拓展数学例题激活学生思维课题研究报告.doc

拓展数学例题激活学生思维课题研究报告保靖县实验小学数学课题研究组 撰写 刘兴荣一、课题研究背景本课题的研究，基于下面两大原因：学生因素 拓展生活化例题是学生学习有价值数学的需要数学课程改革的基本思路是：以反映未来社会对公民所必须的数学思想方法为主线选择和安排教学内容；以与学生年龄特征相适应的大众化、生活化的方式呈现数学内容；使学生在活动中，在现实生活中学习数学，发展数学。但是，在当前的小学数学教学中，特别是我们这贫穷落后的少数民族地区，教师非常重视数学知识的传授，重视学生成绩的提高，家长也只关心自己孩子的成绩，能不能考取重点中学，很少关注数学知识和学生的实际生活有哪些联系。为了应试，学生做了千百道应用题，最后也还只会按类型解题，不懂得怎么应用，既不知道数据从哪里来，又不知道解决某个问题需要哪些数据、怎样获得数据。因此，学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节。在现实生活中，学生天天与数学打交道，却对生活中的数学熟视无睹，对数学缺乏兴趣，缺乏良好的数感，学和做无法同步发展，解决实际问题的能力得不到锻炼和提高，从而形成“眼高手低”和“高分低能”的现象。通过本课题的研究，力求做到学生生活与例题教学有机地结合起来，力图体现“生活数学生活”的回归。 拓展实践型例题是培养学生实践能力和创新精神的需要在当前的小学数学教学中，数学能力发展不全面，我们很多老师只重视运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，对现代社会所要求的公民应具有的数学能力：如实验观察、信息获取、数据处理、模式抽象、合情推理、预测猜想、逻辑证明、探究创造等不太关注，据调查表明，作为素质教育的核心-创新精神和实践能力在学生的学习目标中是体现最弱的方面。通过本课题的研究，力求做到例题教学与学生实践有机结合起来，力图体现“教、学、做合一”的理念和方法。 拓展发展型例题是增强学生学习兴趣的需要，是学生进一步发展的需要。.新课标指出：在全体学生获得必要发展的前提下，可以让不同的学生获得不同的发展。我们在教学中根据实际增加一些注重数学思想方法、注重学生发展的内容，有助于学生认识数学的本质和作用，增强对数学学习的兴趣。通过本课题的研究，力求做到例题教学与学生进一步发展有机结合起来，力图体现“不同学生有不同发展”的教育理念。教师因素 拓展小学数学例题是教材资源建设的需要随着新课程的推进，已有的教材资源还需要不断补充，特别是要保持实验教材之树常新常绿，标准意义下的教材资源建设还要大大加强。所以，我们可以从学生的生活背景出发，开发出贴近学生生活、适于学生在校学习、有益于拓宽学生视野、发挥学生主动性和创造性的数学教材。 拓展小学数学例题是教师改变教育观念、改进教学方法的需要众观当前的课堂教学情况，存在一个普遍性的问题，课堂教学达到一定程度后，浮于表面，徘徊不前，缺乏创新。许多教师在新课改中勇于尝试，仅限于形式上的模仿，学了“形”却没有领悟其内在的“神”，没有真正的在教学中体现创新的精髓，还在沿用“灌输式”的教学方式，还在坚持“以教师中心论”为主体，还在“教教材”，没有实现“用教材教”的理念，对教材的灵活使用缺乏，对学生自身潜能开发少。这与标准所倡导的数学教学重活动、重合作、重实践的教学理念存在着相当大的距离。通过本课题的研究，将进一步提高教师的教育教学水平，优化教育策略，改进教学方法。 联合国教科文组织在学生生存教育世界的今天和明天一书中指出，“教育既有培养创造精神的力量，也有压抑创造精神的力量。”所以我们要彻底摆脱传统教育中不利于培养学生创新精神的一切因素对我们的束缚，大胆的进行教育教学的创新和变革，灵活、创造性的处理教材，开发课程资源，激活学生创新思维，使小学数学课堂教学取得突破性的进展，使小学数学课堂教学“再前进一步”。基于以上原因，我们提出了本课题的研究。二、课题研究的理论支撑1、新课标明确指出：“要重视从学生的生活实践和已有的知识中学习数学和理解数学。人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”2、教科书并非惟一的数学课程资源，有效的数学学习需要丰富的数学课程资源。3、传统的教学方式不利于学生积极主动地学习，不利于学生创造性的孕育，需要新的教学理念、教学策略。4、学生的创新意识和实践能力要在活动中、合作中、实践中得到培养和发展。