2013高考数学考前梳理.pdf

1 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 2012013 3 高考数学考前梳理高考数学考前梳理 数学的学习 最重要的是要清楚你学习了哪些知识 首先必须在脑子中建立起数学的整体知识 框架 下面是我画的一个简易的数学框架模型 集合 数列 函数 向量 三角函数 导数 概率 复数 方程 不等式 解析几何 排列组合 立体几何 极限 高考数学分为选择 填空 大题 填空选择基本上涉及到的都是一些简单的知识运用 当然会有 1 到 2 题稍微复杂一点的题 数学考高分的核心和关键就在于如何把握六道大题 六道大题的分布分 别是三角函数 概率 立体几何 数列 函数不等式与导数 解析几何 北京这边近几年是将数列 作为压轴题 建议把考纲好好看看 我们做学生的时候也很讨厌看 不过可以便于你安排复习 画 这个图的目的是希望你从现在开始建立起数学的整体框架体系 箭头代表各个知识点之间的联系 数学高考中涉及的都会是几个考点 就拿解析几何来说 总共有 30 个考点 高考要求的有 19 个 这些考点会平均分配到 4 5 题 因此每题至少涉及 3 个考点 所以对学生的综合能力有很高的要求 这就要求你必须从整体对数学有个很好的把握 了解各个知识点间的联系 再有针对性的做一些习 题 后面我会具体分析数学各个知识点的学习 在此之前 教你一下数学解题步骤 1 仔细审题 获取有效信息 数学不同于语文 建议边看题边画图 几何 在看题的同时在稿纸 上写出题中的条件信息 一方面让你节约再次浏览无效信息的时间 又有助于思考题中条件的 运用 情境题对此点要求很高 2 明确题目要求求什么 这点也很重要 有些题型会问的很直接 有些则需要去思考 3 如何去求 这是解题的关键 如何去解题这就检验前两步执行的程度了 根据掌握的有效信息 配合书本中学习的知识以及平时做题总结的结论 设法最终实现求什么的过程 因此 你一定 特明确你需要求的是什么 你所做的所有都是在为得到结果 这样就会避免解题的时候走弯路 这点在 不等式的求解与证明 体现的尤为明显 唯一的原因在于明确该如何才能得到结论 注 希望做题时候能够遵循这三步走 这会规范你的解题 让你的思路更加清晰而明确 更重要的是会节约宝贵 的时间 2 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 1 集合与函数 1 集合最重要的就是集合元素的三大特性 如 x2 0 1 x 则实数x的值为 这道题的解题关键就在于集合元素的互异性 很容易得到其为 1 很多学生都会在这地方犯错误 其实就是 缺乏对概念和性质的深刻了解 通过上表 你会发现集合与概率 复数和函数都有关系 联系最紧密的就是函数 函数的定义就 是由集合导出的 函数即集合 A 中任一个元素在集合 B 中都有唯一的元素与之对应 且遵循 相 同的对应法则 至少有 80 的学生不能准确的说出函数的定义 注 这里以函数的定义为例 现在大家都有这样一个认识错误 就是认为数学就是需要不断的去做题 我不反 对做题 但学好数学最重要的是首先必须把书本参透 对一些重要的性质和概念要熟稔于心 2 函数学习最关键的两件事 确定定义域 画函数图像 这是你需要去养成的习惯 这两件事是你首先必须确定的 对于任何一道题都得如此 即便是显而易见的 这 些意识的培养会让今后在考虑函数的问题时候不会犯一点点的错误 例如 函数 3 3 1 2 x x y是 A 奇函数不是偶函数B 偶函数不是奇函数 C 奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数 这是一道很简单的题 很多高三学生碰到这题会讨论分类区绝对值的问题 但如果我们先确定定义域的话 会发现绝对值可以直接去掉 这就是做题的角度问题 函数的三大特性 单调性 奇偶性 周期性 单调性 定义法和导数法熟练运用 两种方法各有优势 不要摒弃任意一种 出题比较多的就是直接求解单调性或者大题中求极值问题 奇偶性 首先明确定义域关于原点对称 奇函数关于原点对称 偶函数关于 Y 轴对称 对一些特殊的情况需要重点关注 如奇函数若在零点有定义 则 f 0 0 以及给出的恒等式的变形 应用 如常见的 f x f x y y 这只是其中一种情况 写这个是要你学会总结其他类似的情况 这 些都是很灵活的 需要的是要有意识去变形运用 这地方好好思考一下 周期性 周期性作为考题出现的频率不是很高 f x f x T 但类似证明的题值得思考一下 如 函数f x 的定义域关于原点对称且有f x1 x2 1 12 21 xfxf xfxf f a 1 证明其周期为 4 a 要证f x 4a f x 可先计算f x a f x 2a f x a f x a 1 1 1 1 1 af xf xf xfaf xfaf xfaf