体刚体刚体刚体变换变换变换变换变换变换变换变换 非匀加速运动公式非匀加速运动公式非匀加速运动公式非匀加速运动公式 0 d t v ta tt t vf t vr 0 d t ttt t 2011 3 15 2 惯性量惯性量惯性量惯性量惯性量惯性量惯性量惯性量 0 dx tv tt 0 0 dd t v x v v va xx xf t vfx ddrr t ar n av m 2 dJm r 0 dttt 0 0 dd t v x v 3 T1 一物体由静止初始时一物体由静止初始时一物体由静止初始时一物体由静止初始时一物体由静止初始时一物体由静止初始时一物体由静止初始时一物体由静止初始时 按照方程按照方程按照方程按照方程 按照方程按照方程按照方程按照方程 0 0 0t 2 1204816tt 的规律被加速于一半径为的规律被加速于一半径为的规律被加速于一半径为的规律被加速于一半径为的规律被加速于一半径为的规律被加速于一半径为的规律被加速于一半径为的规律被加速于一半径为1 3m 的圆形路径上的圆形路径上的圆形路径上的圆形路径上 的圆形路径上的圆形路径上的圆形路径上的圆形路径上 物体的角速度和角位置关于时间的函数物体的角速度和角位置关于时间的函数物体的角速度和角位置关于时间的函数物体的角速度和角位置关于时间的函数物体的角速度和角位置关于时间的函数物体的角速度和角位置关于时间的函数物体的角速度和角位置关于时间的函数物体的角速度和角位置关于时间的函数 它的加速度的切向分量和法向分量它的加速度的切向分量和法向分量它的加速度的切向分量和法向分量它的加速度的切向分量和法向分量它的加速度的切向分量和法向分量它的加速度的切向分量和法向分量它的加速度的切向分量和法向分量它的加速度的切向分量和法向分量 2 d 1204816 d tt t 2 0 1204816 d t tttt 3232 4024168 532ttttttt 2011 3 15 3 3232 4024168 532ttttttt 32 d 402416 d ttt t 32 0 d 402416d d t tttt t 422422 10882 544ttttttt 加速度加速度加速度加速度 加速度加速度加速度加速度 2 232 2 83 2 532 10 4 1562 n t aRttt aRtt ox y x AB h 求转动惯量求转动惯量求转动惯量求转动惯量 22 ddJrmrx 33 2 2d 322 L h L mmLL Jxxhh LL 2011 3 15 4 2 322 L h LL 2 2222 1 1212 c L JmhmLmhJmh 刚体的平行轴定理刚体的平行轴定理刚体的平行轴定理刚体的平行轴定理 2 c JJmh 转轴平行偏移对称轴转轴平行偏移对称轴转轴平行偏移对称轴转轴平行偏移对称轴h 在考虑定滑轮的质量时的情况下在考虑定滑轮的质量时的情况下在考虑定滑轮的质量时的情况下在考虑定滑轮的质量时的情况下 1111 2222 2 12 1 2 mTm gm a mm gTm a mT RT RmR 1 T 2 T 2011 3 15 5 其中其中其中其中 2 t a Raa R 12 1 2 mTTma gm1 gm2 1111 2222 12 1 2 mTm gm a mm gTm a mTTma mmmm T 12 1 21 2 当当当当m为零时为零时为零时为零时 1 T 2 T 2011 3 15 6 g mmm T 2 1 21 1221 1 g mmm mmmm T 2 1 21 22 1 21 2 2 g mmm mm a 2 1 21 12 g mm mm a 12 12 g mm mm TT 12 21 21 2 gm1 gm2 1 T 1111 2222 1 2 1 2 1 mTm gm a mm gTm a mTTma mTTma m 2 T T m 右边滑轮右边滑轮右边滑轮右边滑轮 左边滑轮左边滑轮左边滑轮左边滑轮 3 T4 2011 3 15 7 gm2 gm1 2 2 mTTma 左边滑轮左边滑轮左边滑轮左边滑轮 解出解出解出解出 2112 21 1212 112212 12 1212 4 2 22 m mmm mmm