5、教师是学习活动的组织者、引导者、合作者，学生是知识学习的发现者、研究者、探索者。三、课题研究的目标与内容1、研究的目标通过课题的研究，找出怎样拓展数学例题以激活学生思维的有效策略；通过 “每课必拓,以拓激思”，良好培养学生创造性解决实际问题的能力，增强学生热爱数学的情感，推动学生综合素质的发展。通过课题的研究，使我校数学教师改进教学方式,提高教学效率,优化教学策略,同时探索课题研究方式，打造一支研究业务、钻研课改的教师团队。2、研究的内容结合教参、教材、当地实情、学生生活实际研究小学数学例题；根据学情、实情开发出能激活学生思维的课程资源和研究出能激活学生思维的教学策略；运用开发出的课程资源及研究出的教学策略进行教学实践；评价开发的课程资源和教学策略；收集成功案例和教学反思，分年级编订成册，补充教材资源。四、课题研究的对象与步骤1、研究对象保靖县实验小学一到六年级课题组成员所在的10个班的学生2、研究步骤课题研究准备阶段(2008.6-2008.10):成立课题研究小组，学习课题知识；调查活动；课题实践研究阶段(2008.11-2010.2):个人课题研究：（以学期为单位，贯穿整个学期）与平时教学同步进行例题分析；为激活学生思维开发课程资源和研究教学策略；在自己班上进行教学实践；反思教学效果并与同头教师交流。课题组集中研究：（以学期为单位，研讨三次：开学、期中、期末）开学课题组进行主题研讨活动：期中进行例题拓展展示课；期末进行例题拓展经验交流会。课题成果总结阶段(2010.3-2010.6):对资料进行优化研究，撰写结题报告；汇编成果专辑，展示研究成果。五、课题研究实践：在长期的教学实践中我们普遍发现：学生学习数学的兴趣低，积极性不高，思维懒惰，同时对学习数学的意义认识也不够，动手操作能力欠缺，创新意识缺少。那这些到底受制于哪些因素呢？学生喜欢的数学又是什么样的呢？什么样课堂教学受学生欢迎呢？教师采用什么样教学策略能激活学生思维呢？在准备阶段，我们就教师、学生、教学活动三方面指标，在各年级的课堂内进行了观测。课堂教学中教师与学生对例题学习的现实性及有效性调查。在对调查资料的分析中，我们惊讶地发现，教师教学观念陈旧、教学方式落后，对教材的灵活处理欠缺，向学生呈现教材内容的方式简单，缺乏场景和环境，学生基本上在教师的牵引下，被动地接受学习，体会不到学习数学的现实意义，更谈不上激活学生的思维了。另外,学生学习的主体性体现不强，合作少，动手实践少，交流更少，导致学习兴趣不浓，积极不高，思维碰撞难现。最后,例题练习的对比性、层次性不强,学生是为学数学而学，在生活中缺乏敏锐的数学眼光、缺乏运用数学知识解决生活问题的意识。对此，我们在以下三方面做了一定的探索和实践：1、转变变教师教育观念、改进教学方式是激活学生思维的前提。传统的数学课堂教学通常采用的方式是教师讲、学生听、课上练习、课后作业。在这个过程中，学生付出的精力主要是消化理解教师所讲，学生头脑中复制的是教师的思想和语言，这不利于学生积极主动发现问题、思考问题，更不利于学生创造性的孕育、思维火花的点燃。所以，我们做了以下的研究工作：提供学习材料。课题组找来“课程标准”和一些与本课题相关方面的书籍；同时上网搜集一些有价值的资料，特别是理论性较强的文章。开展读书活动。课题组教师参与“三个一”的读书行动，即：广读一批教学期刊，研读一本教学专著，撰写一定的读书心得。另外，课题组还充分利用每周一下午第二节课教研时间交流想法，不断提升参与者的理论水平。实践探索活动。举行大型课题研讨活动，让研究的主题在理念与实践的碰撞中，在个体与群体的交融中得到澄清和深化。专家引领，达成共识。请专家来学校讲座，我们听了参与教材编写的曹培英老师关于教材、课标的讲座，听了王洁博士的教师在教育行动中成长的讲座，大家受益非浅，更进一步认识到了转变教育观念、改进教学方式是课堂教学高效的重要前提。通过我们的努力，大家总结出了以下三点：要放下教师高高在上的架子，建立民主平等的师生关系；教学方式要“三重”：重活动、重合作、重实践；注意师生位置：教师是学习活动的组织者、引导者、合作者；学生是知识学习的发现者、研究者、探索者。2、拓展数学例题是激活学生思维的基础。灵活的处理教材，充分挖掘教材中有效激活学生思维的积极因素，实现“教教材到用教材教”的转变。对于数学例题的拓展，我们主要以例题为载体，研究例题的内容、例题的结构、例题的解法、例题的练习，从这四个方面进行探索实践的：例题的内容拓向生活数学是为生活服务的，但又来源于生活。