xfaf 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 xf xf xf xf xf axf axf aaxfaxf 3 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 f x 4a f x 2a 2a 2 1 axf f x 故f x 是以 4a为周期的周期函数 解决函数问题时候 还有学会对函数解析式进行相应的化简 如 函数f x 11 11 2 2 xx xx 的图象 A 关于x轴对称B 关于y轴对称 C 关于原点对称D 关于直线x 1 对称 这道题的关键就在于先要化简 如果直接代入f x 就会很复杂 而且也求不出来 所以做题必须要 有一个准确的角度 这些需要你长期进行上述的联系就能够形成的 一些特殊的函数如指数对数它们的性质一定要清楚 包括导数都不要记错 图像 单调性等等 函数最难的还是与其他知识综合的运用 不过一切都源于你对函数本身概念和性质的了解和掌握多 少 注 我和学生强调最多的就是一般和特殊两个概念 一般 我把它比喻为数学的基础内容 特殊 比喻为技巧拔高性的内容 首先我们必须掌握一般基础性的内容 这是最低的要求 但你要做 到 其次 要想做到优秀还得去掌握 特殊 正如数学中一个很重要的思想 分类讨论思想 一般 就是我们必须了解题型本身的基本情况和大致解题思路 特殊 就是分类中类与类 之间的分隔点 具备寻找这些特殊点是一项能力的体现 因此 平时就必须注重给自己灌输这 种意识 这些在后面分类讨论以及其他的题型中还会去介绍 2 三角函数 三角函数部分的知识强调的就是公式的熟练运用 第一步熟练的记住公式 不是死记硬背 要理解性的记忆 后面我会提到如何记住这些公式 第二步就是公式的灵活变换 在这里最 重要的是记住 统一角 统一函数 七字原则 遇到化简的题 经常会毫无头绪 这就是没 有明确的方向 三角函数中的化简你明确 统一角 统一函数 始终把握这个大原则 这样 思路就不会混乱 一般都遵循 切化为弦 半角倍角化为原角 注 统一角 统一函数 是解题的关键所在 树立这种解题意识 如 已知 cos 4 x 5 3 12 17 x 4 7 求 x xx tan1 sin22sin 2 的值 75 28 5 3 5 4 25 7 4 cos 4 sin 2sin sincos cos cos sinsin2 cos sin 1 sin2cossin2 tan1 sin22sin 5 4 4 sin 2 43 5 4 7 12 17 25 7 4 2cos2sin 5 3 4 cos 22 k 成等差数列 0 n a 成等比数列 任意两数 ba 有等差中项 2 ba 等比数列 定义 0 1 qq a a n n q 关键量 1 a q 通项 1 1 n n qaa 前n项和 若 qpnm 则 qpnm aaaa n pa 0 p 成等比数列 nnnnn SSSSS 232 成等比数列 0 n a log naa 0 a 且 1 a 成等差数列 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 9 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 任意同号实数 ba 有等比中项 ab 1 求通项常用方法 作新数列法 作等差数列与等比数列 累差叠加法 最基本形式是 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 归纳 猜想法 2 数列前n项和常用求法 重要公式 1 2 n 2 1 n n 1 12 22 n2 6 1 n n 1 2n 1 13 23 n3 1 2 n 2 4 1 n2 n 1 2 等差数列中Sm n Sm Sn mnd 等比数列中Sm n Sn qnSm Sm qmSn 裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和 即an f n 1 f n 然后累加时抵消中间的许多项 应 掌握以下常见的裂项 等 1 1 1 1 1 CCC ctg2ctg 2sin 1 1 1 11 1 1 11 nnn nnnn nnnn r n r n n n 错项相消法 并项求和法 数列求和的方法很多 还是要根据具体的题目来求解 数列和不等式都会涉及到很多的规律 不用刻意去记 住 要学会的是他们解题的角度 后面我会附一些习题好好练习 3 递推公式 参见递推公式的课件 好方法资料库 5 立体几何 讲立体几何一定得把基础性的平面几何学好 当然和解析几何那块特定的知识还是要区分开 一方面向量一 定要熟练运用 向量不会作为单独的考点 它会是解决立体几何和解析几何的一个工具 立体几何在我观念 中是一个比较简单的知识点 