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平面几何中的函数问题 湖北省英山二中 付友 探求平面几何图形中几何量之间的函数关系，已成为近年中考试题的热点内容之一这类问题考查的知识点多，综合性较强本文列举数例，供同学们在中考复习时参考例1 (山东省，1996)如图1在ABC中，BC=6，AC=4，C=45，在BC边上有动点，P，过P作PDAB与AC交于点D，连结AP，设BP=x，APD的面积为y(1)求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)P点是否存在这样的位置，使APD的面积等于ABP的面积的？若存在，求出BP的长，并说明理由。解(1)PDBA，过点P作PMAC，垂足为M，则点P可在线段BC上移动，且不能与点B，C重合，自变量x的取值范围是0x6(2)作ANBC，垂足为N，则解之，得x12，x2=0(不合题意舍去)故在BC上存在一点P，即BP2，APD的面积等于ABP的例2 (四川省，1995)如图2，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，设梯形的周长为16cm，底角30，高AH为xcm，中位线EF的长为ycm，用解析式示梯形的中位线长y是高x的函数，并求自变量x的取值范围解 在RtABH中，B=30AB=2AH=2xEF是中位线，由四边形ABCD是等腰梯形且周长为16，得AD+BC16-(AB+CD)=16-4x将代入式，得y8-2x显然x0若A，D重合，梯形变成ABC，此时有但A，D两点不能重合，故自交量x的取值范围是例3(山西省，1997)如图3，已知ABC中，O1是它的外接圆，与O1内切于A点的O2交AB于F，交AC于G，EFBC，GHBC，垂足分别为E，F，AD是ABC的高，交FG于M，且AD=6，BC=8(1)求证四边形FEHG是矩形；(2)设FEx，写出矩形FEHG的面积y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(3)当矩形FEHG的面积是ABC面积的一半时，两圆的半径有什么关系？并证明你的结论证明(1)过点A作两圆的公切线PQPABAGF，PABACB，AGFACB，FGBC又FEGH，四边形FGHE是平行四边形FEC90，四边形FEHG是矩形解(2)由题设FE=x，矩形FEHG的面积为y，知AM=AD-MD=6-xBCFG，AFGABCy=FEFG自变量x的取值范围是0x6解(3)由ABC的面积为24，则解得x1=x2=3，即当矩形FEHG的面积是ABC的面积一半时，FE连结O2F，O1B，AO1，则O2必在AO1上AO2F=AO1B，FO2BO1练习1(海南省，1998)如图，RtABC中，C=90，CD= b，以CD为直径的O切AB于点M，设AM2=y，AC=x(1)求y与x的函数关系式；(2)当x=8时，求ABC的面积2(泰州市，1997)如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点(E，F，P不与正方形的顶点重合)且PEPF，PEPF(1)求证：AE+DF=6；(2)设AE=x，五边形EBCFP的面积为y求y与x的函数关系式，并求出y的取值范围3(呼和浩特市，1997)如图，在RtABC中，ACB90，AC20cm，BC15cm(1)求AB边上