我们新课改后的数学教材所用的例题材料大部分都是从我们生活中选取的，其主要目的：一是让学生感受数学就在我们身边，使之亲切；二是让学生学习有价值的数学，使之有用。通过我们主题研讨、个人实践研究，发现采用利用生活事例引入课堂教学的老师，课堂教学中学生的兴趣浓，积极性高，学生思维活跃。所以我们可以结合当地实情、民族特色、学生认识经验等选取更合理、更符合本班学生需要的生活化内容作为例题教学材料。具体做法如下：例题引入生活化如教学一年级基数和序数的时候，用日常生活买早餐的实际例子引入，区分几和第几。讲一个有趣的笑话：一个小朋友吃了3个馒头才吃饱，结果要付给阿姨3个馒头的钱。于是小朋友说早知道这样的话，我只吃第三个馒头就饱了。学生根据这个笑话发表意见，区分3个馒头和第3个馒头，从而教学基数和序数。又如教学循环小数时，运用日常生活中的现象引出“循环”的概念。如季节更替现象：“春夏秋冬”；时间现象：“星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日”；自然现象：“水汽云水”等。 例题教学生活化如教学二年级平移和旋转时，可以玩玩荡秋千，自己制作演示旋转的玩具，开关门，等实际的生活活动帮助理解。教学平移时，可以坐升降电梯，推拉教室里的窗户，参与升降旗的活动理解平移。在教学除法的初步认识时理解平均分含义。可以在课堂上开展给学生们分苹果的活动，先第一次分的不一样多，让学生感到不公平，第二次分的同样多，理解像这样每份分的同样多就叫平均分。在教学学“相遇问题”时，对于相遇问题的关键要素：相对（相向）、相背、同向、同时学生第一次接触理解不透，容易混淆，教师可以编导几个情境让学生两个两个表演：1、同时从两地相向（相对）而行后相遇；2、同时从两地相向（相对）后不相遇，而是相距；3、同时从某地相背而行相距表演完后，并能用语言编题叙述，经过这样的演练，学生对同时、相向、相背等就有了实实在在的了解。 例题练习生活化如学习二年级测量（认识长度单位毫米、厘米、分米、米以及千米）后，让学生动手实践进行实际测量：纸张的厚度，铅笔的长度，黑板的长度，以及操场跑到的长度等。在测量的过程中感受到毫米、厘米、米、这些长度单位的合理运用，给生活带来方便。在学习了克和千克的认识后，让学生去超市调查一些物品的重量，再进行实践操作，实际称量，（称一包盐、方便面、苹果等实际生活用品）联系生活实际，会运用合适的重量单位。在教学“圆的周长”后，让学生想办法测量学校大厅的圆形柱子的直径；教学“比例”后，就让学生按比例制作学校平面图。例题的变式优化例题是启迪学生数学思维的最佳载体，适当变换例题的条件或结论教学，可培养学生良好的思维习惯，增强学生分析问题和解决问题的能力，收到事半功倍的教学效果。通过主题研讨、个人实践研究对于例题的变式优化我们主要采用了以下五种变式策略：补充式变式补充条件解答答问题，思考要解答问题需要什么条件；或根据已知条件补充问题，思考已知条件可以解答哪些问题。补充式变式可培养学生分析问题的能力 ，提高学生学习的效率和方法。如教学百分数一般应用题练习时，我们把例题中的第二个条件不写，让学生自己去补充合适的条件解答，学生的积极性高了，有的补充的简单，有的补充的难，满足了不同的学生有不同发展的需求，且整体学习效果明显。例题：有一袋大米，第一周吃了40%，第二周吃了12千克，还剩6千克，这袋大米有多少千克？变式题：有一袋大米，第一周吃了40%，第二周 ，还剩6千克，这袋大米有多少千克？学生补充、解答及效果：第二周吃了a千克 （6a）（140%）第二周吃了a% 6（140%a%）第二周比第一周多吃a千克（6a）（140%40%）第二周比第一周少吃a千克（6a）（140%40%）第二周吃的是第一周的一半6（140%40%50%）第二周吃的比第一周多25% 6140%40%(1+25%）第一种情况，直接补充数量的有28人，约占全班的40%；第二种情况，直接补充百分率的有25人，约占全班的35%；第三种情况，“第二周比第一周多吃几千克”补充数量的有8人，约占全班的11%；第四种情况，“第二周比第一周少吃几千克”补充数量的有3人，约占4%，第五、第六种情况的各1人，约占3%，其他情况5人（没对），约占7%。第一种和第二种情况是教学目标所要求达到的，共占了75%，虽然比直接呈现让学生做要低，但第三、四、五、六种拓展情况共占了18%，这是直接呈现例题无法达到的，但也有弊端，导致5人做错。