所涉及到的无非就是平行和垂直问题 由此展开的距离 体积等问题 建议是 熟练去运用书上的平行与垂直的判定和性质定理 很多学生觉得自己了解这些 但实际做题时候还是想不到 原因就在于缺乏对概念性质的深刻认识 仅仅停留在文字记忆上 这些基础性的知识希望多看课本 接下来 我重点强调的是二面角的求法 求二面角有五种解法 1 1 定义法 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个 半平面叫做二面角的面 在棱上取点 分别在两面内引两条射线与棱垂直 这两条垂线所成 的角的大小就是二面角的平面角 2 2 三垂线法 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和 10 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 这条斜线垂直 通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小 3 补棱法 针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时 要将两平面的图形补充 完整 使之有明确的交线 称为补棱 然后借助前述的定义法与三垂线法解题 即当二平面 没有明确的交线时 一般用补棱法解决 4 射影面积法 cos 斜 射 S S 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射 影图形面积的都可利用射影面积公式 cos 斜 射 S S 求出二面角的大小 5 向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法 可以说所有的立体几何题都可 以用向量法求解 用向量法解立体几何题时 通常要建立空间直角坐标系 写出各点的坐标 然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量 进行向量计算解题 高中立体几何求二面角是一个很常见的题目 下面通过例题去让大家感受到通过射影面积法求解二 面角是多么的快捷 通常情况下 利用射影面积法能够很好的解决立体几何中关于二面角的这块内 容 当然射影面积法在求解斜面积的时候计算量会有点大 但思路直接不容易出错 如图所示 E 为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的中点 求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦 值 分析 射影面积法是求解二面角的一种很有效的方法 学生在学习中一定要会灵活去运用 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出 要找到二面角的平面角 则必须先作 两个平面的交线 这给解题带来一定的难度 很多同学就没有了思路 如果我们用到了射影 面积法 就很容易有 cos 3 2 1 11 1 CAB BCA S S S S 斜 射 二面角的求法一直是一个热点 建议采用的方法是向量法和射影面积法 根据上面介绍的几种 方法选择最适合自己的一种方法 但最好是每种都很清楚 针对不同的题目会有不同的方法适 合 A1 D1 B1 C1 E D B C A 11 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 6 解析几何 解析结合的考点 1 曲线 轨迹 方程的求法 12 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 常见的求轨迹方程的方法 1 单动点的轨迹问题 直接法 五步曲 待定系数法 定义法 2 双动点的轨迹问题 代入法 3 多动点的轨迹问题 参数法 交轨法 注 选择适当的参数表示两动曲线的方程 将两动曲线方程中的参数消去 得到不含参数 的方程 即为两动曲线交点的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做交轨法 2 圆锥曲线的几何性质 查阅课本 3 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线第一 第二定义求解 4 直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程 利用判别式 韦达定理来求解 或证明 热门考点 圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合 圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系 一些常用的方法 1 求曲线方程常利用待定系数法 