agTg mmmmmm mmm mmmm m TgTg mmmmmm 21 21 12 12 21 2 mm ag mm m m TTTg mm 当当当当m为零时为零时为零时为零时 3 T2 一个质量为一个质量为一个质量为一个质量为m的物体与定滑轮上的绳的物体与定滑轮上的绳的物体与定滑轮上的绳的物体与定滑轮上的绳 子相连子相连子相连子相连 绳子的质量可以忽略绳子的质量可以忽略绳子的质量可以忽略绳子的质量可以忽略 它与定滑轮它与定滑轮它与定滑轮它与定滑轮 之间无滑动之间无滑动之间无滑动之间无滑动 假设定滑轮质量为假设定滑轮质量为假设定滑轮质量为假设定滑轮质量为M 半径为半径为半径为半径为 R 滑轮轴光滑滑轮轴光滑滑轮轴光滑滑轮轴光滑 试求物体由静止开始下试求物体由静止开始下试求物体由静止开始下试求物体由静止开始下 落的过程中落的过程中落的过程中落的过程中 下落速度与时间的关系下落速度与时间的关系下落速度与时间的关系下落速度与时间的关系 T R a JJTR M mg 物体物体物体物体m作匀加速运动作匀加速运动作匀加速运动作匀加速运动 2011 3 15 8 gm2 h maTmg m 2 2 1 MRJ mM mg a 2 1 物体物体物体物体m作匀加速运动作匀加速运动作匀加速运动作匀加速运动 mM mgt attv 2 1 物体物体物体物体m的速度的速度的速度的速度 3 T3 T 摩擦阻力矩摩擦阻力矩摩擦阻力矩摩擦阻力矩 3 3 92 10 N mMmgr a TrMJJ r 2 2h M ga rmgrJ rt 力矩平衡力矩平衡力矩平衡力矩平衡 求解滑轮转动惯量求解滑轮转动惯量求解滑轮转动惯量求解滑轮转动惯量 r 2011 3 15 9 Mg 2 1 2 MgTMa hat h 2 rt 2 2 22 2 44kg m 2 r t JMmMr h 绳中的张力绳中的张力绳中的张力绳中的张力 49NTM ga 3 T7在自由旋转的水平圆盘上在自由旋转的水平圆盘上在自由旋转的水平圆盘上在自由旋转的水平圆盘上 站着一质量为站着一质量为站着一质量为站着一质量为m的人的人的人的人 圆盘半径为圆盘半径为圆盘半径为圆盘半径为R 转动惯量为转动惯量为转动惯量为转动惯量为J 盘的角速度为盘的角速度为盘的角速度为盘的角速度为 如果此如果此如果此如果此 人由盘边沿盘的半径走到盘心人由盘边沿盘的半径走到盘心人由盘边沿盘的半径走到盘心人由盘边沿盘的半径走到盘心 求角速度的变化及其此求角速度的变化及其此求角速度的变化及其此求角速度的变化及其此 系统的动能变化系统的动能变化系统的动能变化系统的动能变化 人在盘边系统的人在盘边系统的人在盘边系统的人在盘边系统的动量动量动量动量 2 mRJ 人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能 22 1 mRJ 2011 3 15 10 人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能 2 mRJ 人在盘心系统的人在盘心系统的人在盘心系统的人在盘心系统的动量动量动量动量 0J 人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能 2 0 2 1 J 角动量守恒角动量守恒角动量守恒角动量守恒 0 2 JmRJ J mRJ 2 3 T7 在自由旋转的水平圆盘上在自由旋转的水平圆盘上在自由旋转的水平圆盘上在自由旋转的水平圆盘上 站着一质量为站着一质量为站着一质量为站着一质量为m的人的人的人的人 圆盘半径为圆盘半径为圆盘半径为圆盘半径为R 转动惯量为转动惯量为转动惯量为转动惯量为J 盘的角速度为盘的角速度为盘的角速度为盘的角速度为 如果如果如果如果 此人由盘边沿盘的半径走到盘心此人由盘边沿盘的半径走到盘心此人由盘边沿盘的半径走到盘心此人由盘边沿盘的半径走到盘心 求角速度的变化及其求角速度的变化及其求角速度的变化及其求角速度的变化及其 此系统的动能变化此系统的动能变化此系统的动能变化此系统的动能变化 人在盘边系统的动量人在盘边系统的动量人在盘边系统的动量人在盘边系统的动量 2 mRJ 