从总体上来看，利大于弊，学生多元的补充方法，不同的思考角度，灵活的运用知识，让不同的学生有不同的发展等，都比例题直接呈现收获大。改变式变式在学习例题的时候，教师故意将例题改变一个重要的条件或一个数据，甚至一个单位、一个符号，使“毫厘之变，千里之谬”，以此提高学生细心观察事物、辨别是非的能力，培养学生严谨的学习态度。案例一：内容：分数乘法应用题例题：一条绳长2米，剪去2/5， 还剩多少米？变式：一条绳长2米，剪去2/5米，还剩多少米？教学前，先把例题进行变式，让学生做，然后删除“米”，进入例题教学。本题的变式只改变了一个字，但一字之差，千里之别。变式题中绳长还剩22/51.6(米)，例题中绳长还剩：222/51.2(米)。案例二：内容：分数乘除法应用题例题：黑兔有60只，黑兔是白兔的3/4，白兔有多少只？变式：黑兔有60只，白兔是黑兔的3/4，白兔有多少只？教学前，先进行变式，让学生解答，然后把单位“1”的量互换进入例题学习。单位“1”的量改变，方法逆转。变式题中白兔有603/445（只），例题中白兔有：603/475（只）。案例三：例题：修一条长847千米的公路，5天修了170千米，修20天能完成吗？变式：修一条长847千米的公路，5天修了170千米，再修20天能完成吗？教学例题之后，再把例题变式，让学生解答。多一个“再” 与少一个“再”差别极大。例题中：1705（205）847，能完成；变式题中：170520847，不能完成。通过实践证明，改变式变式在我们的教学中采用的较多，学生在改变对比中辨别差异，寻求数量关系，解决问题，良好的激活了学生的思维，教学效果非常好。反向式变式反向式变式是指把例题知识反转倒装，使思维方式、解答方法转为逆向，是知识的逆运用范畴。我们要对教材中的例题认真分析，正确变式，这样的训练可培养学生逆向思维能力。如教学运算定律推广到分数乘法时，先让学生简算例题“24（5/63/4）”，然后反向变式成“247/11244/11”。这样训练，不仅使学生牢固掌握乘法分配律知识，而且还很好的培养了逆向思维能力。当然顺向思维和逆向思维的训练是互相联系在一起的，彼此交融，相辅相成。比如在复习分数乘除法应用题时，我们设计了这样的知识变式题组：A、鸡有18只，鸭有27只，鸡的只数是鸭的几分之几？鸭的只数是鸡的几倍？鸡比鸭少几分之几？鸭比鸡多几分之几？（顺向）B、鸡有18只，是鸭的2/3，鸭有多少只？（逆向）C、鸡有18只，鸭的只数是鸡的1.5倍，鸭有多少只？（顺向）D、鸭有27只，鸡的只数是鸭的2/3，鸡有多少只？（顺向）E、鸭有27只，是鸡的1.5倍，鸡有多少只？（逆向）F、鸡有18只，比鸭少1/3，鸭有多少只？（逆向）G、鸡有18只，鸭比鸡多1/2，鸭有多少只？（顺向）H、鸭有27只，鸡的比鸭少1/3，鸡有多少只？（顺向）I、鸭有27只，比鸡多1/2，鸡有多少只？（逆向）增加式变式把例题的条件增加一些，也就是增多一些干扰信息，让学生从众多干扰信息中选取适合的条件解决问题。因为要排除干扰，所以能够有效培养学生分析信息、综合信息解决实际问题的能力。如人教版二年级下册24页的例2时的情景。让学生看到情境提出问题。学生们提了很多问题。为了使学生正确的理解题意我也提出了这样的问题：3个小朋友在植树，每行种4棵，种了7行一共种了多少棵？在这个问题里面增加了一个已知条件（因为情境图里正好有3个小朋友在植树）。解决这个问题只要每行种4棵，种了7行就够了。增加这样的条件是让学生们认真的读题，发现3个小朋友是多余的已知条件，培养学生认真读题和认真分析的好习惯。又如： 例题：实验小学六年级订小学生导刊185份，五年级比六年级少订62份，四年级比五年级少订45份，五年级订了多少份？四年级呢？变式：实验小学六年级订小学生导刊185份，五年级比六年级少订62份，四年级比五年级少订45份，三年级比六年级多订了28份，二年级比四年级少订了37份，五年级订了多少份？四年级呢？教师在例题条件的基础上增加两个使学生容易混淆的条件：“三年级比六年级多订了28份，二年级比四年级少订了37份”，为开发学生的思维提供了良好的空间。拔高式变式在学习例题的时，不满足于例题知识的探讨，而把例题知识往高处再递进一层、延伸一层、拔高一层。这可有效发展学生的思维，提高教学效率。当然，我们不能为了递进而递进，每节课都如此，要根据学生的实际和例题知识层面决定要不要拔高、能不能拔高。如果拔高了，要在学生通过思考能够解决的范围内，俗话说：跳一跳就能摘到桃子。