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2017年09月30日二次函数综合题一解答题（共8小题）1如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标（2）试确定抛物线的解析式2如图，已知直线y=kx6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标3如图；抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请回答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由4如图，已知抛物线y=x2ax+a24a4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿直线CD运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿直线AB运动，连接PQ、CB、PB，设点P运动的时间为t秒（1）求a的值；（2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值（4）当t为何值时，PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）5如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内（包括OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=3上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由6如图，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标7如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECD=ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长8如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2017年09月30日二次函数综合题参考答案与试题解析一解答题（共8小题）1（2017蜀山区校级模拟）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标（2）试确定抛物线的解析式【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，可以求得点B、C两点的坐标，由图象可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，从而可以求得点A的坐标；（2）根据抛物线过点A、B、C三点，从而可以求得抛物线的解析式【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，将x=0代入y=x+6得，y=6；将y=0代入y=x+6，得x=6点B的坐标是（6，0），点C的坐标是（0，6）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，点A的坐标为（2，0）即抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标分别是（2，0），（6，0）（2）抛物线y=ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），解得a=，b=4，c=6抛物线的解析式为：y=【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件2（2017肥城市二模）如图，已知直线y=kx6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标【分析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在POB和POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：POC=POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可【解答】解：（1）把A（1，4）代入y=kx6，得k=2，y=2x6，令y=0，解得：x=3，B的坐标是（3，0）A为顶点，设抛物线的解析为y=a（x1）24，把B（3，0）代入得：4a4=0，解得a=1，y=（x1）24=x22x3（2）存在OB=OC=3，OP=OP，当POB=POC时，POBPOC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=x设P（m，m），则m=m22m3，解得m=（m=0，舍），P（，）（3）如图，当Q1AB=90时，DAQ1DOB，=，即=，DQ1=，OQ1=，即Q1（0，）；如图，当Q2BA=90时，BOQ2DOB，=，即=，OQ2=，即Q2（0，）；如图，当AQ3B=90时，作AEy轴于E，则BOQ3Q3EA，=，即=，OQ324OQ3+3=0，OQ3=1或3，即Q3（0，1），Q4（0，3）综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）【点评】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论3（2017河北模拟）如图；抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请回答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由【分析】（1）根据抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），可以求得抛物线的解析式；（2）将第（1）问求得的抛物线的解析式化为顶点式可以求得顶点D的坐标，对称轴与x轴交于点E的坐标，由B（1，0），从而可以求得BE、DE的长，进而可以求得BD的长；（3）设出点M的坐标，根据第（1）问求得的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以得到BC的长度，设出点M的坐标，根据MBC的面积是4，可以求得点M的坐标【解答】解：（1）抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），解得，a=1，c=3，即抛物线的解析式为：y=x2+2x+3；（2）物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，y=x2+2x+3=（x1）2+4，B（1，0），点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0），DE=4，BE=2，即BD的长是；（3）在抛物线的对称轴上存在点M，使得MBC的面积是4设点M的坐标为（1，m），由x2+2x+3=0得x=1或x=3，即点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（3，0），BC=3（1）=4，MBC的面积是4，解得，m=2，即点M的坐标为（1，2）或（1，2）【点评】本题考查二次函数综合题、求函数的解析式、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是明确题意，会求函数的解析式，能利用勾股定理可以求得直角三角形中某一边的长度，会求二次函数与x轴的交点，会利用三角形的面积探究抛物线上点的坐标4（2017费县模拟）如图，已知抛物线y=x2ax+a24a4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿直线CD运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿直线AB运动，连接PQ、CB、PB，设点P运动的时间为t秒（1）求a的值；（2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值（4）当t为何值时，PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）【分析】（1）把点D（0，8）代入抛物线y=x2ax+a24a4解方程即可解答；（2）利用（1）中求得的抛物线，求得点A、B、C、D四点坐标，再利用矩形的判定与性质解得即可；（3）利用梯形的面积计算方法解决问题；（4）只考虑PQ=PB，其他不符合实际情况，即可找到问题的答案【解答】解：（1）把点（0，8）代入抛物线y=x2ax+a24a4得，a24a4=8，解得：a1=6，a2=2（不合题意，舍去），因此a的值为6；（2）由（1）可得抛物线的解析式为y=x26x+8，当y=0时，x26x+8=0，解得：x1=2，x2=4，A点坐标为（2，0），B点坐标为（4，0），当y=8时，x26x+8=8，解得：x1=0，x2=6，D点的坐标为（0，8），C点坐标为（6，8），DP=62t，OQ=2+t，当四边形OQPD为矩形时，DP=OQ，2+t=62t，t=，OQ=2+=，S=8=，即矩形OQPD的面积为；（3）四边形PQBC的面积为（BQ+PC）8，当此四边形的面积为14时，（2t+2t）8=14，解得t=（秒），当t=时，四边形PQBC的面积为14；（4）过点P作PEAB于E，连接PB，当QE=BE时，PBQ是等腰三角形，CP=2t，DP=62t，BE=OBPD=4（62t）=2t2，OQ=2+t，QE=PDOQ=62t（2+t）=43t，43t=2t2，解得：t=，当t=时，PBQ是等腰三角形【点评】此题考查待定系数法求函数解析式、矩形的判定与性质、矩形的面积、梯形的面积以及等腰三角形的判定等知识5（2016玉林）如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内（包括OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=3上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先求出直线BC解析式为y=x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；（3）设P（m，m2+2m+3），Q（3，n），由勾股定理得出PB2=（m3）2+（m2+2m+3）2，PQ2=（m+3）2+（m2+2m+3n）2，BQ2=n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明PQMBPN，得出MQ=NP，PM=BN，则MQ=m2+2m+3n，PN=3m，得出方程m2+2m+3n=3m，解方程即可【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=1，B（3，0），A（1，0）抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）当x=0时，c=3又抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），抛物线的解析式为：y=x2+2x+3；（2）C（0，3），B（3，0），直线BC解析式为y=x+3，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为（1，4）对于直线BC：y=x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，当h=2时，抛物线顶点落在BC上；当h=4时，抛物线顶点落在OB上，将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内（包括OBC的边界），则2h4；（3）设P（m，m2+2m+3），Q（3，n），当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：B（3，0），PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，BPQ=90，BP=PQ，则PMQ=BNP=90，MPQ=NBP，在PQM和BPN中，PQMBPN（AAS），PM=BN，PM=BN=m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3m，且PM+PN=6，m2+2m+3+3m=6，解得：m=1或m=0，P（1，4）或P（0，3）当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，同理可得PQMBPN，PM=BN，PM=6（3m）=3+m，BN=m22m3，则3+m=m22m3，解得m=或P（，）或（，）综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）【点评】本题是二次函数综合题目，考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果6（2017定安县一模）如图，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连接EF，当EFPQ时，求点F的坐标【分析】（1）先求得直线AB与x轴、y轴的交点坐标，然后将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组求得b、c的值从而可得到抛物线的解析式；（2）由点A、B的坐标可知OB=OA，从而可求得BAO=45，然后分为PQA=90和QPA=90两种情况求解即可；（3）由题意可知：EPFQ，EFPQ，故此四边形EFQP为平行四边形，从而得到PE=FQ，然后设点P的坐标为（t，0）则可表示出点Q、E、F的坐标，从而可求得PE、FQ的长，最后根据PE=FQ列方程求解即可【解答】解：（1）y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）将A（3，0），B（0，3）代入得：，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）OA=OB=3，BOA=90，QAP=45如图所示：PQA=90时设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3t在RtPQA中，即解得：t=1如图所示：QPA=90时设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3t在RtPQA中，=，即解得：t=综上所述，当t=1或t=时，PQA是直角三角形（3）如图所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，t+3），则EP=3t点Q的坐标为（3t，t），点F的坐标为（3t，（3t）2+2（3t）+3），即F（3t，4tt2），则FQ=4tt2t=3tt2EPFQ，EFPQ，四边形EFQP为平行四边形EP=FQ，即3t=3tt2解得：t1=1，t2=3（舍去）将t=1代入得点F的坐标为（2，3）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系、待定系数法二次函数的解析式、等腰三角形三角形的性质和判定、平行四边形的判定，用含t的式子表示EP和FQ的长是解题的关键7（2016威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECD=ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可（2）分点E在直线CD上方的抛物线上和点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；（3）分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x4），8a=4，a=，抛物线解析式为y=（x+2）（x4）=x2+x+4；（2）如图1，点E在直线CD上方的抛物线上，记E，连接CE，过E作EFCD，垂足为F，由（1）知，OC=4，ACO=ECF，tanACO=tanECF，=，设线段EF=h，则CF=2h，点E（2h，h+4）点E在抛物线上，（2h）2+2h+4=h+4，h=0（舍）h=E（1，），点E在直线CD下方的抛物线上，记E，连接CE，过E作EFCD，垂足为F，由（1）知，OC=4，ACO=ECF，tanACO=tanECF，=，设线段EF=h，则CF=2h，点E（2h，4h）点E在抛物线上，（2h）2+2h+4=4h，h=0（舍）h=E（3，），点E的坐标为（1，），（3，）（3）CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P，过点P作PNy轴，交BC于N，过点P作PMBC，交y轴于M，四边形CMPN是平行四边形，四边形CMPN是菱形，PM=PN，过点P作PQy轴，垂足为Q，OC=OB，BOC=90，OCB=45，PMC=45，设点P（m，m2+m+4），在RtPMQ中，PQ=m，PM=m，B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为y=x+4，PNy轴，N（m，m+4），PN=m2+m+4（m+4）=m2+2m，m=m2+2m，m=0（舍）或m=42，菱形CMPN的边长为（42）=44CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PMBC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MNCP，交BC于N，四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，四边形CPMN是菱形，PQCM，PCQ=NCQ，OCB=45，NCQ=45，PCQ=45，CPQ=PCQ=45，PQ=CQ，设点P（n，n2+n+4），CQ=n，OQ=n+4，n+4=n2+n+4，n=0（舍），此种情况不存在菱形的边长为44【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，判定，锐角三角函数，解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解8（2016临沂）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断