人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能 22 1 mRJ 2011 3 15 11 人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能 2 mRJ 人在盘心系统的动量人在盘心系统的动量人在盘心系统的动量人在盘心系统的动量 0J 人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能人在盘边系统的动能 2 0 2 1 J 系统动能的变化系统动能的变化系统动能的变化系统动能的变化 22 2 222 22 1 2 1 mR J mRJ mRJJEk J mRJ 2 3 T5 坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃 两臂张开时两臂张开时两臂张开时两臂张开时 人人人人 哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为J1 在外力在外力在外力在外力 推动后推动后推动后推动后 系统开始以系统开始以系统开始以系统开始以n1转动转动转动转动 当人的两臂收回当人的两臂收回当人的两臂收回当人的两臂收回 使系使系使系使系 统的转动惯量变为统的转动惯量变为统的转动惯量变为统的转动惯量变为J2 则则则则 系统初态动量系统初态动量系统初态动量系统初态动量 11010 2nJJL 系统初态动能系统初态动能系统初态动能系统初态动能 2 11 2 010 2 2 1 2 1 nJJEk 2011 3 15 12 系统初态动能系统初态动能系统初态动能系统初态动能 11010 22 k 系统末态动量系统末态动量系统末态动量系统末态动量 212 2nJJL tt 系统末态动能系统末态动能系统末态动能系统末态动能 2 22 2 1 2 2 1 2 2 1 nJJE tkt 3 T5 坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃 两臂张开时两臂张开时两臂张开时两臂张开时 人人人人 哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为J1 在外力在外力在外力在外力 推动后推动后推动后推动后 系统开始以系统开始以系统开始以系统开始以n1转动转动转动转动 当人的两臂收回当人的两臂收回当人的两臂收回当人的两臂收回 使系使系使系使系 统的转动惯量变为统的转动惯量变为统的转动惯量变为统的转动惯量变为J2 则则则则 系统初态动量系统初态动量系统初态动量系统初态动量 11010 2nJJL 系统末态动量系统末态动量系统末态动量系统末态动量 222 2nJJL tt 2011 3 15 13 222tt 系统无外力矩作用系统无外力矩作用系统无外力矩作用系统无外力矩作用 角守恒动量角守恒动量角守恒动量角守恒动量 1122 22nJnJ 系统末态转速系统末态转速系统末态转速系统末态转速 1 2 1 2 n J J n 3 T5 坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃坐在转椅上的人手握一对哑铃 两臂张开时两臂张开时两臂张开时两臂张开时 人人人人 哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为J1 在外力在外力在外力在外力 推动后推动后推动后推动后 系统开始以系统开始以系统开始以系统开始以n1转动转动转动转动 当人的两臂收回当人的两臂收回当人的两臂收回当人的两臂收回 使系使系使系使系 统的转动惯量变为统的转动惯量变为统的转动惯量变为统的转动惯量变为J2 则则则则 系统初态动能系统初态动能系统初态动能系统初态动能 2 11 2 010 2 2 1 2 1 nJJEk 系统末态动能系统末态动能系统末态动能系统末态动能 2 2 2 11 nJJE 2011 3 15 14 系统末态动能系统末态动能系统末态动能系统末态动能 221 2 22 nJJE tkt 系统末态动能变化系统末态动能变化系统末态动能变化系统末态动能变化 2 11 2 22 2 2 1 2 2 1 