如我们在教学圆柱的体积公式时，为了让学生透彻理解体积公式，在教学中我进行了一系列的递进和拔高，为激活学生思维架了一座桥梁。当然递进和拔高是建立在学生动手操作、积极讨论、教具直观演示基础上进行的：基本1、圆柱体积与与拼成的长方体的体积相等，它们之间只是形状变了；2、圆柱的底面积与拼成的长方体的底面积相等，两个底面积的形状变了；3、圆柱的高与拼成的长方体的高相等。4、长方体的体积等于底面积高，所以圆柱体的体积也=底面积高，而圆柱底面是圆形，所以圆柱体积=r2h。拔高1、引出等积变形概念：结合圆柱的体积与与拼成的长方体的体积相等、形体变了以及圆柱的底面积与拼成的长方体的底面积相等、形状变了教学等积变形概念，并让学生用准备的橡胶泥进行等积变形活动。2、进一步研究两者线条之间的关系长方体的宽与圆柱的半径相等，长方体的长等于圆周长的一半，长方体的两条长就是圆的周长。3、表面积研究（结合实际图，如上图）a、圆柱体的上、下两个面的面积与长方体上、下两个面的面积分别相等；b、圆柱的侧面积等于长方体前、后两个面的面积和，长方体前、后一个面的面积就是侧面积的一半（长方体前、后两个面是以圆周长的一半为长、高为宽的两个长方形）；c、转化成的长方体的表面积比圆柱体多长方体左右两个面的面积（左、右两个面是以高为长、半径为宽的两个长方形）4、体积公式的另外推导推导一：长方体的宽等与圆柱的半径，长方体的长等于圆周长的一半。所以，结合“长方体体的体积=长宽高”公式，可推出“长方体体的体积=圆周长的一半半径高”，也就是2r2rh=r2 h。推导二：长方体前、后一个面的面积是圆柱侧面积的一半，如果把它当作长方体的底面积，那么长方体的宽就是高，宽又和圆柱的半径相等，所以结合“长方体体的体积=底面积高”公式，推出“长方体体的体积=侧面积的一半半径”，也就是“圆柱的体积=侧面积的一半半径”。通过研究证明，进行拔高的班级学生比没有拔高的班级学生对所学知识掌握要好，灵活解决实际问题的能力要强。在拔高的班级中学生探究知识的欲望强烈，积极发言，充分展示自己的发现是最多的。这节课中发现问题最多的一个学生达到了6个，其它学生也争着发言，相互补充，解决了知识拔高问题。进行这样设计，有效的激活了学生的思维，大大提高了课堂教学效率。例题的解法求异求佳通过我们的研究，发现例题的一题多解和多题一解能够很好的培养学生求异求佳的思维能力。我们在教学中要把握教材选准例题，抓住机会，让学生经历从不同角度、按不同思路、用不同方法解答问题的过程，培养学生异中求同、同中求异、异中求变、变中求佳的思维能力，提高他们综合运用知识解答数学问题的技巧和策略，达到“举一反三”、“触类旁通”的学习效果。一题多解六年级下册比和比例中常出现的一道题：甲数的3/4等于乙数的4/5，甲、乙两数的比是（ ）：（ ）。我在教学时，先让学生独立解答，然后集体讨论交流，探索出了四种解法，最后肯定了学生积极探索的过程和最佳的解题策略。A、利用比例的基本性质（佳）由题意可列出等式：甲3/4乙4/5，把等式两边的积可看成比例的外项之积或内项之积，然后填出外例：（ ）：（ ）=（ ）：（ ），甲3/4看成外项之积就放在比例的外项位置上，乙4/5看成内项之积就放在比例的内项位置上，因为两外项可以互换，两内项可以互换，根据需要调好位置，可得：（甲）：（乙）=（4/5）：（3/4），最后化简比：（甲）：（乙）=（4/5）：（3/4）=4/54/3=16/15B、以实代虚法（佳）在等式甲3/4乙4/5中，甲乙都是未知的，可设其中一个为具体的实数，求出另一个数。如甲为16，那么163/4乙4/5，乙就是15。（甲）：（乙）=（16）：（15）C、利用乘法各部分之间的关系（一般）把等式甲3/4乙4/5中乙4/5看成甲3/4的积，那么甲乙4/53/4乙4/54/3乙16/15，也就是甲数是乙数的16/15，（甲）：（乙）=（16）：（15）。D、通分子（一般）由题意可知，甲数中的3份和乙数中的4份相等，说明甲数中的1份和乙数中的1份不相等，如果让相等的部分份数也相等，那么每一份也相等，3和4的最小公倍数是12，把原题变化成甲数的12/16等于乙数的12/15，说明甲有这样的16份，乙有这样的15份，（甲）：（乙）=（16）：（15）。