求出相应的 a b p 等 要充分认识椭圆中参数 a b c e 的意义及相 互关系 在求标准方程时 已知条件常与这些参数有关 2 涉及椭圆 双曲线上的点到两个焦点的距离问题 常常要注意运用第一定义 而涉及曲线上的点到某一 焦点的距离 常常用圆锥曲线的统一定义 对于后者 需要注意的是右焦点与右准线对应 不能弄错 3 直线与圆锥曲线的位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程 利用判别式 韦达定理来求解或证明 4 对于轨迹问题 要根据已知条件求出轨迹方程 再由方程说明轨迹的位置 形状 大小等特征 求轨迹的 常用方法有直接法 定义法 参数法 代入法 交轨法等 5 与圆锥曲线有关的对称问题 利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明 7 概率 以概率作为结尾 这道题也是你务必拿到手的 这也是一道送分题 排列组合常见处理方法 1 特殊元素的 优先安排法 2 相邻问题 捆绑法 3 不相邻问题用 插空法 4 顺序固定问题用 除法 消序 5 分排问题用 直接法 8 几种重要的数学思想 1 函数与方程的思想 13 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 1 函数的思想 是用运动和变化的观点 分析和研究数学中的数量关系 建立函数关系或构造函数 运用 函数的图像和性质去分析问题 转化问题 从而使问题获得解决 函数思想是对函数概念的本质认识 用 于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察 分析和解决问题 2 方程的思想 就是分析数学问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构造方程 通过解方程 或方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决 方程的数学是对方程概念的本质认 识 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题 方程思想是动中求静 研究运动中的 等量关系 3 函数方程思想的几种重要形式 1 函数和方程是密切相关的 对于函数 y f x 当 y 0 时 就转化为方程 f x 0 也可以把函数式 y f x 看做二元方程 y f x 0 函数问题 例如求反函数 求函数的值域等 可以转化为方程问题 来求解 方程问题也可以转化为函数问题来求解 如解方程 f x 0 就是求函数 y f x 的零点 2 函数与不等式也可以相互转化 对于函数 y f x 当 y 0 时 就转化为不等式 f x 0 借助于函数 图像与性质解决有关问题 而研究函数的性质 也离不开解不等式 3 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点处理数列问题十分重要 4 函数 f x n bax n N 与二项式定理是密切相关的 利用这个函数用赋值法和比较系数法可 以解决很多二项式定理的问题 5 解析几何中的许多问题 例如直线和二次曲线的位置关系问题 需要通过解二元方程组才能解决 涉 及到二次方程与二次函数的有关理论 6 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以 解决 2 等价转化思想 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法 通过不断的转化 把不熟悉 不规范 复杂的问题转化为熟悉 规范甚至模式法 简单的问题 等价转化思想方法的特点是具有灵 活性和多样性 在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时 没有一个统一的模式去进行 它可以在数与数 形与形 数与形之间进行转换 它可以在宏观上进行等价转化 如在分析和解决实际问题的过程中 普通语言向 数学语言的翻译 它可以在符号系统内部实施转换 即所说的恒等变形 消去法 换元法 数形结合法 求值求 范围问题等等 都体现了等价转化思想 我们更是经常在函数 方程 不等式之间进行等价转化 可以说 等价 转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变 由于其多样性和灵活性 我们要合理地设计 好转化的途径和方法 避免死搬硬套题型 如 若 x y z R 且 x y z 1 求 1 x 1 1 y 1 1 z 1 的最小值 分析 由已知 x y z 1 而联想到 只有将所求式变形为含代数式 x y z 或者运用均值不等式后含 xyz 的形式 所以 关键是将所求式进行合理的变形 即等价转化 