nJnJEk k EA 两臂作用力为内力两臂作用力为内力两臂作用力为内力两臂作用力为内力 其功使得系统动能变化其功使得系统动能变化其功使得系统动能变化其功使得系统动能变化 mg 3 T6 求静止下摆一角度求静止下摆一角度求静止下摆一角度求静止下摆一角度 时的角加速度和角速度时的角加速度和角速度时的角加速度和角速度时的角加速度和角速度 cos 2 1 2 sin 2 mglmg l FrM A 杆受到的重力矩杆受到的重力矩杆受到的重力矩杆受到的重力矩 2011 3 15 15 222 2 3 1 mlJ JM cos 2 3cos 2 3 1 2 1 l g ml mgl J M 3 g dddd ddddtt cos 2 3 l g J M mg 3 T6 求静止下摆一角求静止下摆一角求静止下摆一角求静止下摆一角 度时的角加速度和角速度度时的角加速度和角速度度时的角加速度和角速度度时的角加速度和角速度 A 3 cos 2 g l 2011 3 15 16 3 dcosd 2 g d l 00 3 dcosd 2 g l sin3 2 l g sin3 l g mg 求静止下摆一角度时的求静止下摆一角度时的求静止下摆一角度时的求静止下摆一角度时的 角加速度和角速度角加速度和角速度角加速度和角速度角加速度和角速度 A sin3 l g 当当当当 o 90 gg al 33 2 2011 3 15 17 当当当当90 al2 如果如果如果如果A点脱落点脱落点脱落点脱落 杆绕质心转动杆绕质心转动杆绕质心转动杆绕质心转动 重力的力矩为零重力的力矩为零重力的力矩为零重力的力矩为零 杆杆杆杆角动量守恒角动量守恒角动量守恒角动量守恒 t 时间转过的圈数时间转过的圈数时间转过的圈数时间转过的圈数 2 12 1 mlJ Constant 22 t n 如图如图如图如图 d 3L 4 子弹打入不复出子弹打入不复出子弹打入不复出子弹打入不复出 求求求求 子弹停在子弹停在子弹停在子弹停在 杆中时杆角速度杆中时杆角速度杆中时杆角速度杆中时杆角速度 杆的最大偏转角杆的最大偏转角杆的最大偏转角杆的最大偏转角 以棒和子弹为系统以棒和子弹为系统以棒和子弹为系统以棒和子弹为系统 刚体刚体刚体刚体 质点系统质点系统质点系统质点系统 子弹击中棒时子弹击中棒时子弹击中棒时子弹击中棒时 合外力矩是零合外力矩是零合外力矩是零合外力矩是零 3 T8 2011 3 15 d V L m 系统的角动量守恒系统的角动量守恒系统的角动量守恒系统的角动量守恒 刚刚刚刚 体必须用角动量表述体必须用角动量表述体必须用角动量表述体必须用角动量表述 又又又又 保括地球在内的系统的内保括地球在内的系统的内保括地球在内的系统的内保括地球在内的系统的内 力仅有重力做功力仅有重力做功力仅有重力做功力仅有重力做功 系统系统的机械系统系统的机械系统系统的机械系统系统的机械 能守恒能守恒能守恒能守恒 18 0 PmV 用角动量表示系统初动量用角动量表示系统初动量用角动量表示系统初动量用角动量表示系统初动量 2 00 Lm dVmd 初态初态初态初态 仅子弹有速度仅子弹有速度仅子弹有速度仅子弹有速度 子弹的动量是子弹的动量是子弹的动量是子弹的动量是 d V L 2011 3 15 末态末态末态末态 刚体刚体刚体刚体 子弹都有速度子弹都有速度子弹都有速度子弹都有速度 22 1 3 t LJJm dML 守恒守恒守恒守恒 0t LL V d 19 m 0 3 4 Lm d VLmV 22 1 3 t LJJm dML 3 4 dL 守恒守恒守恒守恒 2011 3 15 2 2 331 443 LmVmLML 36 2716 mV mM L 20 守恒守恒守恒守恒 d V L m 零势点零势点零势点零势点 又又又又 保括地球在内的系统的内力仅有重力保括地球在内的系统的内力仅有重力保括地球在内的系统的内力仅有重力保括地球在内的系统的内力仅有重力 做功做功做功做功 系统系统的机械能守恒系统系统的机械能守恒系统系统的机械能守恒系统系统的机械能守恒 2011 3 15 零势点零势点零势点零势点 d V L m d V L m 21 2 0 11 22 mM EJJmgdMgL 初态初态初态初态 22 1 3 mM