多题一解如在六年级综合复习立体图形体积公式时，就可以把这些公式统一成一种解法：V=shV=a3V=abhV=r2 hV=shS=r2 S=ah2 S=ahS=ab S =(ab)h2 S =a2又如在综合复习平面图形的面积公式时，我们可以把这些公式统一成梯形面积公式这一种解法，其主要目的是为了激发学生的兴趣，加强知识之间内在的联系，培养学生思维能力。但要记住，在练习中不要让学生刻意追求这种解法，因为这种解法在运算方面比原来的解法要复杂，只要学生懂得它们之间的联系就可以了。图示如下：S=r2 S=ah2 S=ahS=ab S =(ab)h2 S =a2通过我们的研究发现，对学生进行一题多解和多题一解训练还要注意以下三点：一是目的要明确。上这种课不是单纯地追求一题多解或多题一解，而是要通过这种练习活动，达到锻炼学生的思维，拓宽学生的思路，增长学生的知识，培养和提高学生创造性学习能力这个根本目的。二是把握好时间。这种课一般在学生对某一部分知识或某几部分知识熟练掌握的时候，在综合练习时进行。三是选题要得当，方法要灵活。选的题不能只顾及好生，还要照顾差生，更不能千题一律，堂堂如此，要根据班上学生学习的具体情况和实际教学需要，灵活进行。只有这样，学生的思维才能得到长足发展，教学效果才会更好。例题的练习加强对比与注重层次例题的练习是课堂教学的重要组成部分，是巩固新授知识、形成技能技巧、培养良好的思维品质和发展学生智力的重要途径。学生学习了例题不进行一定行之有效的练习，就难以使学生掌握知识，形成技能，提高分析、解决问题的能力。那么，如何合理设计例题的练习呢？方法很多，我们主要从知识的对比性与练习的层次性这两个方面进行探索和实践的：加强对比性设计练习时，通过形式、内容、方法等对比，引导学生抓联系，辨差异，巩固知识，丰富学生知识结构，深入反思，从而发展学生思维，培养学生良好学习习惯。A、形式对比：如在六年级复习数学概念时，我设计了这样一道填空题：在我们学过的数学概念中，有些正着说是对的，但反着说是错的。如：正着说“等边三角形一定是等腰三角形”是对的，反着说“等腰三角形一定是等边三角形”是错的。你能再举出一个这样的例子吗？正着说，对的：（ ）。反着说，错的：（ ）。在反馈交流中，学生举出了很多这样的例子，如：正着说“两个不相同的质数一定是互质数 ”是对的，反着说“互质数一定是两个不相同的质数”是错的，正着说“正三角形一定是锐角三角形”是对的，反着说“锐角三角形一定是正三角形”是错的，正着说“正方形是特殊的长方形 ”是对的，反着说“长方形是特殊的正方形”是错的，等等。通过这样的形式对比，能强化学生对概念本质的理解，同时让学生感受到死记硬背概念是不能解决问题的，对概念的正确理解才是关键。如在一年上期区分基数和序数的练习中我设计了这样的练习：1、把右边的8个 圈在一起，把从右边起第8个 涂上你喜欢的颜色。这样对比练习使学生区分右边的8个圈起来要圈的数量为8个，给右边的第8个涂上颜色，要涂得数量是一个，它的位置在第8。正确的区分8个和第8个。B、内容对比：如课题组教师在上新课程二上用乘法解决问题时，在基本练习中碰到这样一道练习题：图示“一群5只蝴蝶”，文字“又飞来4群蝴蝶，现在一共有几只蝴蝶？”有很多学生做成5+4=9（只），理由是“又飞来”用加法。对于一年级刚上来的学生，飞来加法，飞走减法很是熟练，学习乘法之后，怎样打破“又飞来”用加法的强信息干扰呢？该教师教学时加强了对比： 题1：图示呈现“一群5只蝴蝶”，文字呈现“又飞来4群蝴蝶，现在一共有几只蝴蝶？” 题2：图示呈现“一群5只蝴蝶”，文字呈现“又飞来4只蝴蝶，现在一共有几只蝴蝶？”学生在两题的图示中直观地感受到了差异，当一些学生再次以“又飞来”用加法为理由出现5+4=9（只）时，一些学生马上清醒地认识到“又飞来不一定是加法，要看是飞来几群还是飞来几只，如果飞来几群就用乘法，飞来几只就用加法。”“一群有5只蝴蝶，飞来4群，就是又多了4个5只。”“一群有5只蝴蝶，又飞来3只，就是又多了3只。”从学生的发言表明，通过形象对比，他们更加明白求几个几的和，用乘法计算，求几和几的和用加法计算。在辨析中分清异同，突破看见“又飞来”或者“求一共”就用加法的词语定势，从寻找相同词语到感悟数量关系，实现感性到理性的飞跃。可见，在练习中加强对比，设计对比性练习是非常必要的。如：一年级学习了数位顺序表，对于低年级的学生要理解生硬的数位顺序容易混淆，于是设计这样的的练习。1、一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是8，这个两位数是（ ）。2、一个两位数，十位上的数字是8，个位上的数字是5，这个两位数是（ ）。