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文档简介

3 函数概念教学目的与要求:掌握函数的定义和各种表示方法,理解函数的四则运算,复合运算,反函数定义,初等函数等。教学重点,难点:函数的定义的正确理解,特殊的函数。教学内容:关于函数概念,在中学数学中我们已有初步的了解,本节将分六部分对此作进一步的讨论。一 函数的定义定义1 给定义两个实数集D和M,若有对应法则,使对D内每一个数x,都有唯一的一个数yM与它相对应,则称是定义在数集D上的函数,记作 (1)数集D称为函数的定义域,x所对应的数y ,称为在点x的函数值,常记为。全体函数值的集合称为函数的值域。(1)中第一式“DM”表示按法则建立数集D到M的函数关系;第二式“”表示这两个数集中元素之间的对应关系,也可记为习惯上,我们称此函数关系中的x为自变量,y为因变量。注1定义1中的实数集M常以R来代替,于是定义域D和对应法则就成为确定函数的两个主要因素。所以,我们也常用 表示一个函数。由此,我们说某两个函数相同,是指它们有相同的定义域和对应法则。如果两个函数对应法则相同而定义域不同,那么这两个函数仍是不相同的。例如是不相同的两个函数,另一方面,两个相同的函数,其对应法则的表达式可能不同,例如 和注2我们在中学数学中已经知道,表示函数的主要方法是公式法,即用数学运算式子来表示函数,这时,函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量值的全体,通常称为存在域,在这种情况下,函数的定义域(即存在域)D可省略不写,而只用对应法则来表示一个函数,此时可简单地说“函数y=f(x)”或“函数f”.注3函数f给出了x轴上的点集到y轴上点集M之间的单值对应,也称为映射,对于a,f(a)称为映射f下a的象,a则称为f(a)的原象。注4在函数定义中,对每一个xD,只能有唯一的一个y值与它对应,这样定义的函数称为单值函数。若同一个x值可以对应多于一个的y 值,则称这种函数为多值函数。在本书范围内,我们只讨论单值函数。二 函数的表示法除在中学课程里我们已经知道函数的解析法(或称公式法)、列表法和图象法三种表示法外,还有分段表示法,例如符号函数、函数 表示法、图像语言来描述表示法:如定义在R上的狄利克雷(Dirichlet)函数 和定义在0,1上的黎曼(Riemann)函数注:三 函数的四则运算给定两个函数f,x1和g,x2,记D=D1,并设D。f与g在D上的和、差、积、商运算注 若D=D1D2,则f与g不能进行四则运算,例如,设f(x)=,g(x)= =,由于D1D2,所以表达式f(x)+g(x)=是没有意义的。和、差、积、商写作f+g,f-g,fg,四 复合函数设有两函数y=f(u),u,u=g(x),x (2)记E*=可通过函数g对应D内唯一的一个值u,而u又通过函数f对应唯一的一个值y。这就确定了一个定义上的函数,它以x自变量,y为因变量,记作 称为函数f和g的复合函数。并称f为外函数,g为内函数,(2)式中的u为中间变量。函数f 和g的复合运算也可简单地写作例1函数的复合函数为 其定义域复合函数也可由多个函数相继复合而成,例如,由三个函数y=sinu,u=与v=1-x2(它们的定义域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为y=sin,注 当且仅当E*(即D时,函数f与g才能进行复合,例如,以y=f(u)=arc sin u,u为外函数,u=g(x)=2+x2,x为内函数,就不能进行复合,这是因为外函数的定义域D=-1,1与内函数的值域g(E)=2,+不相交。五、反函数引入:设函数y=f(x),x满足:对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x使得f(x)=y,则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称这个函数为f的反函数,记作:f(D)D或 ,y (4)注1 函数f有反函数,意味着f是D与f(D)之间的一个一一映射,我们称为映射f的逆映射,它把集合f(D)映射到集合D,即把f(D)中的每个值f(a)对应到D中唯一的一个值a。这时称a为逆映射下f(a)的象,而f(a)则是a在逆映射下的原象。从上述讨论还可看到,函数f也是函数的反函数,或者说,f与互为反函数,并有(f(x) x,x,f(y) y,y注2 在反函数的表示式中,是以y为自变量,x为因变量。若按习惯仍用x作为自变量的记号,y作为因变量的记号,则函数的反函数可改写为y=(x),x (5)例如,函数y=ax+b(a的反函数分别是y=注3:反函数的表示式(4)与(5)的形式不同,但它们仍表示同一个函数定义域、对应法则相同,变量的记号不同六 初等函数1、六类基本初等函数常量函数 y=c(c是常数); 幂函数 y=xa(a为实数);指数函数 y=ax(a0,a1); 对数函数 y=logax(a0,a1);三角函数 y=sinx(正弦函数),y=cosx(余弦函数), y=tanx(正切函数),y=cotx(余切函数);反三角函数 y=arcsinx(反正弦函数),y=arccos x(反余弦函数),y=arctan x (反正切函数),y=arccot x (反余切函数)。2、无理指数幂的定义定义2 给定实数a0,a1.设x为无理数,我们规定 注1 对任一无理数x,必有有理数r0,使xr0,则当有理数rx时有rr0,从而由有理数乘幂的性质,当a1时有ar。这表明非空数集有一个上界。由界原理,该数集有上确界,所以(6)式右边是一个确定的数。同理,当0a1时(7)式右边也是一个定数。注2 由2习题可知,当x为有理数时,同样可按(6)式和(7)式来表示ax,而且与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是一致的。这样,无论x是有理数还是无理数,ax都可用(

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