JmdJML 1 coscos 2 t EmgdMgL 末态末态末态末态 2011 3 15 d V L m d V L m 零势点零势点零势点零势点 22 222 11 11 coscosmgdMgLMLmdmgdMgL 0t EE 222 0 111 232 EMLmdmgdMgL 1 coscos 2 t EmgdMgL 末态末态末态末态 初态初态初态初态 2011 3 15 222 coscos 22 32 mgdMgLMLmdmgdMgL 2222 2 2 3 cos10 0744 23 mdML MgLmgL 是第二象限角是第二象限角是第二象限角是第二象限角 0 94 23 3 T9 m 0 l O M 2 00 1 2 MM EJ 初态机械能初态机械能初态机械能初态机械能 0 31cosg LJJ 2 1 3 M JMl 2 00 1 1cos0 22 MM l MgJ 0 0 31cos M g l 初态角动量初态角动量初态角动量初态角动量 碰撞前碰撞前碰撞前碰撞前 碰撞前角动量碰撞前角动量碰撞前角动量碰撞前角动量 2011 3 15 22 11 22 tMMm EJmv 末态机械能末态机械能末态机械能末态机械能 00MMM LJJ l tMMm LJlmv 守恒守恒守恒守恒 0t LL 0t EE 24 初态角动量初态角动量初态角动量初态角动量 末态角动量末态角动量末态角动量末态角动量 0 31cos3 Mm MglMlmv 0 l O M 0t LL 0t EE 222 0 1 1cos 3 Mm mglMlmv 2011 3 15 3 0 2 31cos 3 m M vgl mM 0 31cos3 3 M gMm mMl 25 2 3 1 MlJ M 0 l O M 例题例题例题例题 如图如图如图如图 均匀细棒悬挂在均匀细棒悬挂在均匀细棒悬挂在均匀细棒悬挂在o 点点点点 可以自由转动可以自由转动可以自由转动可以自由转动 地面滑动系地面滑动系地面滑动系地面滑动系 数为数为数为数为 细棒在水平位置释放后细棒在水平位置释放后细棒在水平位置释放后细棒在水平位置释放后 在垂直方位与在垂直方位与在垂直方位与在垂直方位与m静止小物体碰撞静止小物体碰撞静止小物体碰撞静止小物体碰撞 m 滑动滑动滑动滑动s距离停止距离停止距离停止距离停止 求细棒反弹求细棒反弹求细棒反弹求细棒反弹 后质心距离地面的最大高度后质心距离地面的最大高度后质心距离地面的最大高度后质心距离地面的最大高度 m 小物体碰撞后运动之初速度小物体碰撞后运动之初速度小物体碰撞后运动之初速度小物体碰撞后运动之初速度 0 v h 2011 3 15 26 小物体碰撞后运动之初速度小物体碰撞后运动之初速度小物体碰撞后运动之初速度小物体碰撞后运动之初速度 sgasv22 2 0 l g3 mamg 细棒和小物体碰撞角动量守恒细棒和小物体碰撞角动量守恒细棒和小物体碰撞角动量守恒细棒和小物体碰撞角动量守恒 细棒反弹角速度细棒反弹角速度细棒反弹角速度细棒反弹角速度 glMl l g MlJL3 3 13 3 1 2 0 sglmMlJJL tmmtt 2 3 1 2 lM sgm l g t 233 以细棒反弹为初态以细棒反弹为初态以细棒反弹为初态以细棒反弹为初态 细棒细棒细棒细棒 小物体为系统小物体为系统小物体为系统小物体为系统 1 2 3 1 MlJ M 0 l O M m 0 v h lM sgm l g t 233 t 2011 3 15 27 细棒初态动能细棒初态动能细棒初态动能细棒初态动能 2 0 2 1 tk JE 细棒末态动能细棒末态动能细棒末态动能细棒末态动能 0 kt E 仅仅重力做功仅仅重力做功仅仅重力做功仅仅重力做功 动能定理动能定理动能定理动能定理 00 0 kkktmg EEEA 2 2 233 3 1 2 1 lM sgm l g MlhMg 0 l O M m 0 v h t 2 2 233 3 1 2 1 lM sgm l g MlhMg ls M m M sml h6 3 2 2 2 2011 3 15 28 如果如果如果如果 mM lss l h63 2 质心距离地面的高度质心距离地面的高度质心距离地面的高度质心距离地面的高度