解 1 x 1 1 y 1 1 z 1 1 xyz 1 x 1 y 1 z 1 xyz 1 x y z xy yz zx xyz 1 xyz xy yz zx xyz 14 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 1 x 1 y 1 z 1 3 1 3 xyz 1 3 3 xyz 1 3 3 xyz 1 9 注 对所求式进行等价变换 先通分 再整理分子 最后拆分 将问题转化为求 1 x 1 y 1 z 的最小值 则不难由平均值不等式 而进行解决 此题属于代数恒等变形题型 即代数式在形变中保持值不变 设 x y R 且 3x 2 2y 2 6x 求 x 2 y 2 的范围 分析 设 k x 2 y 2 再代入消去 y 转化为关于 x 的方程有实数解时求参数 k 范围的问题 其中要注意隐含条件 即 x 的范 围 解 由 6x 3x 2 2y2 0 得 0 x 2 设 k x 2 y 2 则 y 2 k x2 代入已知等式得 x2 6x 2k 0 即 k 1 2 x 2 3x 其对称轴为 x 3 由 0 x 2 得 k 0 4 所以 x 2 y 2 的范围是 0 x 2 y 2 4 另解 数形结合法 转化为解析几何问题 由 3x 2 2y 2 6x 得 x 1 2 y 2 3 2 1 即表示如图所示椭圆 其一个顶点在坐标原点 x 2 y2的范围就是椭圆上的点到坐标原 点的距离的平方 由图可知最小值是 0 距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点 设圆方程为 x 2 y2 k 代入椭圆 中消 y 得 x 2 6x 2k 0 由判别式 36 8k 0 得 k 4 所以 x2 y 2 的范围是 0 x 2 y 2 4 再解 三角换元法 对已知式和待求式都可以进行三角换元 转化为三角问题 由 3x 2 2y 2 6x 得 x 1 2 y 2 3 2 1 设 x y 1 6 2 cos sin 则 x 2 y2 1 2cos cos2 3 2 sin 2 1 3 2 2cos 1 2 cos 2 1 2 cos 2 2cos 5 2 0 4 所以 x 2 y 2 的范围是 0 x 2 y 2 4 注 本题运用多种方法进行解答 实现了多种角度的转化 联系了多个知识点 有助于提高发散思维能力 此题还可以利用均值 换元法进行解答 各种方法的运用 分别将代数问题转化为了其它问题 属于问题转换题型 15 答疑热线答疑热线 68513177685131776851317768513177 3 分类讨论思想 参数问题等 需要进行分类讨论的情形 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的 如 a 的定义分 a 0 a 0 a2 时分 a 0 a 0 和 a 0 三种情况讨论 这称为含参型 另外 某些不确定的数量 不确定的图形的形状或位置 不确定的结论等 都主要通过分类讨论 保证其 完整性 使之具有确定性 进行分类讨论时 我们要遵循的原则是 分类的对象是确定的 标准是统一的 不遗漏 不重复 科学地 划分 分清主次 不越级讨论 其中最重要的一条是 不漏不重 解答分类讨论问题时 我们的基本方法和步骤是 首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围 其 次确定分类标准 正确进行合理分类 即标准统一 不漏不重 分类互斥 没有重复 再对所分类逐步进 行讨论 分级进行 获取阶段性结果 最后进行归纳小结 综合得出结论 如 设 a n 是由正数组成的等比数列 Sn是前 n 项和 证明 lglgSS nn 2 2 0 使得 lg lg ScSc nn 2 2 lg S n 1 c 成立 并证明结论 分析 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形 再应用比较法而求解 其中在应用等比数列前 n 项和 的公式时 由于公式的要求 分 q 1 和 q 1 两种情况 解 设 a n 的公比 q 则 a1 0 q 0 当 q 1 时 S n na1 从而 SnSn 2 Sn 1 2 na 1 n 2 a1 n 1 2a 1 2 a 1 2 0 当 q 1 时 S n aq q n 1 1 1 从而 S nSn 2 Sn 1 2 aqq q nn 1 22 2 11 1 aq q n 1 212 2 1 1 a1 2qn 0 由上可得 S nSn 2 Sn 1 2 所以 lg S nSn 2 lg Sn 1 2 即 lglgSS nn 2 2 lgS n 1 要使 lg lg ScSc nn 2 2 lg S n 1 c 成立 则必有 Sn c Sn 2 c Sn 1 c 2 分