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03. 行列式的展开法则一、按一行(列)展开法则定义3.1 元素或位置的余子式、代数余子式例3.1 .定理3.1 1)按一行展开法则；2)按一列展开法则.按第一行的展开公式就是阶行列式的降阶定义.例3.2 计算下列阶行列式1)； 2)； 3).解 1)按展开得原式.2)原式.3)法1 按展开得法2 在中，元素的余子式为.将按展开得.法3 .法4 按展开得定理3.2 当时，；.注 ，其中为克罗内克(Kronecker)符号.例3.3 1)二元(实)函数显然.2).例3.4 设四阶行列式.1)求代数余子式；2)求；3)求.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号例3.5 1)若正整数，则2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列中，位于第位. 在序列中，位于第位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.构成逆序，.例3.6 阶范德蒙(Vandermonde)矩阵的行列式例3.7 填空.例3.8 设，求证.例3.9 计算阶三对角行列式.二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵的子矩阵及其余子阵，阶子方阵、阶子式；阶方阵或其行列式中阶子式的阶余子式、代数余子式，阶(顺序)主子阵、阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设.1)是的一个子矩阵，为其余子阵；2)是的一个阶子方阵，是的一个阶子式，为对应余子式，而对应代数余子式为；3)是的一个阶主子阵，是的一个阶主子式，其代数余子式就是余子式，是的一个阶主子式；4)共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则拉普拉斯(Laplace)定理.例3.11 计算四阶行列式.例3.12 计算六
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