通过对比练习，使学生分清个位和十位，个位在右边的起的第一位，十位是右边起的第二位。C、方法对比：如六年级下册学习工程问题时，为了让学生更清楚的理解工程问题的数量关系，提高学生理性分析问题的能力，我设计了如下的三道对比练习。生产360个零件，徒弟每小时做10个，师傅每小时做15个，两人合做几小时完成？生产360个零件，徒弟独做需10小时，师傅独做需15小时，两人合做几小时完成？生产一批零件，徒弟独做需10小时，师傅独做需15小时，两人合做几小时完成？这三道题情景相似，方法相似，易形成定势思维，干扰在所难免。教学中我们直接让学生形成认知冲突，通过对比，使学生对知识重新编码，让学生在对比中感悟，主动审题和分析数量关系，这样有助于排除情景干扰，减少解题策略定势，培养学生的批判性思维。经过实践，这样对比性设计是可行的。注意层次性练习设计的层次性，就是指设计的练习有坡度，由易到难，从简单到复杂，从基本练习到变式练习再到综合练习，使每个层次的学生都有“事”可做。通过我们的研究和探索，对于练习的层次性，不仅要关注知识的层次，还要关注学生的层次。对于知识的层次性要从形式、内容、能力三个方面去把握。对于学生的层次，要把练习知识分为A、B、C三级，必做与选做结合。如下图：级别 分ABC三级，必做与选题结合形式 基本练习 变式练习 综合练习内容 基础知识 技能识识 思维知识能力 模 仿 发 展 创 造我们以六年级圆的面积一课为例，进行分层设计：基本练习剪、拼 r r r。圆的面积公式是怎样推导出来的？（A级）r表示是什么意思？r表示是什么意思？rr表示是什么意思？（B级）r2表示是什么意思（C级）变式练习圆的圆的半径是2厘米，它的面积是（ ）；圆的直径是6厘米，它的面积是（ ）；圆的周长是25.12分米，它的面积是（ ）。（A级）小圆直径等于大圆半径，小圆面积是大圆面积的（） 1/4 1/8 1/2 （B级）一种铝制面盆是用直径30厘米的圆形铝板冲压而成的，要做1000个这样的面盆至少需要多少平方米的铝板？（C级）综合练习如图：正方形面积是10平方厘米，圆的面积是多少？（A级） 找来三根一样长的铁丝，分别做成正方形、长方形、圆，看谁的面积最大？为什么？（B级）一个石英钟的分针长10cm,分针旋转过的面积是157cm,你能求出分针走了多少分钟吗？（C级）实践证明，进行这样的分层设计，净果好，既让全班学生有事可做，又让不同的学生得到了不同的发展和提高，既巩固了基础知识，又培养了学生的能力，特别是为部分学生进行知识的再创造提供了平台。3、在具体的情境中学习是激活学生思维的关键。建构主义理论认为：知识是情境化的。现代教学理论认为：数学教学应该从学习者的生活经验出发，将数学活动置于真实的生活背景中，提供给学生充分进行数学活动和交流的机会，使他们真正理解和掌握数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。根据这一理念，我们在研究中努力把拓展的例题置入具体的情境中去探究，让学生经历“以拓激思”的学习过程。具体做法如下:在富有情趣的生活情境中学习如在教学二年级上找规律时，我们在研究时创设了去同学家里参观的情境教学，学生们兴致勃勃，参观学生家的卧室发现有规律的图形，学生从不同的方向去观察，发现图形的变化规律。接下来去参观学生的书房，出现了密码门，对富有挑战性的题目，学生们踊跃参与，在找出密码的同时积极的思考，找到了图形变化的规律。进入书房之后发现地板的图案有地方弄脏了看不清原来的颜色。需要学生们在帮助小朋友涂上颜色。在帮助别人解决问题的情境里同样仔细观察了地板图案的规律，涂上需要的颜色。使整堂课的教学贯穿在参观小主人的房子时发生的一系列的问题，并一一解决。学生们的积极性高，参与性强，并一次次为帮助别人解决问题而自豪，建立了学习的信心。通过实践，在富有情趣的生活情境中学习知识，有利于调动学生学习的积极性，有利于激发学生探究的兴趣。在直观演示的动态情境中学习 让学生经历直观演示的动态情境过程，是受小学生的思维和我们数学学科的特点决定的。小学生的思维正处于由具体形象思维向抽象思维过渡的时期，需要变抽象为直观的教学。我们数学科学的特点是逻辑性强，抽象思维要求高，尤其是涉及到三维空间问题、动态过程问题时，抽象思维要求更高，这就更需要我们化静为动的直观教学。我们在研究中充分运用多媒体进行数学课堂教学，解决了这一难题，提高课堂效率。 