数学分析教案13.doc

3 函数概念教学目的与要求：掌握函数的定义和各种表示方法，理解函数的四则运算，复合运算，反函数定义，初等函数等。教学重点，难点：函数的定义的正确理解，特殊的函数。教学内容：关于函数概念，在中学数学中我们已有初步的了解，本节将分六部分对此作进一步的讨论。一 函数的定义定义1 给定义两个实数集D和M，若有对应法则，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数yM与它相对应，则称是定义在数集D上的函数，记作 （1）数集D称为函数的定义域，x所对应的数y ,称为在点x的函数值，常记为。全体函数值的集合称为函数的值域。（1）中第一式“DM”表示按法则建立数集D到M的函数关系；第二式“”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为习惯上，我们称此函数关系中的x为自变量，y为因变量。注1定义1中的实数集M常以R来代替，于是定义域D和对应法则就成为确定函数的两个主要因素。所以，我们也常用 表示一个函数。由此，我们说某两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。如果两个函数对应法则相同而定义域不同，那么这两个函数仍是不相同的。例如是不相同的两个函数，另一方面，两个相同的函数，其对应法则的表达式可能不同，例如 和注2我们在中学数学中已经知道，表示函数的主要方法是公式法，即用数学运算式子来表示函数，这时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量值的全体，通常称为存在域，在这种情况下，函数的定义域（即存在域）D可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数，此时可简单地说“函数y=f(x)”或“函数f”.注3函数f给出了x轴上的点集到y轴上点集M之间的单值对应，也称为映射，对于a，f(a)称为映射f下a的象，a则称为f(a)的原象。注4在函数定义中，对每一个xD，只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为单值函数。若同一个x值可以对应多于一个的y 值，则称这种函数为多值函数。在本书范围内，我们只讨论单值函数。二 函数的表示法除在中学课程里我们已经知道函数的解析法(或称公式法)、列表法和图象法三种表示法外，还有分段表示法，例如符号函数、函数 表示法、图像语言来描述表示法：如定义在R上的狄利克雷（Dirichlet）函数 和定义在0，1上的黎曼（Riemann）函数注：三 函数的四则运算给定两个函数f，x1和g，x2，记D=D1，并设D。f与g在D上的和、差、积、商运算注 若D=D1D2，则f与g不能进行四则运算，例如，设f(x)=,g(x)= =,由于D1D2，所以表达式f(x)+g(x)=是没有意义的。和、差、积、商写作f+g，f-g，fg，四 复合函数设有两函数y=f(u)，u，u=g(x)，x (2)记E*=可通过函数g对应D内唯一的一个值u，而u又通过函数f对应唯一的一个值y。这就确定了一个定义上的函数，它以x自变量，y为因变量，记作 称为函数f和g的复合函数。并称f为外函数，g为内函数，（2）式中的u为中间变量。函数f 和g的复合运算也可简单地写作例1函数的复合函数为 其定义域复合函数也可由多个函数相继复合而成，例如，由三个函数y=sinu，u=与v=1-x2(它们的定义域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为y=sin,注 当且仅当E*（即D时，函数f与g才能进行复合，例如，以y=f(u)=arc sin u，u为外函数，u=g(x)=2+x2，x为内函数，就不能进行复合，这是因为外函数的定义域D=-1，1与内函数的值域g(E)=2,+不相交。五、反函数引入：设函数y=f(x)，x满足：对于值域f(D)中的每一个值y，D中有且只有一个值x使得f(x)=y，则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为f的反函数，记作：f(D)D或 ，y (4)注1 函数f有反函数，意味着f是D与f(D)之间的一个一一映射，我们称为映射f的逆映射，它把集合f(D)映射到集合D，即把f(D)中的每个值f(a)对应到D中唯一的一个值a。这时称a为逆映射下f(a)的象，而f(a)则是a在逆映射下的原象。从上述讨论还可看到，函数f也是函数的反函数，或者说，f与互为反函数，并有(f(x) x，x,f(y) y，y注2 在反函数的表示式中，是以y为自变量，x为因变量。若按习惯仍用x作为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数的反函数可改写为y=(x)，x （5）例如，函数y=ax+b(a的反函数分别是y=注3：反函数的表示式（4）与（5）的形式不同，但它们仍表示同一个函数定义域、对应法则相同，变量的记号不同六 初等函数1、六类基本初等函数常量函数 y=c(c是常数)； 幂函数 y=xa(a为实数)；指数函数 y=ax(a0，a1)； 对数函数 y=logax(a0，a1);三角函数 y=sinx(正弦函数)，y=cosx(余弦函数)， y=tanx（正切函数），y=cotx（余切函数）；反三角函数 y=arcsinx（反正弦函数），y=arccos x（反余弦函数），y=arctan x (反正切函数)，y=arccot x (反余切函数)。2、无理指数幂的定义定义2 给定实数a0，a1.设x为无理数，我们规定 注1 对任一无理数x，必有有理数r0，使xr0，则当有理数rx时有rr0，从而由有理数乘幂的性质，当a1时有ar。这表明非空数集有一个上界。由界原理，该数集有上确界，所以（6）式右边是一个确定的数。同理，当0a1时（7）式右边也是一个定数。注2 由2习题可知，当x为有理数时，同样可按（6）式和（7）式来表示ax，而且与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是一致的。这样，无论x是有理数还是无理数，ax都可用（