如在我们研究圆柱的体积一课时，为了让学生更好地理解和掌握圆柱体积计算公式推导这一重点，电脑演示把一个圆柱体的底面平均分成若干等份（平均分成16等份、32等份），然后把圆柱切开，通过动画拼成一个近似的长方体（平均分的份数越多，就越接近于长方体）。反复演示几遍，让学生自己感觉并最后体会到这个近似的长方体的体积与原来的圆柱的体积是完全相等的。再问学生还发现了什么？通过动画演示体会到这个近似的长方体的底面积、高与圆柱的底面积、高的关系，从而推导出求圆柱的体积公式，使得这课的重难点轻易地突破，大大提高了教学效率，培养了学生的空间想象能力。在动手操作的活动情境中学习动手操作是小学数学学习重要的学习方式，也是激活学生思维有效的手段。根据例题的内容让学生在动手操作的活动中探究知识，能有效培养学生的动手能力和创新精神。如我们在研究1的乘法时，进行了这样的活动情境安排：（a）先请学生用小方块摆出2个的1倍，再让学生看图说说图的意义，编出一句关于1的乘法口诀。（b）在此基础上，让学生动手摆一摆小方块，同桌互相说一说，并根据摆的图形编编1的乘法口诀；（c）让学生仔细观察黑板出现的8道有关1的乘法算式，独立思考，想一想这中间有什么小秘密，再在小组里讨论，总结归纳出1的乘法的规律。通过操作实践，很多不同知识水平的学生在互助学习中逐步形成正确的认知，学生对1的乘法口诀的编写有了进一步的理解和掌握，学生在动手操作、动脑思考、同组合作说一说的学习过程中，学生的动手能力、说话能力、思维能力都得到了训练和发展。在诱敌深入的问题情境中学习通过设计由浅入深的问题，让学生带着问题层层进入，探究例题知识，解决当前实际问题。能够有效的培养学生学习的主动性和开发学生的智力。例如我们在研究圆面积时，是这样进行问题情境安排的：第一环节是操作：老师引导学生将圆分割后拼成了一个长方形。第二环节是观察。问题一：拼割后的图形与原图形相比，什么变了？什么没变？问题二：长方形的长、宽与圆有什么关系？问题三：根据长方形面积=长宽，你能求出圆的面积吗？怎么求？通过实践，学生在观察中进行思考，又再次操作讨论，最终探索出了圆面积计算公式。进行这样的问题情境学习增强了学生学习的主动性，激活了思维，提高了课堂教学的效率。六、课题研究成效分析：1、提高了课题研究的认识；我们的课题研究以每学期为单位，以教师每天的教学为基础，以个人实践研究为主线,以课题组研究为重点。个人实践研究与学校常规教研相结合,课题组研究与个人实践研究相结合。我们把课题研究置入平常的教学工作中，与每天的教学内容同步，与学校的教研工作同步，教学、教研、课题合三为一。大家在搞好教学工作的同时，也就搞好了课题研究工作。通过课题研究使大家清楚的认识到了我们从事的教学工作就是科研工作，课题研究并不神秘，它就在我们的日常工作中；通过课题研究总结出了“教学-教研-课题”合三为一的课题研究路线，改变了以前对课题研究盲然的局面，特别是教师个人通过对例题“四步化”的研究（分析例题拓展开发教学实践反思交流），不仅对新课程、新课标又有了更高的认识，而且通过自己研究所得指导了自己的教学；通过研究使大家懂得了课题研究是为自己教学服务的，我们新课改后的教学需要进行研究，才能适应时代的发展，满足学生的需要。2、提升了教师教学水平，自身专业得到较大发展； 在课题研究中，我们课题组教师系统地学习了构建生活的课堂、教学生活论、走进新课程等现代教育理论书籍，又在教学实践和研究的基础上，根据课题研究重点，随时积累素材，探索有效措施，总结得失。使教师进一步领会了数学课程标准要旨，转变了教学观念，改进了教学方式，自身专业获得了较大发展。通过对例题内容、结构、解法的拓展，拉近了教材与学生生活的距离，感受到了数学在生活中的无处不在，体验到了学习数学的价值，增强了学习数学的兴趣。通过“每课一拓，以拓激思”的策略探索，改变了教师只重知识传授的现状，做到了在把握知识目标的同时关注学生思维能力、情感态度等多方面的发展，力求创造充满生命活力的课堂教学。做到：新例题，新教法，新拓展，新尝试。一节节公开课、听课、评课、反思都成为我们课题组老师成长的点滴见证。两年来，我们为课题组成员上了多节“以拓激思”的数学课，得到教研室专家以及老师们的一致好评。同时，我们在例题练习拓展方面也一改过去“多、杂、乱、偏、难”等习惯，尽量设计生活化的练习，注重练习设计的层次，加强练习知识的对比。两年来由于我们实验教师的大胆尝试、不断实践，取得了一定成果。如课题组老师田太玲所上的乘法的初步认识、石丽华所上的钟表的认识在校